新北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形导学案

新北师大版八年级数学下册1.1等腰三角形导学案学习目标同学们，在这一节课中，我们将一同探索等腰三角形的奥秘。通过动手操作、观察思考和逻辑推理，你将能够：1.理解等腰三角形的概念，明确腰、底边、顶角和底角的含义。2.掌握等腰三角形的性质，并能运用这些性质解决简单的几何问题。3.经历等腰三角形性质的探究过程，体会数形结合和转化的思想，发展初步的演绎推理能力。4.在合作与探究中，感受数学的严谨性与趣味性，提升学习数学的兴趣。温故知新在开始我们今天的新课之前，让我们先回顾一下已经学过的一些知识：1.什么是三角形？三角形按边可以分为哪几类？2.三角形的内角和是多少度？3.如何判断两个三角形全等？我们学过哪些全等三角形的判定方法？（请同学们思考并与同伴交流一下，这些知识将帮助我们更好地学习今天的内容。）新知探究一、等腰三角形的概念活动1：观察与抽象请同学们观察以下几幅图片（或实物模型，如等腰三角尺、等腰三角形纸片等），思考它们的共同特征。你能画出一个具有这种特征的三角形吗？我们发现，这些三角形都有两条边是相等的。*定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。*在等腰三角形中，相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。*两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。思考与辨析：1.请你在刚才画的等腰三角形中标出它的腰、底边、顶角和底角。2.等边三角形（三条边都相等的三角形）是等腰三角形吗？为什么？（提示：从等腰三角形的定义思考）二、等腰三角形的性质活动2：动手操作与发现请同学们拿出准备好的等腰三角形纸片（可提前让学生自制，确保两腰相等）。1.将等腰三角形纸片对折，使两腰重合。仔细观察，你能发现什么现象？（对折后，折痕两旁的部分能够完全重合吗？）2.重合的线段有哪些？重合的角有哪些？猜想与归纳：通过上面的操作，我们可以大胆猜想等腰三角形具有以下性质：*性质1：等腰三角形的两个底角相等。（简写成“等边对等角”）*性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（简写成“三线合一”）活动3：逻辑证明与深化证明性质1：等腰三角形的两个底角相等。已知：如图，在△ABC中，AB=AC。求证：∠B=∠C。（引导学生思考：如何证明两个角相等？常用的方法有哪些？结合我们折叠的过程，折痕在这里起到了什么作用？）分析：要证明∠B=∠C，我们可以通过证明它们所在的两个三角形全等。从折叠过程中可以看出，折痕将等腰三角形分成了两个全等的三角形。这条折痕可以看作是△ABC的什么线呢？（顶角的平分线？底边上的中线？底边上的高？）证法一（作顶角的平分线）：证明：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D。则∠BAD=∠CAD。在△ABD和△ACD中，AB=AC(已知)，∠BAD=∠CAD(已作)，AD=AD(公共边)，∴△ABD≌△ACD(SAS)。∴∠B=∠C(全等三角形的对应角相等)。思考：你还有其他的证明方法吗？如果作底边上的中线或者底边上的高，能否证明∠B=∠C？请同学们尝试在练习本上写出证明过程。（学生尝试后，可进行交流展示，教师点评）证法二（作底边上的中线）：作BC边上的中线AD，即BD=CD。（证明过程由学生独立完成，教师巡视指导）证法三（作底边上的高）：作BC边上的高AD，即∠ADB=∠ADC=90°。（证明过程由学生独立完成，教师巡视指导）得出结论：通过以上证明，我们证实了等腰三角形的两个底角相等。这就是等腰三角形的第一个重要性质。符号语言表示：在△ABC中，∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等边对等角)。小试牛刀：1.在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=80°，则∠B=______，∠C=______。2.在等腰△ABC中，AB=AC，∠B=50°，则∠A=______，∠C=______。3.等腰三角形的一个角是30°，则它的另外两个角分别是多少度？（提示：这个角可能是顶角，也可能是底角，需要分类讨论）证明性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。我们仍然以△ABC为例，AB=AC。探究1：如果AD是顶角∠BAC的平分线，那么AD是否也是底边上的中线和底边上的高呢？由性质1的证法一可知，当AD是∠BAC的平分线时，△ABD≌△ACD。∴BD=CD(全等三角形的对应边相等)，即AD是BC边上的中线。∠ADB=∠ADC(全等三角形的对应角相等)。又∵∠ADB+∠ADC=180°(平角的定义)，∴∠ADB=∠ADC=90°，即AD是BC边上的高。∴AD既是顶角平分线，也是底边上的中线和底边上的高。探究2：如果AD是底边上的中线（BD=CD），那么AD是否也是顶角平分线和底边上的高呢？（请同学们模仿探究1的思路，结合性质1的证法二自行证明）探究3：如果AD是底边上的高（∠ADB=∠ADC=90°），那么AD是否也是顶角平分线和底边上的中线呢？（请同学们模仿探究1的思路，结合性质1的证法三自行证明）得出结论：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是等腰三角形的“三线合一”性质。符号语言表示（以AD是顶角平分线为例）：在△ABC中，∵AB=AC，AD平分∠BAC(已知)，∴AD⊥BC，BD=CD(等腰三角形三线合一)。（同理，可写出当AD是底边上的中线或底边上的高时的表达式）思考与讨论：“三线合一”的性质在什么条件下才能应用？它体现了等腰三角形的什么对称性？三、等腰三角形的判定活动4：逆向思考与猜想我们已经知道，等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边是否也相等呢？猜想：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写成“等角对等边”）活动5：验证与证明已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C。求证：AB=AC。（引导学生思考证明思路：如何证明两条边相等？可构造全等三角形，或利用等腰三角形的定义。）证法一（作角平分线）：作∠BAC的平分线AD，交BC于点D。（请同学们参照性质1的证明过程，尝试完成本证明。）证法二（作高）：过点A作AD⊥BC于点D。（请同学们尝试用这种方法证明。）得出结论：通过证明，我们得到了等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。符号语言表示：在△ABC中，∵∠B=∠C(已知)，∴AB=AC(等角对等边)。巩固提升例题解析：例1：如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ABC各角的度数。（引导学生分析图形中的等腰三角形，设未知数，利用三角形内角和定理建立方程求解。）解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C，∠BDC=∠C，∠A=∠ABD。（等边对等角）设∠A=x，则∠ABD=x。在△ABD中，∠BDC=∠A+∠ABD=x+x=2x。（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）∴∠C=∠BDC=2x，∠ABC=∠C=2x。在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，即x+2x+2x=180°，解得x=36°。∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°。练习：1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=55°，求∠BAD的度数。2.如图，∠A=∠B，CE∥DA，CE交AB于点E。求证：△CEB是等腰三角形。3.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，求它的周长。（提示：注意分类讨论哪条边是腰）课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？请与同伴分享：1.等腰三角形的定义是什么？2.等腰三角形有哪些性质？如何表述和应用？3.如何判定一个三角形是等腰三角形？4.在探究和证明过程中，我们主要运用了哪些数学思想方法？（引导学生从知识、方法、情感等方面进行总结。）课后作业1.完成教材对应练习题。2.思考：我们知道，等边三角形是特殊的等腰三角形，那么等边三角形有哪些特殊的性质和判定方法呢？3.如图，在△ABC中，AB=AC，E在BA的延长线上，且ED⊥BC，交BC的延长线于点D，交AC的延长线于点F。求证：AE=AF。学有余力的同学思考：如何利用尺规作图的方法，作一个等腰三角形？学习反思*本节课我最感兴趣的部分是：____________________*我认