5.5.4简单的三角恒等变换（一）

简单的三角恒等变换（一）一、选择题1.eq\f(sin20°cos20°,cos2155°－sin2155°)的值是()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．－eq\f(\r(3),2)2．若sineq\f(α,2)＝eq\f(12,13)，coseq\f(α,2)＝－eq\f(5,13)，则角α是()A．第一象限的角 B．第二象限的角C．第三象限的角 D．第四象限的角3．已知sinα－cosα＝eq\f(4,3)，则sin2α＝()A．－eq\f(7,9)B．－eq\f(2,9)C.eq\f(2,9)D.eq\f(7,9)4．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α＝()A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)5．已知等腰三角形底角的正弦值为eq\f(\r(5),3)，则顶角的正弦值是()A.eq\f(4\r(5),9)B.eq\f(2\r(5),9)C．－eq\f(4\r(5),9)D．－eq\f(2\r(5),9)6．已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))的值等于()A.eq\f(7,9)B.eq\f(1,3)C．－eq\f(7,9)D．－eq\f(1,3)7．已知α，β均为锐角，且3sinα＝2sinβ，3cosα＋2cosβ＝3，则α＋2β的值为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D．π二、填空题8．已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝________.9．已知tanα＝－eq\f(1,3)，则eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝________.10．已知sin22α＋sin2αcosα－cos2α＝1，则锐角α＝________.三解答题11.求证：eq\f(1－cosθ＋sinθ,1＋cosθ＋sinθ)＝taneq\f(θ,2).12．知sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，且∈(0，π)．(1)求tan2α的值；(2)求2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))).参考答案一、选择题1.A[原式＝eq\f(\f(1,2)sin40°,cos310°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,cos50°)＝eq\f(\f(1,2)sin40°,sin40°)＝eq\f(1,2).]2．C[∵sinα＝2sineq\f(α,2)coseq\f(α,2)＝2×eq\f(12,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))＜0，cosα＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2＜0，∴α是第三象限的角．]3．A[∵sinα－cosα＝eq\f(4,3)，∴1－2sinαcosα＝eq\f(16,9)，即1－sin2α＝eq\f(16,9)，∴sin2α＝－eq\f(7,9).]4．A．－eq\f(3,4)B.eq\f(3,4)C．－eq\f(4,3)D.eq\f(4,3)B[因为eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，整理得tanα＝－3，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×－3,1－－32)＝eq\f(3,4).]5．A[设底角为θ，则θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，顶角为180°－2θ.∵sinθ＝eq\f(\r(5),3)，∴cosθ＝eq\r(1－sin2θ)＝eq\f(2,3)，∴sin(180°－2θ)＝sin2θ＝2sinθcosθ＝2×eq\f(\r(5),3)×eq\f(2,3)＝eq\f(4\r(5),9).]6．C[因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－2α))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2－1＝－eq\f(7,9).]7．D[由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(2,3)sinβ，①,cosα＝1－\f(2,3)cosβ，②))①2＋②2得cosβ＝eq\f(1,3)，cosα＝eq\f(7,9)，由α，β均为锐角知，sinβ＝eq\f(2\r(2),3)，sinα＝eq\f(4\r(2),9)，∴tanβ＝2eq\r(2)，tanα＝eq\f(4\r(2),7)，∴tan2β＝－eq\f(4\r(2),7)，∴tan(α＋2β)＝0.又α＋2β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2)))，∴α＋2β＝π.故选D.]二、填空题8．eq\f(1,6)[cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1－\f(2,3),2)＝eq\f(1,6).]9．－eq\f(5,6)[eq\f(sin2α－cos2α,1＋cos2α)＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,1＋2cos2α－1)＝eq\f(2sinαcosα－cos2α,2cos2α)＝tanα－eq\f(1,2)＝－eq\f(5,6).]10．eq\f(π,6)[由原式，得sin22α＋sin2αcosα－2cos2α＝0，∴(2sinαcosα)2＋2sinαcos2α－2cos2α＝0，∴2cos2α(2sin2α＋sinα－1)＝0，∴2cos2α(2sinα－1)(sinα＋1)＝0.∵α为锐角，∴cos2α≠0，sinα＋1≠0，∴2sinα－1＝0，∴sinα＝eq\f(1,2)，∴α＝eq\f(π,6).]三、解答题11．[证明]eq\f(1－cosθ＋sinθ,1＋cosθ＋sinθ)＝eq\f(2sin2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2),2cos2\f(θ,2)＋2sin\f(θ,2)cos\f(θ,2))＝eq\f(2sin\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(θ,2)＋cos\f(θ,2))),2cos\f(θ,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(θ,2)＋sin\f(θ,2))))＝taneq\f(θ,2).12．[解](1)由sinα＋cosα＝eq\f(1,5)，得sinαcosα＝－eq\f(12,25)，因为α∈(0，π)，所以α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，所以sinα－cosα＝eq\r(2－sinα＋cosα2)＝eq\f(7,5)，解得sinα＝eq\f(4,5)，cosα＝－eq\f(3,5)，故tanα＝－eq\f(4,3)，所以tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(24,7).(2)2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋\f(π,6)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝1－eq\f(1,2)cosα＋eq\f(\r(3),2)sinα－eq\f(\r(3),2)sinα－eq\f(1,2)cosα＝1－cosα＝eq\f(8,5).A级必备知识基础练1.[探究点一]已知cosα=15,α∈(3π2,2π),则sinαA.105 B.-10C.265 D2.[探究点一·2024甘肃武威高一期末]已知sinα=55,cosα=255,则tanαA.2-5 B.2+5 C.5-2 D.±(5-2)3.[探究点二]2cos(2x+π3)sin(2x-π3)=(A.12+cos4x B.12-C.32+cos4x D.-32+4.[探究点二]若sinα+sinβ=1213,cosα+cosβ=613,则tanα+A.2 B.12C.-2 D.-15.[探究点三·2024四川资阳高二阶段练习]函数f(x)=sinxcosx+cos2x的最小正周期为()A.π4 B.πC.π D.2π6.[探究点二·苏教版教材习题改编]sin20°-sin40°cos207.[探究点一]已知180°<α<270°,且sin(α+270°)=45,则sinα2=,tanα28.[探究点二]若cosπ4+θcosπ4-θ=14,则sin4B级关键能力提升练9.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,则fπ12=(A.6-22 B.C.1 D.210.若3π<x<4π,则1+cosx2+1A.2cos(π4−x2) B.-2C.2sin(π4−x2) D.-211.设函数f(x)=2cos2x+3sin2x+a(a为实常数)在区间0,π2上的最小值为-4,那么aA.4 B.-6 C.-4 D.-312.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725,则它的底角的余弦值为(A.34 B.35 C.12 13.若cosθ=-725,θ∈(π,2π),则sinθ2+cosθ2=,sinθ2-cosθC级学科素养创新练14.已知sinA+sinB+sinC=0,cosA+cosB+cosC=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=32答案：1.A∵α∈(3π2,2π),∴α2∈(3π4,π),sin2.C∵sinα=55,cosα=255,∴tanα3.D2cos(2x+π3)sin(2x-π3)=sin[(2x+π3)+(2x-π3)]-sin[(2x+π3)-(2x-π3)]=sin4x-sin2π3=sin4.A由sinα+sinβ=sin(α+β2+α-β2)+sin(cosα+cosβ=cos(α+β2+α-β2)+cos(两式相除得tanα+β2=12135.C由二倍角公式和辅助角公式化简f(x)=sinxcosx+cos2x,可得f(x)=12sin2x+cos2x=52sin(2x+φ),其中tanφ由三角函数的周期公式可得最小正周期T=2π2=π.故选6.-3原式=sin(30°-10°)-7.31010-3∵sin(α+270°)=-cosα=∴cosα=-45又180°<α<270°,∴90°<α2<∴sinα2=1-cosα2=1+8.58cosπ4=cosπ4+θ=12sin=12cos2θ=1∴cos2θ=12∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-12sin22θ=1-12(1-cos22θ)=1-9.D∵f(x)=1+3·sinxcosxcosx=cosx+3∴