北京市第四中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页北京市第四中学2025-2026学年高一第二学期期中数学试卷一、单项选择题：本大题共13小题，共65分。1.（

）A. B. C. D.2.向量，在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个小正方形的边长为1，则（

）

A. B. C.0 D.23.已知角的终边在第三象限，且，则（

）A. B. C. D.4.化简（

）A. B. C.1 D.5.如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（

）

A. B. C. D.6.设，，，则下列结论正确的是（

）A. B. C. D.7.把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的一个可能取值为（

）A. B. C. D.8.设，是非零向量，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.已知向量，，其中，则的最大值是（

）A.4 B.3 C.2 D.110.对于函数，以下判断正确的是（

）A.的一个周期为 B.的最大值为

C.的图象关于直线对称 D.在区间上恰有个零点11.已知，，则（

）A. B. C. D.12.如图，在扇形OAB中，半径，，在半径上，在半径上，是扇形弧上的动点（不包含端点），则平行四边形的周长的取值范围是（

）

A. B. C. D.13.已知，记在的最小值为，在的最小值为，则下列情况不可能的是（

）A.， B.， C.， D.，二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。14.已知角终边经过点，则

15.已知，是两个单位向量，且，则

16.已知函数，，且在区间上的最小值是，则

，的一个可能的取值为

．17.剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为

．

18.已知函数．给出下列四个结论：①任意，函数的最大值与最小值的差为2；②存在，使得对任意，；③当时，对任意非零实数x，；④当时，存在和，使得对任意，都有．其中所有正确结论的序号是

．19.在平面直角坐标系中，已知点，若点绕原点逆时针旋转到点，则点的横坐标为

．20.已知函数．①若，则

；②若，使成立，则的最小值是

．21.已知平面内点集，A中任意两个不同点之间的距离都不相等.设集合，.给出以下四个结论：①若，则；②若为奇数，则；③若为偶数，则；④若，则.其中所有正确结论的序号是

.三、解答题：本题共5小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。22.(本小题9分)已知向量．(1)若，求实数k的值；(2)若，求的值；(3)若与的夹角是钝角，求实数k的取值范围．23.(本小题9分)某同学在研究函数的图象与性质时，采用“五点法”画简图列表如下：x00100(1)根据上表中数据，求出，的值；(2)求函数的单调递减区间；(3)求函数在区间上的值域．24.(本小题9分)摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，乘客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯视四周景色（如图1）．已知某摩天轮转盘的最低点距离地面的高度为2米，转盘半径为30米，逆时针均匀设置了依次标号为1~12号的12个座舱，开启后摩天轮按照逆时针方向匀速旋转，转一周需要24分钟．现从1号座舱位于圆周最右端时开始计时（如图2），旋转时间为t分钟．(1)设1号座舱与地面的距离h（单位：米）与时间t的函数关系为，求的解析式；(2)当时，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；(3)甲、乙两名乘客分别乘坐在1号和5号座舱里，在乘坐摩天轮的过程中，甲、乙两人距离地面的高度差的绝对值为H（单位：米）．当时，求H的最大值．25.(本小题9分)已知函数在上单调，再从条件①、条件②、条件③中选择一个条件，使得函数存在且唯一确定．(1)求的值和函数图象的对称轴；(2)若存在，使得，求实数m的取值范围．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．26.(本小题9分)已知：集合，其中．，称为的第个坐标分量．若，且满足如下两条性质：①中元素个数不少于个．②，，，存在，使得，，的第个坐标分量都是．则称为的一个好子集．（）若为的一个好子集，且，，写出，．（）若为的一个好子集，求证：中元素个数不超过．（）若为的一个好子集且中恰好有个元素，求证：一定存在唯一一个，使得中所有元素的第个坐标分量都是．

1.【答案】C

2.【答案】D

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】D

11.【答案】B

12.【答案】A

13.【答案】D

14.【答案】

/0.5

15.【答案】

/

16.【答案】

；

/

；

4/答案不唯一

17.【答案】

18.【答案】②④

19.【答案】

20.【答案】

；

；

/

21.【答案】①②④

22.【答案】解：（1）由向量，，得，所以.（2）依题意，，由，得，解得，因此，所以.（3）由与的夹角是钝角，得且与不共线，因此且，解得且，所以实数k的取值范围是.

23.【答案】解：（1）∵由“五点法”的表格数据可知，当时，；当时，.∴列方程组得，两式相减得，解得.将代入，解得，满足.故，.（2）由（1）得.∵正弦函数的单调递减区间为.∴令.解左边不等式：，即.解右边不等式：，即.故函数的单调递减区间为.（3）当时，∵.令，则.∵当时，取得最小值；当时，取得最大值.∴，即在区间上的值域为.

24.【答案】解：（1）依题意，设，由，得，由，，得，而，则，由转一周需要24分钟，得，解得，所以.（2）由，得，当时，，解得或，即或，所以或.（3）依题意，5号座舱在1号座舱前，相隔，则甲、乙两人距离地面的高度分别为，因此，当时，，则当，即时，，所以H的最大值为米.

25.【答案】解：（1）函数，当时，，由函数在上单调，得，而，解得，条件①：，则，而，因此，解得，，由，解得，所以，函数图象的对称轴为.条件②：，则，而，因此，解得，，由，解得，所以，函数图象的对称轴为.条件③：，则，而，因此，解得，，由，解得，所以，函数图象的对称轴为.（2）条件①：，由，得，由，得，解得，所以实数m的取值范围是.条件②：，由，得，由，得，解得，所以实数m的取值范围是.条件③：，由，得，由，得，解得，所以实数m的取值范围是.

26.【答案】（），．（）对于，考虑元素；显然，，，，对于任意的，，，不可能都为，可得，不可能都是好子集中．又因为取定，则一定存在且唯一，而且，由的定义知道，，,这样，集合中元素的个数一定小于或等于集合中元素个数的一半，而集合中元素的个数为，所以中元素个数不超过．（），，定义元素，的乘积为，显然．我们证明“对任意的，都有．”假设存在，使得，则由（