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第二章Hermit插值法--------(1)两点三次Hermite插值F例：设x0

x1

x2,已知f(x0)、f(x1)、f(x2)和f’(x1),求多项式P(x)满足P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且P’(x1)=f’(x1),并估计误差。模仿Newton多项式的思想，设解：首先，P

的阶数=3A为待定系数，可由P’(x1)=f’(x1)确定与Lagrange分析完全类似

求Hermite多项式的基本步骤：

写出相应于条件的、的组合形式；

对每一个找出尽可能多的条件给出的根；其中

根据多项式的总阶数和根的个数写出表达式；

根据尚未利用的条件解出表达式中的待定系数；由可得

最后完整写出H(x)。两点三次Hermite插值的误差为构造辅助函数均是二重根连续使用4次Rolle定理，可得，使得即所以,两点三次Hermite插值的余项为以上分析都能成立吗？一般的，总认为次数越高，逼近f(x)的精度就越好，但实际上并非如此。§2.6分段低次插值/*piecewisepolynomialapproximation*/RememberwhatIhavesaid?IncreasingthedegreeofinterpolatingpolynomialwillNOTguaranteeagoodresult,sincehigh-degreepolynomialsareoscillating.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n越大，端点附近抖动越大，称为Runge现象Ln(x)

f(x)

分段低次插值不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象从上图可以看出，随着n的增加，Ln(x)的计算结果和误差的绝对值几乎成倍的增加，这说明当n趋于无穷大时，Ln(x)在[-5，5]上不收敛；也称折线插值,如右图曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果因此则

分段线性插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每个区间上，用1阶多项式(直线)逼近f(x):记，易证：当时，一致失去了原函数的光滑性。

分段Hermite插值

/*Hermitepiecewisepolynomials*/给定在上利用两点的y及y’构造3次Hermite函数导数一般不易得到。Howcanwemakeasmooth

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