2025-2026学年江西省南昌中学三经路校区高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江西省南昌中学三经路校区高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在数列{an}中，a1=2,aA.2+ln99 B.2+ln100 C.2+ln101 D.2+2.已知公差为9的等差数列{an}的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列{aA.20 B.40 C.60 D.803.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=−28，S5A.6或7 B.7 C.8 D.7或84.已知数列{an}是等比数列，a1>0，则“对任意的正整数n都有anA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.函数f(x)=x+sinx在区间[0,π]上的平均变化率为(

)A.1 B.2 C.π D.06.设f(x)是可导函数，且limΔx→0f(1+3Δx)−f(1)Δx=2，则A.2 B.23 C.−1 D.7.已知函数f(x)=sinx+f′(0)，则f(π2)=A.0 B.1 C.2 D.38.已知过原点O的直线l与函数f(x)=x3−3x−16的图象相切，则l的斜率为A.7 B.8 C.9 D.10二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知数列{an}的首项a1=1，且A.a2=6 B.数列{an}是递增数列

C.数列10.下列求函数的导数正确的是(

)A.(1x3)′=3x2 B.11.已知函数f(x)=2f′(1)lnx+x2，则(

)A.f′(1)=−2

B.曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y−3=0

C.f(x)恰有2个极值点

D.f(x)的图象与x轴恰有2个交点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=2，S2013.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+1=2Sn，14.函数f(x)=x3−2ax2+3x+1在区间[1,2]上单调递减，则实数a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}满足a1+a23+a332+⋯+a16.(本小题15分)

已知函数f(x)=13x3−ax2+1．

(1)若曲线y=f(x)在点(−1,f(−1))处的切线l与直线y=−117.(本小题15分)

已知函数f(x)=x2−3x−2lnx．

(1)求函数f(x)的极值；

(2)求函数f(x)在[1,4]上的值域；

(3)设g(x)=x18.(本小题17分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=n2．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn=2nan，求数列{bn}的前n项和T19.(本小题17分)

已知函数f(x)=ax3+bx2−3x在x=±1处取得极值．

(1)求函数f(x)的解析式．

(2)求曲线y=f(x)在x=2处的切线方程．

(3)若x∈(−32参考答案1.B

2.B

3.D

4.C

5.A

6.B

7.C

8.C

9.BC

10.BC

11.AB

12.6.

13.2,n=1214.[1515.解：(1)当n=1时，a1=21−1=1，

当n≥2时，a1+a23+a332+⋯+an3n−1=2n−1，且a1+a23+a332+⋯+an−13n−2=2n−1−1，

两式作差得an3n−1=2n−2n−1=2n−1，

所以an=6n−1，

显然a1=2符合上式，

所以an=6n−1；

(2)根据(1)可知an=6n−1，

所以bn=log6an+1=log66n=n，

所以1bnbn+1=1n×(n+1)=1n−1n+1，

则1b1b2+1b2b3+⋯+1bnbn+1=(11−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(1n−1n+1)=nn+1．

16.解：(1)f′(x)=x2−2ax，则f′(−1)=1+2a，

因为f′(−1)⋅(−13)=−1，

所以1+2a=3，得a=1，又f(−1)=−13−1+1=−13，

所以l的方程为y=3(x+1)−13，即9x−3y+8=0；

(2)f′(x)=x2−2ax=x(x−2a)，

当a=0时，f′(x)=x2≥0，则f(x)在R上单调递增，

当a<0时，令f′(x)>0，得x<2a或x>0，令f′(x)<0，得2a<x<0，

所以f(x)在(−∞,2a)，(0,+∞)上单调递增，在(2a,0)上单调递减，

当a>0时，令f′(x)>0，得x<0或x>2a，

令f′(x)<0，得0<x<2a，

所以f(x)在(−∞,0)，(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减，

综上所述，当a=0时，f(x)在R上单调递增，

当a<0时，f(x)在(−∞,2a)，(0,+∞)上单调递增，在(2a,0)上单调递减，

当a>0时，f(x)在(−∞,0)，(2a,+∞)上单调递增，在(0,2a)上单调递减．

17.解：(1)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞)，

则f′(x)=2x−3−2x=2x2−3x−2x=(2x+1)(x−2)x，

因x>0，故2x+1>0，令f′(x)=0得x=2，

当x>2时，f′(x)>0，f(x)在(2,+∞)单调递增；

当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)在(0,2)单调递减，

因此f(x)只有极小值，无极大值，且极小值为f(2)=−2−2ln2，无极大值．

(2)由(1)的单调性可知f(x)在[1,2]单调递减，在[2,4]单调递增，

因此最小值为f(2)=−2−2ln2，

又f(1)=−2，f(4)=4−4ln2，

因为0<ln2<1⇒f(4)=4−4ln2>0，所以f(4)>f(1)，

故f(x)在[1,4]上的最大值为f(4)=4−4ln2，

因此f(x)在[1,4]上的值域为[−2−2ln2,4−4ln2]．

(3)因为f(x)=x2−3x−2lnx,g(x)=x2−3x+2x−2，

由f(x)≤g(x)，得x2−3x−2lnx≤x2−3x+2x−2，即lnx+1x−1≥0，

令h(x)=lnx+1x−1(x>0)