《等差数列的性质及应用》课件

第2课时等差数列的性质及应用第四章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.能够根据等差数列的定义和通项公式推出等差数列的重要性质.(逻辑推理、数学运算)2.能够运用等差数列的性质解决有关问题.(数学运算)3.能够运用等差数列的知识解决简单的实际问题.(数学运算)课前篇自主预习【激趣诱思】已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1,公差为d,分别按照以下方法操作,得到的数列还是等差数列吗?(1)将数列中的前m项去掉;(2)取出数列中的所有奇数项;(3)取出数列中所有序号为7的倍数的项.这些问题的结论就是今天我们要学习的“等差数列的性质”.【知识梳理】

一、等差数列与一次函数的关系

等差数列一次函数解析式an=dn+(a1-d)f(x)=kx+b(k≠0)不同点①定义域为N*.②图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点.①定义域为R.②图象是一条直线.

等差数列一次函数相同点①当d≠0时,等差数列的通项公式与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式.②等差数列中的a1,d,n,an四个量中知三求一和一次函数中求k,b的方法都是解方程(组).利用一次函数判断等差数列的方法若一个数列的通项公式的等号右边是关于n的一次式,则此数列一定是等差数列且n的系数为公差d.微练习在等差数列{an}中,a4=6,a6=4,则a10=

.

答案

0解析

设图象过点(4,6)和(6,4)的一次函数解析式为y=kx+b,则由

解得k=-1,b=10.因此图象过点(4,6)和(6,4)的一次函数解析式为y=-x+10.由等差数列的通项公式与一次函数的关系可知an=10-n,所以a10=10-10=0.二、等差数列的常用性质

性质1通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).性质2若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.

当k+l=2m时,ak+al=2am性质3若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为

2d

.性质4若{an},{bn}分别是以d1,d2为公差的等差数列,则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列.性质5若{an}是公差为d的等差数列,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)组成公差为

md的等差数列.性质6若ap=q,aq=p,则ap+q=0.性质7有穷等差数列中,与首末两项等距离的两项之和都相等,都等于首末两项之和:a1+an=a2+an-1=…=ai+an+1-i=…性质8若数列{an}为等差数列,公差为d,则{λan+m}(λ,m为常数)是公差为

λd的等差数列.微思考(1)若{an}为等差数列,且m+n=p(m,n,p∈N*),则am+an=ap一定成立吗?提示

不一定成立.假设{an}的首项为a1,公差为d,则am+an=2a1+(m+n-2)d,而ap=a1+(p-1)d,只有当a1=d时,am+an=ap成立,否则不成立.(2)若{an}为等差数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是am+an=ap+aq成立的充要条件吗?假如不是,则是什么条件?提示

不是充要条件.在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有am+an=ap+aq,反之则不一定,如{an}是常数列.故是充分不必要条件.(3)若一个数列{an}是摆动数列,则{an}可以是等差数列吗?提示

不可以.课堂篇探究学习探究一等差数列性质的应用例1(1)已知等差数列{an},a5=10,a15=25,求a25的值.(2)已知等差数列{an},a3+a4+a5+a6+a7=70,求a1+a9的值.(3)已知数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=2,b1=-3,a7-b7=17,求a19-b19的值.分析根据各个题的特征,选择相应等差数列的性质求解.(方法2)因为5+25=2×15,所以在等差数列{an}中有a5+a25=2a15,从而a25=2a15-a5=2×25-10=40.(方法3)因为5,15,25成等差数列,所以a5,a15,a25也成等差数列,因此a25-a15=a15-a5,即a25-25=25-10,解得a25=40.(2)由等差数列的性质,得a3+a7=a4+a6=2a5=a1+a9,所以a3+a4+a5+a6+a7=5a5=70,于是a5=14,故a1+a9=2a5=28.(3)令cn=an-bn,因为{an},{bn}都是等差数列,所以{cn}也是等差数列,设其公差为d,由已知,得c1=a1-b1=5,c7=17,则5+6d=17,解得d=2,‘故a19-b19=c19=5+18×2=41.方法技巧求等差数列基本运算的两种方法一是利用基本量运算,借助于a1,d建立方程组进行运算,这是最基本的方法;二是利用性质运算,运用等差数列的性质可简化计算,往往会有事半功倍的效果.变式训练

1(1)已知数列{an}为等差数列,且a1+a6+a11=3,则a3+a9=

.

(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,则a75=

.

答案

(1)2

(2)24解析

(1)因为数列{an}为等差数列,所以a1+a11=2a6,即3a6=3,解得a6=1,故a3+a9=2a6=2.(2)(方法1)因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差为d,a15为首项,a60为其第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4,所以a75=a60+d=20+4=24.(方法2)由于等差数列中(n,an)是一条直线上的孤立的点,因此(15,8),(60,20),(75,a75)三点共线,则

,解得a75=24.探究二等差数列的综合问题例2(1)设{an}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3=15,a1a2a3=80,求a11+a12+a13的值.(2)已知四个数依次成等差数列,且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.分析(1)由于已知条件中含等差数列前3项的和与积,因此可考虑利用等差中项及等差数列性质求解;(2)中涉及四个数成等差数列,因此可考虑用“对称性”设出这四个数.解

(1)设{an}的公差为d,∵a1+a3=2a2,∴a1+a2+a3=15=3a2,∴a2=5.又a1a2a3=80,{an}是公差为正数的等差数列,∴a1a3=(5-d)(5+d)=16,解得d=3或d=-3(舍去),∴a12=a2+10d=35,∴a11+a12+a13=3a12=105.方法技巧三个数或四个数成等差数列时,设未知量的技巧如下:(1)当等差数列{an}的项数n为奇数时,可先设中间一项为a,再用公差为d向两边分别设项:…,a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,….(2)当等差数列{an}的项数n为偶数时,可先设中间两项为a-d,a+d,再以公差为2d向两边分别设项:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,….这样可减少计算量.变式训练

2已知三个数成等差数列,且数列是递增的,它们的和为18,平方和为116,求这三个数.探究三等差数列的实际应用例3《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,最上面4节的容积之和为3升,最下面3节的容积之和为4升,则从上往下数,第5节的容积为(

)分析设出等差数列的首项与公差,运用等差数列的知识解决.答案

B方法技巧解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤:①审题,即仔细阅读材料,认真理解题意;②建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;③判型,即判断该数列是不是等差数列;④求解,即求出该问题的数学解;⑤还原,即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.变式训练

3(2021江西修水高二月考)某同学参加《二十四节气日中影长变化规律》课题的研究,并测得冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二节气日中同一固定时刻校内旗杆的影长.由于不慎将大部分数据丢失如下表,表中旗杆影长为19m是在下列哪个节气日中同一固定时刻测得的(注:据《周髀算经》记载这十二节气日的影长依次构成等差数列)(

)A.谷雨 B.立夏 C.小满

D.芒种答案

B

素养形成等差数列的探索性问题(1)求证:数列{bn}为等差数列.(2)设cn=,试问数列{cn}中是否存在三项可以构成等差数列?若存在,求出这三项;若不存在,说明理由.分析(1)证明(bn+1-bn)为常数;(2)假设存在三项成等差数列,利用等差中项的性质列式推出一个矛盾的结论.(2)解

不存在.理由如下:假设数列{cn}中存在三项可以构成等差数列.不妨设为第p,r,q(p<r<q)项,由(1)得bn=n,∴cn=2n,∴2·2r=2p+2q,∴2r+1-p=1+2q-p.又2r+1-p为偶数,1+2q-p为奇数,故不存在这样的三项.方法点睛判断三个数能不能成等差数列,可先假设所证三个数成等差数列,利用等差数列的性质列式,推出矛盾结论.

当堂检测1.已知等差数列{an},a7+a19=19,a5=1,则a21的值为(

)A.20 B.18 C.15 D.17答案

B解析

因为a7+a19=a5+a21,所以19=1+a21,解得a21=18.2.已知数列{an},{bn}为等差数列,且公差分别为d1=2,d2=1,则数列{2an-3bn}的公差为(

)A.7 B.5 C.3 D.1答案

D解析

2an+1-3bn+1-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=4-3=1.3.(2021湖南怀化高二期末)在等差数列{an}中,a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根,则a3=(

)A.2 B.3 C.±2 D.答案

D解析

由于a2,a4是方程x2-3x-4=0的两根,所以a2+a4=3.又{an}是等差数列,所以a2+a4=2a3,所以a3=.4.由公差d≠0的等差数列{an}组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…,下列说法正确的是(

)A.新数列不是等差数列

B.新数列是公差为d的等差数列

C.新数列是公差为2d的等差数列

D.新数列是公差为3d的等差数列答案

C解析

∵(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,∴数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.5.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于

.

答案

3∶4∶5解析

设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.