第七章 随机变量及其分布　章末检测试卷（含解析） 高中数学 人教A版（2019） 选择性必修 第三册

章末检测试卷二[时间：120分钟分值：150分]一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=a(n+1)(n+2)(n=0，1，2)，其中A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 B.a=4C.P(0≤X<2)=89 D.P(X≥1)=2.已知P(A)=25，P(B)=411，P(B|A)=1522，则P(A|B)等于A.12 B.C.34 D.3.下列说法错误的是()A.若随机变量X~B10，12，则EB.若随机变量X的方差D(X)=1，则D(3X+1)=10C.若P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(B|A)=0.4，则事件A与事件B相互独立D.若随机变量X服从正态分布N(6，σ2)，P(X<10)=0.8，则P(2<X<6)=0.34.甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看成三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为6364，则甲恰好取胜一次的概率为(A.14 B.C.964 D.5.已知甲罐中有5个红球、5个白球，乙罐中有3个红球、7个白球.先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是()A.P(B)=922 B.P(B|A1)=C.P(B|A1)+P(B|A2)=711 D.P(A1A2)=6.已知盒子中装有n(n>1)个一等品和2个二等品，从中任取2个产品(取到每个产品都是等可能的)，用随机变量X表示取到一等品的个数，X的分布列如表所示，则D(X)等于()X012Pa2bA.12 B.C.14 D.7.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数a1a2a3a4a5(例如01001)，其中ak(k=1，2，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X=a1+a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时，下列说法正确的是(A.P(X=1)=2B.E(X)=5C.D(X)=10D.五位二进制数10100与10001出现的概率相同8.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为()A.4413025 B.C.5121 D.二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.离散型随机变量X的分布列为X01245Pq0.30.20.20.1若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的有()A.E(X)=2 B.E(Y)=4C.D(X)=2.8 D.D(Y)=1410.已知一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有()A.从中任取3个球，恰有1个白球的概率是3B.从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球次数的方差为4C.现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为2D.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为411.某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N(9，σ2)，且P(ξ≤8)=0.1.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个，其中成绩在(8，10)内的个数记X，则下列说法正确的有()A.P(8<ξ<10)=0.8 B.P9<ξC.E(X)=4 D.P(X≥1)>0.95三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.针对“中学生追星问题”，某校团委做了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23.现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是13.设随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，若P(ξ>a+b)=P(ξ<a-b)，且P(ξ>2a+b)+P(ξ≤2b-a)=1，则b=.14.一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E(X)=.四、解答题(本题共5小题，共77分)15.(13分)一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(240，σ2)，且P(z≤248)=0.95.(1)求{z<232或z>248}的概率；(7分)(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232mm或大于248mm的零件个数，求{X=2}的概率.(6分)16.(15分)某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20分，每局比赛，棋手胜则加10分；平局不得分；棋手负则减10分.当棋手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为14，14，1(1)求两局后比赛终止的概率；(7分)(2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率.(8分)17.(15分)某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段[0，7)[7，8)[8，9)[9，10]食堂个数1383(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；(6分)(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及均值.(9分)18.(17分)某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成频率分布直方图.(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01)；(5分)(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96，100]的企业数为Y，求Y的分布列与均值；(7分)(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2=27.68，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？(结果保留整数)(5分)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.19.(17分)某农户考察三种不同的果树苗A，B，C，经引种试验后发现，引种树苗A的自然成活率为0.8，引种树苗B，C的自然成活率均为p(0.7≤p≤0.9).(1)任取树苗A，B，C各一棵，估计自然成活的棵数为X，求X的分布列及E(X)；(8分)(2)将(1)中的E(X)取得最大值时p的值作为B种树苗自然成活的概率.该农户决定引种n棵B种树苗，引种后没有自然成活的树苗中有75%的树苗可经过人工栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活.①求一棵B种树苗最终成活的概率；(3分)②若每棵树苗引种最终成活后可获利300元，不成活的每棵亏损50元，该农户为了获利不低于20万元，则至少应引种B种树苗多少棵？(6分)章末检测试卷二[时间：120分钟分值：150分]一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知随机变量X的分布列为P(X=n)=a(n+1)(n+2)(n=0，1，2)，其中A.P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 B.a=4C.P(0≤X<2)=89 D.P(X≥1)=答案D解析由P(X=n)=a(n+1)(n+2)(n=0，得P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1，即a2+a6+a12=1，解得a=43，故P(0≤X<2)=P(X=0)+P(X=1)=23+29=89P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=29+19=13，故2.已知P(A)=25，P(B)=411，P(B|A)=1522，则P(A|B)等于A.12 B.C.34 D.答案C解析P(AB)=P(A)P(B|A)=25×1522=则P(A|B)=P(AB)P(3.下列说法错误的是()A.若随机变量X~B10，12，则EB.若随机变量X的方差D(X)=1，则D(3X+1)=10C.若P(A)=0.6，P(B)=0.4，P(B|A)=0.4，则事件A与事件B相互独立D.若随机变量X服从正态分布N(6，σ2)，P(X<10)=0.8，则P(2<X<6)=0.3答案B解析对于A，因为随机变量X~B10，12，所以E(X)=10×12对于B，因为D(X)=1，所以D(3X+1)=9D(X)=9，故B错误；对于C，由P(B|A)=P(AB)P(A)，得P(AB)=P(B|A因为P(A)P(B)=P(AB)，所以事件A与事件B相互独立，故C正确；对于D，因为P(X<10)=0.8，所以P(X≥10)=1-0.8=0.2.因为随机变量X服从正态分布N(6，σ2)，所以P(X≤2)=P(X≥10)=0.2，所以P(2<X<6)=12P(2<X<10)=12×(1-2×0.2)=0.3，故D4.甲、乙两羽毛球运动员之间的训练，要进行三场比赛，且这三场比赛可看成三次伯努利试验，若甲至少取胜一次的概率为6364，则甲恰好取胜一次的概率为(A.14 B.C.964 D.答案C解析假设甲取胜为事件A，设每次甲胜的概率为p，由题意得，事件A发生的次数X~B(3，p)，则1-(1-p)3=6364得p=34，则事件A恰好发生一次的概率为C31×34×5.已知甲罐中有5个红球、5个白球，乙罐中有3个红球、7个白球.先从甲中随机取出一球放入乙罐，再从乙中随机取出一球，用A1表示事件“从甲罐取出的球是红球”，A2表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”，则下列结论正确的是()A.P(B)=922 B.P(B|A1)=C.P(B|A1)+P(B|A2)=711 D.P(A1A2)=答案C解析由题意P(A1)=P(A2)=12，P(B|A1)=411，P(B|A2)=所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=12×411+12×311=722P(B|A1)+P(B|A2)=711，故C又事件A1，A2为对立事件，所以P(A1A2)=0，故D错误.6.已知盒子中装有n(n>1)个一等品和2个二等品，从中任取2个产品(取到每个产品都是等可能的)，用随机变量X表示取到一等品的个数，X的分布列如表所示，则D(X)等于()X012Pa2bA.12 B.C.14 D.答案B解析由分布列可得a+b=13，P(X=1)=C21Cn1Cn+22=23，解得n又P(X=0)=C22C42=16=进而可得E(X)=23+2b=1故D(X)=(0-1)2a+(1-1)2×23+(2-1)2b=a+b=17.某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数a1a2a3a4a5(例如01001)，其中ak(k=1，2，3，4，5)出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X=a1+a2+a3+a4+a5，则当程序运行一次时，下列说法正确的是(A.P(X=1)=2B.E(X)=5C.D(X)=10D.五位二进制数10100与10001出现的概率相同答案D解析由二进制数的特点知，每一个数位上的数字只能为0或1，且每个数位上的数字互不影响，故X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，且X的取值表示1出现的次数，由二项分布的定义，可得X~B5，故P(X=1)=C51231因为X~B5，23，所以E(X)=5×23=D(X)=5×23×13=109五位二进制数10100与10001出现的概率均为P(X=2)=C52×232×1338.盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，第一次比赛时从中任取3个来使用，比赛后仍放回盒中.第二次比赛时再从中任取3个球，则第二次取出的球都是新球的概率为()A.4413025 B.C.5121 D.答案A解析令Ai表示“第一次任取3个球使用时，取出i个新球(i=0，1，2，3)”，B表示“第二次任取的3个球都是新球”，则有P(A0)=C33C123=1220，P(A1)=C32C91C123=27220，P(A2)根据全概率公式，第二次取到的球都是新球的概率为P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=1220×C93C123+27220×C8=4413025二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.离散型随机变量X的分布列为X01245Pq0.30.20.20.1若离散型随机变量Y满足Y=2X+1，则下列结果正确的有()A.E(X)=2 B.E(Y)=4C.D(X)=2.8 D.D(Y)=14答案AC解析由离散型随机变量X的分布列的性质，得q=1-0.3-0.2-0.2-0.1=0.2，则E(X)=0×0.2+1×0.3+2×0.2+4×0.2+5×0.1=2，D(X)=(0-2)2×0.2+(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.2+(4-2)2×0.2+(5-2)2×0.1=2.8，所以A，C正确；因为离散型随机变量Y满足Y=2X+1，所以E(Y)=2E(X)+1=4+1=5，D(Y)=22D(X)=4×2.8=11.2，所以B，D错误.10.已知一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，则下列结论中正确的有()A.从中任取3个球，恰有1个白球的概率是3B.从中有放回地取球6次，每次任取1个球，则取到红球次数的方差为4C.现从中不放回地取球2次，每次任取1个球，则在第一次取到红球后，第二次再次取到红球的概率为2D.从中有放回地取球3次，每次任取1个球，则取到两次红球的概率为4答案ABD解析恰有1个白球的概率P=C21C42C63=35，故A正确；每次任取1个球，取到红球次数X~B6，23，其方差为6×23×1-23=43，故B正确；设A=“第一次取到红球”，B=“第二次取到红球”，则P(A)=23，P(AB)=4×36×5=25，所以P(B|A)=P(AB)P(11.某地区高三男生的“50米跑”测试成绩ξ(单位：秒)服从正态分布N(9，σ2)，且P(ξ≤8)=0.1.从该地区高三男生的“50米跑”测试成绩中随机抽取5个，其中成绩在(8，10)内的个数记X，则下列说法正确的有()A.P(8<ξ<10)=0.8 B.P9<ξC.E(X)=4 D.P(X≥1)>0.95答案ACD解析A选项，由正态分布的对称性可知P(ξ≤8)=P(ξ≥10)=0.1，故P(8<ξ<10)=1-2×0.1=0.8，A正确；B选项，由P(8<ξ<10)=0.8，可得P(9<ξ<10)=0.4，由正态曲线可得P9<ξ<192>12C选项，因为X~B(5，0.8)，所以E(X)=5×0.8=4，故C正确；D选项，因为X~B(5，0.8)，所以P(X=0)=C50×0.80×0.25=0.000所以P(X≥1)=1-0.00032=0.99968>0.95，故D正确.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.针对“中学生追星问题”，某校团委做了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23.现随机选择一名学生，则这名学生追星的概率是答案1解析记A1表示“女生”，A2表示“男生”，B表示“追星”.设女生人数为x，则男生人数为2x，总人数为x+2x=3x，所以P(A1)=x3x=13，P(A2)=2x3x=23，P(B|A1)=23，P(所以这名学生追星的概率P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=13×23+23×113.设随机变量ξ服从正态分布N(1，4)，若P(ξ>a+b)=P(ξ<a-b)，且P(ξ>2a+b)+P(ξ≤2b-a)=1，则b=.答案3解析因为P(ξ>a+b)=P(ξ<a-b)，所以a+b+又因为P(ξ>2a+b)+P(ξ≤2b-a)=1，则2a+b=2b-a，所以b=3a=3.14.一个箱子里有5个相同的球，分别以1~5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E(X)=.答案61解析方法一依题意，X的可能取值为1，2，3，总的选取可能数为53=125，其中X=1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故P(X=1)=5125=1X=2：恰好两种不同的球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次的球的位置有3种可能，故事件X=2的可能情况有5×4×3=60(种)，故P(X=2)=60125=12X=3：三种不同的球被取出，由排列数可知事件X=3的可能情况有5×4×3=60(种)，故P(X=3)=60125=12所以E(X)=1×125+2×1225+3×1225方法二依题意，假设随机变量Xi，其中i=1，2，3，4，5，其中Xi=1则X=5∑i＝易知每个球的E(Xi)相等，则由数学期望的线性性质，得E(X)=E(5∑i＝1Xi)=5∑i＝1E(Xi由题意可知，球i在单次抽取中未被取出的概率为45由于每次抽取独立，三次均未取出球i的概率为P(Xi=0)=453=因此球i至少被取出一次的概率为P(Xi=1)=1-64125=61故E(Xi)=61125所以E(X)=5E(Xi)=5×61125=61四、解答题(本题共5小题，共77分)15.(13分)一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z(单位：mm)服从正态分布N(240，σ2)，且P(z≤248)=0.95.(1)求{z<232或z>248}的概率；(7分)(2)若从该条生产线上随机选取3个零件，设X表示零件尺寸小于232mm或大于248mm的零件个数，求{X=2}的概率.(6分)解(1)因为零件尺寸z服从正态分布N(240，σ2)，所以P(z>248)=1-P(z≤248)=0.05，因为232+2482=240所以P(z<232)=P(z>248)=0.05.故{z<232或z>248}的概率为0.05+0.05=0.1.(2)依题意可得X~B(3，0.1)，所以P(X=2)=C32×0.12×(1-0.116.(15分)某公司邀请棋手与该公司研制的一款人形机器人进行象棋比赛，规则如下：棋手的初始分为20分，每局比赛，棋手胜则加10分；平局不得分；棋手负则减10分.当棋手总分为0分时，挑战失败，比赛终止；当棋手总分为30分时，挑战成功，比赛终止；否则比赛继续.已知每局比赛棋手胜、平、负的概率分别为14，14，1(1)求两局后比赛终止的概率；(7分)(2)在3局后比赛终止的条件下，求棋手挑战成功的概率.(8分)解设每局比赛棋手胜为事件Ai，每局比赛棋手平为事件Bi，每局比赛棋手负为事件Ci(i∈N*)，(1)设“两局后比赛终止”为事件M，因为棋手与机器人比赛两局，所以比赛终止的情况为棋手得0分或30分.①当棋手得分为0分时，两局均负，即C1C2；②当棋手得分为30分时，两局先平后胜，即B1A2.因为C1C2，B1A2互斥，所以P(M)=P(C1C2∪B1A2)=P(C1C2)+P(B1A2)=P(C1)P(C2)+P(B1)P(A2)=122+14所以两局后比赛终止的概率为516(2)设“3局后比赛终止”为事件D，“3局后棋手挑战成功”为事件E.易得P(D)=P(B1B2A3∪B1C2C3∪C1A2A3∪C1B2C3)=143+14×122+12×142+P(E)=P(B1B2A3∪C1A2A3)=143+12×1所以在3局后比赛终止的条件下，棋手挑战成功的概率为P(E|D)=P(DE)P(D)17.(15分)某省食品药品监管局对15个大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段[0，7)[7，8)[8，9)[9，10]食堂个数1383(1)现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；(6分)(2)以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及均值.(9分)解(1)设“至多有1个大学食堂的评分不低于9分”为事件A，则P(A)=C31C所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为418455(2)任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为315=1故X~B3，15，X的可能取值为0，1，2所以P(X=0)=C30×45P(X=1)=C31×452×P(X=2)=C32×45×1P(X=3)=C33×15所以X的分布列为X0123P6448121故E(X)=3×15=318.(17分)某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩(单位：分)，并制成频率分布直方图.(1)求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)及中位数a(精确到0.01)；(5分)(2)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在[96，100]的企业数为Y，求Y的分布列与均值；(7分)(3)若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2=27.68，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？(结果保留整数)(5分)P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解(1)这50家食品生产企业考核成绩的平均数为x=74×0.04+78×0.12+82×0.28+86×0.36+90×0.10+94×0.06+98×0.04=84.80，由频率分布直方图得a∈[84，88]，∴0.04+0.12+0.28+0.09×(a-84)=0.5，解得中位数a≈84.67.(2)这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有50×(0.1+0.06+0.04)=10(家)，其中考核成绩在[96，100]的企业有50×0.04=2(家)，由题意可知，Y的可能取值为0，1，2，P(Y=0)=C85CP(