重庆市沙坪坝区2025~2026学年高一数学下册期中试题【附答案】

/重庆市2025-2026学年度下期半期考试高一数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数（）．A. B. C. D.【正确答案】B【详解】因为虚数单位的幂的周期为，满足：所以：，因此，代入原式计算可得；.2.在中，，，，则的面积等于（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】由正弦定理余弦定理和三角形面积公式求解即可【详解】由可得，又，解得，，又由可得，所以的面积为，故选：D3.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（）A. B.C. D.【正确答案】C【分析】由题意设，由向量的线性运算可得，再根据，列等式计算即可求出.【详解】由题意，是上一点，设，则，又，所以，所以，所以，解得.故选：C本题主要考查平面向量的线性运算和平面向量基本定理及其意义，考查数形结合的思想，属于中档题.4.已知是两个不共线的向量，若，，，则中共线的三点是（）A. B. C. D.【正确答案】A【详解】因为，所以三点共线；由，所以与不平行，所以三点不共线；因为，所以与不平行，所以三点不共线；，因，所以与不平行，所以三点不共线.5.中，、、的对边分别为、、，若且，则的形状是（）A.顶角为的等腰三角形 B.等边三角形C.等腰直角三角形 D.直角三角形【正确答案】C【分析】由推导得的平分线垂直于边，进而得，再由给定面积导出得解.【详解】如图所示，在边、上分别取点、，使、，以、为邻边作平行四边形，则，显然，因此平行四边形为菱形，平分，而，所以，即，于是得是等腰三角形，即，令直线交于点，则是边的中点，，而，因此，从而得，综上，是等腰直角三角形.故选：C6.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数的图象关于轴对称，则（）A. B. C. D.【正确答案】D【分析】根据三角函数图象的平移变换，可得到平移后的函数解析式，结合其图象性质，列出所满足的相应等式，即可求得答案.【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象对应的解析式为，由于的图象关于轴对称，即为偶函数，故，即，由于，故，故选：D7.在等腰梯形中，，，，为的中点，为线段上的点，则的最小值是（）A.0 B. C. D.1【正确答案】B【分析】以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，设，用数量积的坐标表示求得数量积，然后由二次函数知识得最小值．【详解】由题意等腰梯形的高为，如图，以为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，设，则，，，所以时，取得最小值．故选：B．8.《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.即有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题错误的是（）A.周长为 B.三个内角满足2C=A+BC.外接圆的直径为 D.内切圆的半径为【正确答案】D【分析】由题意设，结合已知面积公式求a、b、c，即知周长，再根据正余弦定理求△的、外接圆半径、内切圆的半径.【详解】对于A，由题意，设，∴，则，∴，故，则周长为，A正确.对于B，，，则，故，B正确.对于C，∴，若外接圆半径为，则，C正确.对于D，若内切圆半径为，则，即，D错误.故选：D二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.若复数，则下列选项正确的有（）A. B.的共轭复数为C.为实数 D.在复平面内对应的点位于第二象限【正确答案】AC【详解】因为，所以，故A正确；复数的共轭复数为，故B错误；为实数，故C正确；在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误.10.已知向量，，，下列说法错误的是（）A.若，则或 B.若，，则C.若 D.若且，则【正确答案】ABD【详解】若，则，所以或或，故A错误；当时，可为任意非零向量，也可为任意非零向量，此时与不一定平行，故B错误；由，可得，若或，则可得；当且，可得，所以或，故，故C正确；若，可得，所以，又，所以或，所以或，故D错误.11.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（）A.若，则的外接圆的面积为B.若，且有两解，则b的取值范围为C.若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D.若，且，O为的内心，则的面积为【正确答案】ACD【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.【详解】因为，所以由正弦定理，得，即，因为，所以，且，所以.选项A：若，则，所以的外接圆的直径，所以，所以的外接圆的面积为，选项A正确；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，故，解得b，所以选项B错误；选项C：由正弦定理，得，即，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，故选项C正确；选项D：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因为，所以，故，，解得，因为，所以，即是直角三角形，所以内切圆的半径为，所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在三角形中，若，则向量在向量上的投影向量为__________.【正确答案】【分析】由题意可得为线段的中点，，则为等腰三角形，然后根据投影向量的定义求解即可.【详解】因为，所以为线段的中点，因为，所以，所以,所以，所以为等腰三角形，所以向量在向量上的投影向量为,故答案为.13.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名的，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，，是两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为______．【正确答案】【分析】利用托勒密定理和正三角形性质，结合圆内接四边形的面积公式求解.【详解】设的边长为，因为为正三角形，所以.因为，所以由托勒密定理，得，即，即．因为四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，所以，又因为，所以.在中，由余弦定理可得，又，，则，即，又，所以.因此．故答案为.14.已知的外接圆半径为2，三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则的最大值为________.【正确答案】【分析】设的外接圆半径，根据题意并结合正弦定理得，再根据得，，最后根据三角恒等变换求最值即可得答案.【详解】解：设的外接圆半径，则，由正弦定理知，所以，即,因为，即，所以，即，所以，，所以，，其中因为，所以，所以，当时，有最大值.故四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知A，B，C分别为三边a，b，c所对的角，向量，，且．（1）求角C的大小；（2）若，且，求边c的长．【正确答案】（1）（2）【分析】（1）利用数量积的坐标运算及三角公式化简整理可得角C的大小；（2）将中的角化边，再将用三角形的边角表示出来，然后利用余弦定理求出边c的长.【小问1详解】由已知得．因为，所以，所以．又，所以，，则所以．又，所以；【小问2详解】由已知及正弦定理得．因为，所以，所以．由余弦定理得，所以，所以，所以．16.已知平面向量.（1）若，求的值；（2）若，求的值.（3）若与的夹角是钝角，求的取值范围.【正确答案】（1）或3：（2）1或（3）【分析】（1）利用即可；（2）利用得出值，再利用求模公式；（3）利用且不共线即可.【小问1详解】若，则.整理得，解得或.故的值为或3.【小问2详解】若，则有，即，解得或当时，，则，得；当时，，则，得.综上，的值为1或.【小问3详解】因与的夹角是钝角，则，即，得，又当与共线时，有，得，不合题意，则综上，的取值范围为.17.如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.（1）若是边的中点，求的值；（2）当时，请确定点的位置.【正确答案】（1）（2）是线段靠近处的四等分点【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可.（2）设，则，结合数量积运算即可.【小问1详解】由题意知，由于是边的中点，因此，因此.【小问2详解】不妨设，因此，又，所以解得，即，故是线段靠近处的四等分点.18.已知平面四边形ABDC中，对角线CB为钝角的平分线，CB与AD相交于点O，，，.（1）求的值；（2）求的长；（3）若，求的面积.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）因为，利用二倍角公式直接求解即可；（2）在中，由余弦定理先求出，再求出，再把分成两个三角形，即和，利用三角形的面积公式列出等式，即可求出；（3）方法一，在中，利用正弦定理先求出，的正弦及余弦值，利用差角的正弦公式求出，在中，由余弦定理求出，再利用求面积即可；方法二，在等腰中，由去求，得到与的比例关系，从而得到与及与的比例关系，即可求出的面积.【小问1详解】因为，对角线为钝角的平分线，所以，解得或（舍），所以；【小问2详解】由题意，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），因为，所以，又因为，所以，所以，解得；【小问3详解】方法一：在中，由正弦定理可得，即，所以，因为为钝角，所以，因为，所以，所以，所以，在中，由余弦定理可得，解得，因为，所以；方法二：在中，由，可得，所以，所以，所以，又由于，从而，即，所以，，所以.19.设O为坐标原点，定义非零向量的”相伴函数”为称为函数的“相伴向量”.（1）设函数，求函数的相伴向量；（2）记的“相伴函数”为，若方程在区间上有且仅有四个不同的实数解，求实数k的取值范围；（3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值，当点M运动时，求的取值范围.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）由两角和差公式化简的解析式，进而根据定义找到的相应系数即可；（2）根据题意可得，分离参数后，构造函数，作出分段函数的图象，数形结合法可知，函数的图象与直线有四个交点时实数k的取值范围；（3）根据辅助角公式可