湖南岳阳市高三年级教学质量监测（一）数学试题

2026届高三年级教学质量监测（一）数学试卷本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校､班级､考号和姓名填写在答题卡指定位置.2.回答选择题时､选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，只交答题卡.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合B，根据交集的概念求解.【详解】因为，，所以，即，故选：B.2.在复平面内，若，则的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的几何意义可得结果.【详解】因为，则，所以，故的共轭复数对应的点位于第三象限.故选：C.3.已知向量，若，则（）A.2 B.0 C.2 D.4【答案】D【解析】【分析】根据向量垂直的坐标运算求解.【详解】因为，所以，若，则，解得，故选：D.4.已知数列是等差数列，且，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】根据等差数列下标和的性质求解.【详解】因为为等差数列，所以，又，所以，解得，故选：B.5.已知，则（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】由平方关系分别求出，利用，由两角差的余弦公式求解.【详解】因，所以，所以，因为，，所以，又，所以，，所以，所以，故选：C.6.如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球球心，利用球心到上下底面顶点距离均为半径列方程，解出半径后计算外接球表面积.【详解】建立如图所示坐标系，设下底面正方形的中心为坐标原点，因为下底面边长为，几何体的高为，所以，，，，，，，.设球心，外接球半径为.所以则解得：.所以.外接球表面积故选：B.7.已知圆和直线，若圆上存在三点到直线距离成公比为2的等比数列，则的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】要使圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，需该圆上点到直线的最大距离与最小距离之比大于等于4，由此建立不等式求的最小值.【详解】设圆上三点到直线的距离分别为，圆心到直线的距离为，若直线与圆相切或相交，此时可以取非常小的正数，则必存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列；若直线与圆相离，即，则圆上任意一点到直线的距离位于，若圆上存在三点到直线的距离成公比为2的等比数列，则需，得，则的最小值为.故选：C8.已知函数的定义域为.若的图象关于点中心对称，且，则下列结论一定成立的是（）A. B.关于直线对称C. D.【答案】D【解析】【分析】利用的图像关于点中心对称，为奇函数，结合可得是周期函数，再由选项逐一分析.【详解】因为的图象关于点中心对称，所以的图象关于原点对称，则函数为奇函数，因为函数的定义域为,所以，又，则，所以，则，所以,故,所以是的一个周期，对于A，不妨令，满足定义域为的奇函数，周期为，但，所以A错误；对于B，不妨令，其定义域为，，则函数为奇函数，，所以是的一个周期，所以直线不是的对称轴，故B错误；对于C,因为函数为周期为的奇函数，则，,因为不一定为,所以C错误；对于D，因为函数为周期为的奇函数，则，所以，故D正确，故选：D二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.（多选）某企业2024年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示．已知：利润=收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是（）A.该企业2024年1月至6月的总利润低于2024年7月至12月的总利润B.该企业2024年第一季度的利润约是60万元C.该企业2024年4月至7月的月利润持续增长D.该企业2024年11月份的月利润最大【答案】AC【解析】【分析】对于A，利用实线与虚线的相对高度来判断总利润的情况；对于B，根据统计图进行估计；对于C，根据实线与虚线的相对高度来判断；对于D，由图看相对高度的最大值并进行判断.【详解】对于A，由企业2024年12个月的收入与支出数据的折线图，得该企业2024年1月至6月的总利润约为（万元），该企业2024年7月至12月的总利润约为（万元），所以该企业2024年1月至6月的总利润低于2024年7月至12月的总利润，故A正确；对于B，该企业2024年第一季度的利润约是（万元），故B错误；对于C，该企业2024年4月至7月的月利润（单位：万元）分别为10，28，30，52，所以该企业2024年4月至7月的月利润持续增长，故C正确；对于D，该企业2024年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故D错误．故选：AC．10.如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，若直线与曲线交于两点，则下面说法正确的是（）A.曲线的方程为B.的最小值为C.D.当直线斜率都存在时，【答案】ABC【解析】【分析】对A，直接根据椭圆的定义可得答案；对B，与互补，求出的最大角即可；对于C：直接利用向量的坐标运算求解；对于D：设，，结合斜率公式及点在椭圆上即可判断.【详解】对于A，设动圆的半径为，又动圆与圆外切且与圆内切，，则且不重合，故点的轨迹是以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为，故A正确，对于B，由图可知与互补，当点P为椭圆短轴端点时，最大，此时，所以，则的最大值为，所以的最小值为，故B正确；对于C，，当且仅当即时等号成立，故C正确；对于D，设，则，即，由题意设，则，即，则，故D错误，故选：ABC.11.已知函数，则（）A.若，且曲线的对称中心为，则B.若，且曲线的对称中心为，则有极值C.若，且，则存在实数，使得D.若且，直线是曲线在对称中心处的切线，定点满足，则过点与曲线相切的直线有三条【答案】ABD【解析】【分析】对称中心横坐标为二阶导数的零点；导数判别式决定函数单调性与极值；对称中心处的切线满足..对选项A、B，代入对称中心条件求解参数，验证结论；对选项C，通过不等式变形判断导数判别式符号，结合单调性验证结论；对选项D，构造切线条数对应的零点函数，通过导数分析单调性与零点个数，判断切线条数.【详解】，二阶导数，对称中心横坐标，对称中心为；一阶导数，判别式，时函数有两个极值点，时函数在上单调.选项A：由，对称中心为，得，解得；对称中心在函数图像上，故，即，得.因此，选项A正确；选项B：由，对称中心为，得，得，，即，解得，则，；导数为，判别式：导数有两个不同实根，存在极值，选项B正确；选项C:由，且，得，导数判别式，故恒正或恒负，在上单调，单调函数不存在使得，选项C错误.选项D：已知且，是对称中心处的切线，：设切点为，切线过点，由切线方程得，令，切线条数等价于的实根个数.求导得，其中为对称中心横坐标，的极值点为和.由对称中心处切线性质，，代入得.因且，故，即.分析的单调性与零点：时，，单调递减，时，且，故有1个零点；时，，单调递增，从递增到，故有1个零点；时，，单调递减，从递减到时，故有1个零点.共有3个实根，即过点与曲线相切的直线有三条，选项D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中的系数为__________.【答案】【解析】【分析】根据二项式的展开式计算求解系数.【详解】的展开式中的项为，所以的展开式中的系数为.故答案为：.13.已知数列满足，则数列的前100项和为__________.【答案】【解析】【分析】由，变形为：，利用等比数列的通项公式、前项和公式即可得出．【详解】因为,可得，因为,所以数列是公比为，首项为的等比数列，则,则数列的前100项和,故答案为：14.若是函数的一个零点，且，则的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】利用和差化积公式可得，再根据正弦函数以及余弦函数零点得出关于的方程，利用求根公式得出最小值即可.【详解】依题意可知由，可得；即或，当时，可得，此时；当时，可得，此时；又因为，且求的最小值，所以对于可知当时，，整理可得，解得，因为，所以；对于方程，当时，方程为，整理可得，解得，因为，取；显然,因此可得的最小值为.故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在中，内角的对边分别为，，.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再根据求角B即可；（2）根据两角和差公式求，再由正弦定理求出边，进而可得面积.【小问1详解】因为，由正弦定理可得，且，即，又因为，则，可得，且，所以；则，可得，又因为，所以.【小问2详解】因为，，则，又因为，则，所以.16.甲，乙两位同学进行羽毛球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛无平局且各局比赛的结果互不影响.（1）若两人比赛三局，求甲至少胜两局的概率；（2）若比赛采用五局三胜制（即先胜三局的一方获胜，比赛随即结束），设比赛结束时共进行了局，求的分布列与数学期望.【答案】（1）（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）三局比赛甲至少胜两局包含恰好胜两局和恰好胜三局两种情况，利用概率公式分别计算后求和即可；（2）五局三胜制下，可取3，4，5，分别计算甲/乙在3局、4局、5局获胜概率，列出分布列，进而计算.【小问1详解】设事件为甲至少胜两局，则故三局比赛中甲至少胜两局概率为；【小问2详解】依题意，可取3，4，5，，，故的分布列为：345.17.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面.（1）求证：；（2）设在线段和上，且为中点，，若直线与平面所成角的大小为，（i）求平面与平面所成角的余弦值；（ii）平面交直线于点，设，求的值.【答案】（1）证明见解析（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）根据面面垂直可得线面垂直，再由线面垂直得线线垂直即可得证；（2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面与平面所成的角；（ii）设，利用向量运算求出，再由求解.【小问1详解】连接和交于点，连接.∵底面为菱形，为的中点，且又平面平面，平面平面，平面，又平面，.【小问2详解】因为，所以∵平面平面，平面平面，平面.是直线与平面所成角，即.在菱形中，，.，即.（i）如图，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，所以，设平面的法向量为，则，令，得，平面的法向量为，因此，所求平面与平面所成角的余弦值为（ii）平面交线段于点，设，则，因为，即，即，解得.18.已知椭圆的离心率为，且经过点.（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左，右顶点分别为，过轴上的一点作直线交椭圆于两点（异于点）.设直线斜率为，直线斜率为.（i）求（用表示）；（ii）若,的面积为,的面积为，求的最大值.【答案】（1）（2）（i）（ii）【解析】【分析】（1）利用离心率推得，结合点在椭圆上得，解得，即得椭圆方程；（2）（i）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，根据斜率公式化简计算即可；（ii）利用（i）的结论结合求得，分别表示出，借助于韦达定理和基本不等式即可求得的最大值.【小问1详解】由题可知，，化简得，又因为在椭圆上，则，联立解得，故椭圆的方程为.【小问2详解】（i）依题意，设直线的方程为，则联立，消去得其中，即，设，则则；（ii）由（i）可得，解得，即，，且.因，，则令，则，，当且仅当，即时等号成立.的最大值为.19.已知实数，函数．（1）当时，试比较和的大小，并说明理由：（2）若时，，求的取值范围；（3）设数列的前项和为，若，且，求证：．【答案】（1），理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出和，并作差比较即可；（2）将原不等式等价于，设，求导后分、、三种情况讨论单调性，结合单调性判断即可；（3）根据，结合求出的通项表达式，