专项突破：一次函数的图象和性质（A题型）（解析版）

专题一次函数的图象和性质目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、正比例函数与一次函数的理解 1题型二、一次函数的图象和性质 3题型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限 5题型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围 6题型五、一次函数图象与坐标轴的交点问题 8题型六、利用一次函数的增减性比较函数值的大小 10题型七、根据一次函数的增减性求参数 11题型八、一次函数的平移问题 13题型九、画一次函数的图象 15题型十、求一次函数的表达式 20B综合攻坚・能力跃升题型一、正比例函数与一次函数的理解1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）下列函数中，是的正比例函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了正比例函数的定义，关键是根据定义进行判断；根据正比例函数的定义（形如，其中为常数且），对各选项逐一判断.【详解】解：∵正比例函数的定义为形如（是常数，）的函数，∴对各选项分析如下：A选项含有常数项，不符合正比例函数定义；B选项含有常数项，不符合正比例函数定义；C选项中自变量的次数为，不符合正比例函数定义；D选项可表示为，其中，符合正比例函数定义；故答案选：D．2．（25-26八年级上·陕西汉中·期末）若函数（m为常数）是正比例函数，则m的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了根据正比例函数求参数，解题的关键是掌握正比例函数的定义．根据正比例函数的定义（形如，且为常数的函数），需让原函数的二次项系数为0，同时一次项系数不为0，进而求解的值．【详解】解：∵函数是正比例函数，∴，由，解得，∵当时，，满足条件，∴，故选：D．3．（25-26七年级上·山东淄博·期末）下列函数中，是一次函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如，（k为常数，）的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义逐一判断即可．【详解】解：A：，x的最高次数为2，不符合一次函数定义；B：，，，符合一次函数定义；C：，k未明确不等于0，故不一定是一次函数；D：，分母有未知数，不符合一次函数定义；故选：B．4．（24-25八年级下·广东汕头·期末）若是关于x的一次函数，则m的值为（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可．【详解】解：∵是关于x的一次函数，∴且，解得，故选：A．题型二、一次函数的图象和性质5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）对于一次函数，下列结论正确的是（

）A．函数图象经过点B．函数图象与y轴的交点坐标是C．函数的图象不经过第一象限D．函数图象向左平移4个单位得到函数的图象【答案】D【分析】本题考查一次函数的图象与性质，涉及函数上的点、与坐标轴交点、图象经过象限、函数平移等知识点，逐项分析判断即可得出答案．【详解】A、当时，，函数图象不经过点，此选项错误，不符合题意；B、当时，，函数图象与轴的交点坐标是，此选项错误，不符合题意；C、在中，，，函数图象经过第一、三、四象限，此选项错误，不符合题意；D、函数图象向左平移4个单位，根据“左加右减”的平移原则，平移后解析式为，此选项正确，符合题意；故选：D．6．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）关于一次函数的性质及其图象，下列说法正确的是（

）A．y的值随x值的增大而减小B．该函数的图象经过第一、二、三象限C．点一定在函数图象上D．和是图象上两点，则【答案】C【分析】本题考查一次函数的图像与性质，灵活运用一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性、图像经过的象限、点与函数图像的关系逐项判断即可．【详解】解：∵一次函数为，其中，，∴A．由，则的值随值的增大而增大，故A错误，不符合题意；B．由，，则该函数图像经过第一、三、四象限，故B错误，不符合题意；C．当时，，即点一定在函数图像上，故C正确，符合题意；D．由，随的增大而增大，且，即，故D错误，不符合题意．故选C．7．（25-26七年级上·山东淄博·期末）对于直线的描述，正确的是（

）A．y随x的增大而增大 B．经过点C．图象不经过第二象限 D．与y轴的交点是【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数（）中、对函数图象和性质的影响是解题的关键．本题可根据一次函数（）的图象与性质，通过判断斜率的符号分析函数增减性，代入点的坐标验证直线是否经过该点，结合、的符号判断直线经过的象限，代入求出与轴交点，进而逐一判断各选项的正误．【详解】∵直线解析式为，其中，∴y随x的增大而减小，故A选项错误．∵当时，∴直线不经过点，故B选项错误．∵，∴直线经过第二、三、四象限，故C选项错误．∵当时，∴直线与y轴的交点是，故D选项正确．故选：D．8．（25-26八年级上·广东佛山·期末）下列有关一次函数的说法：①函数图象与y轴的交点为；②当时，y的值随着x增大而增大；③当时，函数图象经过第二、三、四象限．其中正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本题考查一次函数的图象与性质．根据一次函数的系数与图象、增减性的关系逐一判断说法的正误．【详解】解：①∵当时，，∴函数图象与轴的交点为，故①正确．②∵一次函数中，当时，的值随值的增大而增大∴当时，此函数随增大而增大，故②正确．③∵当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限，故③错误．综上，正确的是①②．故选A．题型三、根据一次函数解析式判断其经过的象限9．（25-26八年级上·河北邯郸·期末）若点在第二象限内，则直线不经过第________象限．【答案】三【分析】本题考查了一次函数的性质，第二象限点的坐标特征．点在第二象限，则横坐标为负，纵坐标为正，根据一次函数图象性质，直线不经过第三象限．【详解】解：点在第二象限，．∴直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故答案为：三．10．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一次函数满足，且y随x的增大而增大，则此函数的图像一定不经过第_______象限．【答案】二【分析】根据一次函数的增减性判断k的符号，再结合判断b的符号，最后根据一次函数的图象性质确定函数不经过的象限．【详解】解：∵一次函数中，随的增大而增大，∴根据一次函数的性质，可得，∵，∴，∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，∴此函数的图象一定不经过第二象限．11．（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限．【答案】二【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据方程组解的情况求得的值，再根据一次函数的性质求解．由方程组无解，可得，解得，则直线为，根据一次函数图像与系数的关系求解即可．【详解】解：∵方程组无解，∴，解得，将代入得，∵，∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限．故答案为：二．12．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）点P（x，y）是平面直角坐标系内的一个点，且它的横、纵坐标是二元一次方程组的解（a为任意实数），则当a变化时，点P一定不在第________象限．【答案】四【分析】本题考查了解二元一次方程组，一次函数的图象．根据加减消元法得到，即点P的坐标满足一次函数关系，再根据一次函数的图象判断直线所经过的象限即可．【详解】解：，得，即，所以，即，这是一次函数，，，因此图象经过第一、第二和第三象限，不经过第四象限，故点P一定不在第四象限．故答案为：四．题型四、已知一次函数经过的象限求参数的范围13．（24-25八年级下·甘肃临夏·期末）一次函数图象不经过第二象限，则_____0，_____0．【答案】【分析】根据一次函数的图象性质，结合图象不经过第二象限的条件，分别判断系数和的符号即可．【详解】解：一次函数，当时，直线呈下降趋势，无论取何值，图象一定经过第二象限，不符合题意，∴；当时，直线呈上升趋势，若，一次函数图象与轴交于正半轴，图象经过第一、二、三象限，不符合题意；若，一次函数图象过原点，只经过第一、三象限，不经过第二象限，符合题意；若，一次函数图象与轴交于负半轴，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意，∴；综上所述，，．14．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）直线不经过第四象限，则k的取值范围为_____．【答案】【分析】本题考查了函数的图象，分和两种情况解答即可求解，掌握一次函数的图象是解题的关键．【详解】解：当，即时，此时为直线，此时直线经过一、二象限，与轴平行；当，该函数为一次函数，∵直线不经过第四象限，∴直线经过一、二、三象限，∴，∴；综上，的取值范围为，故答案为：．15．（24-25八年级下·湖北襄阳·期末）已知一次函数的图象经过第三象限，则k的取值范围是______．【答案】或【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限．先确定函数图象过定点，则必过第二象限，根据一次函数图象经过第三象限，得到两种情况，再分类讨论，解不等式即可．【详解】解：，当时，，∴图象经过点，∴图象必经过第二象限，当图象经过第三象限时，则图象经过第一二三象限或经过二三四象限∴，解得；或，解得∴k的取值范围是或，故答案为：或．16．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知直线经过第一、三、四象限，则a的取值范围为________．【答案】【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出a的取值范围．【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限，∴，解得．故答案为：．题型五、一次函数图象与坐标轴的交点问题17．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）一次函数与x轴的交点坐标是___________．【答案】【分析】根据x轴上的点的纵坐标为0，可令，求出的值即可．【详解】解：令，则，解得，所以一次函数与x轴的交点坐标是．18．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标是_________．【答案】【分析】此题考查了求一次函数和y轴的交点坐标，将代入即可求解．【详解】解：当时，，所以直线与轴的交点坐标是．故答案为：．19．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点M是线段上的一点，将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是_______．【答案】【分析】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理及折叠的性质，由直线解析式求与坐标轴的交点，确定点A和点B的坐标；根据折叠性质可得，，设点M的坐标为，根据勾股定理求出m的值解答即可.【详解】解：如图，令，得，解得，所以；令，得，所以，由折叠可得，，∴，设点M的坐标为，则，，在中，，即，解得，∴点M的坐标为，故答案为：．20．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，无论m取何值时，它的图象恒过定点P，则定点P的坐标为________．【答案】【分析】本题考查了一次函数的性质．函数图象恒过定点，即无论m取何值，该点坐标都满足方程，因此将方程整理为关于m的表达式，令m的系数为零，求解x，再代入求y．【详解】解：，∵对于任意实数m，图象都过定点，∴令，解得．将代入解析式，得．∴定点P的坐标为．故答案为：．题型六、利用一次函数的增减性比较函数值的大小21．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）若点在一次函数的图象上，则______．（填“>”“<”或“=”）【答案】>【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据一次函数的性质，当斜率小于0时，函数值随自变量的增大而减小，然后问题可求解．【详解】解：由一次函数可知：，∴y随x的增大而减小，∵点在一次函数的图象上，且，∴；故答案为>．22．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）已知一次函数（、为常数）的图象过，，若，则_______（用“>”或“<”填空）．【答案】>【分析】本题考查了一次函数的性质，先判断得出一次函数的系数，结合一次函数的增减性，即可求解．【详解】解：∵为常数，故∴；∴随的增大而增大，故函数图象上的两点，，当时，．故答案为：>．23．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）一次函数，当满足时，的最大值是__________．【答案】7【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知一次函数的图象的性质：当，y的值随x的值增大而增大；当，y的值随x的值增大而减小是解题的关键．由一次函数中，可以确定y随x的增大而减小，然后利用解析式即可求出在时函数y的最大值．【详解】解：∵一次函数中，∴y的值随x的值增大而减小，∴在范围内，当时，函数值y最大，此时．故答案为：7．24．（25-26八年级上·浙江台州·期末）已知一次函数，其中为常数，且．当时，函数的最小值为，则的值为_____．【答案】或【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出的值即可．【详解】解：当时，即时，函数随的增大而增大，当时，，，解得：；当时，即时，函数随的增大而减小，当时，，，解得：；综上所述，和故答案为：或6．题型七、根据一次函数的增减性求参数25．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）关于x的一次函数，y随x增大而增大，则m的取值范围是________．【答案】【分析】本题考查一次函数的性质．根据一次函数的性质，当一次函数的比例系数大于0时，函数值随的增大而增大，列不等式求解即可．【详解】解：关于的一次函数中，随增大而增大，，解得．故答案为：．26．（25-26八年级上·四川成都·期末）若点，都在一次函数的图象上，且，则实数a的取值范围是__________．【答案】【分析】本题考查一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数的性质，判断一次函数中k的正负即可．【详解】解：∵点和点都在一次函数的图象上，且，又∵，∴随的增大而增大，∴，∴，故答案为：．27．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）当时，函数，为常数有最大值，则的值为_______．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数（）的增减性（时随增大而增大，时随增大而减小）是解题的关键．先将函数整理为，再根据一次项系数的正负，判断函数在上的增减性，分别求出最大值对应的值，代入函数列方程求解【详解】解：，当时，函数随的增大而增大，时，最大，，解得，当时，函数随的增大而减小，时，最大，，解得，故答案为：28．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数（为常数且），当自变量时，函数值的最大值为6，则的值__________．【答案】1或【分析】本题考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，分别求的值．【详解】解：当时，函数随的增大而增大，因此当时，取得最大值，代入得，解得；当时，函数随的增大而减小，因此当时，取得最大值，代入得，解得；故答案为：或．题型八、一次函数的平移问题29．（25-26八年级上·安徽六安·期末）将一次函数（b是常数且）的图象向上平移4个单位后，该一次函数图象经过原点，则________．【答案】【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据“上加下减”的平移法则得到平移后的解析式，再代入原点坐标求解的值．【详解】解：将一次函数的图象向上平移4个单位后，得到新函数．∵平移后的图象经过原点，∴代入得，即，解得．故答案为：．30．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）将一次函数（为常数）的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则的值为_____．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数图象平移，求一次函数解析式，熟练掌握平移规律，是解题的关键．根据一次函数图象平移的规律，向下平移2个单位后，函数解析式变为，再代入点求解即可．【详解】解：将一次函数的图象向下平移2个单位长度，得到，将点代入得：，即，整理得：，解得：．故答案为：7．31．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，直线沿y轴向上平移了2个单位长度后，该直线与坐标轴围成的三角形的面积增加了________．【答案】4【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积的计算，理解平移规律，正确计算是解题的关键．计算原直线与坐标轴围成的三角形面积和平移后直线与坐标轴围成的三角形面积，再求面积之差．【详解】解：原直线与轴交于点，与轴交于点，该直线与坐标轴围成的三角形的面积为；平移后直线与轴交于点，与轴交于点，该直线与坐标轴围成的三角形的面积为．故面积增加．故答案为：4．32．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，把一次函数的图象向上平移后得到直线，若直线经过点，则直线对应的函数表达式是_________．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移性质以及利用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握一次函数图象平移时斜率不变是解题的关键．一次函数图象上下平移时，斜率保持不变，因此可设平移后的直线表达式为；再将已知点代入该表达式，求出的值，即可得到直线的函数表达式．【详解】解：∵一次函数的图象向上平移得到直线，∴设直线的函数表达式为，∵直线经过点，∴将，代入，得，∴解得，∴直线对应的函数表达式为，故答案为：．题型九、画一次函数的图象33．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知一次函数．(1)将下面的表格补充完整，并在所给的平面直角坐标系中画出这个函数的图象；x01(2)点(填“在”或“不在”)函数图象上．【答案】(1)见解析；见解析(2)不在【分析】本题考查一次函数的图象，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象．（1）直接将点横（纵）坐标代入，计算即可补充表格，找到函数图象上的两个点，连接即可得到函数图象；（2）求出当时的函数值，即可求解．【详解】（1）解：时，，解得：，时，，时，，补充表格如下：x…01……046…画出函数图象如下．（2）解：当时，，∴点不在函数图象上．故答案为：不在34．（24-25八年级上·江苏·期末）已知一次函数，完成下列问题：(1)在直角坐标系中画出该函数的图象；(2)观察图象，当时，y取值范围是_______；(3)将直线平移后经过点，直接写出平移后的直线表达式________．【答案】(1)图见解析(2)(3)【分析】本题考查了画一次函数图象，一次函数的平移，根据自变量的范围求函数的取值范围，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．（1）分别求得直线与坐标轴的交点，进而画出函数图象；（2）观察图象即可求解；（3）设平移后的解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解．【详解】（1）解：由，当时，，当时，，则一次函数图象经过点，在直角坐标系中画出该函数的图象，如图所示，（2）当时，，观察图象，当时，y取值范围是：；（3）∵将直线平移后经过点，设向上平移m个单位，则平移后直线解析式为，将点，代入得，，解得：，∴，即．35．（24-25八年级下·海南·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．(1)自变量的取值范围是全体实数．下表是与的几组对应值：…012345……54210123…其中，________；(2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；(3)观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是________；当时，随的增大而________；当时，随的增大而________；(4)进一步探究，不等式的解集是________．【答案】(1)3(2)见详解(3)，减小，增大(4)或【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题．（1）计算出当对应的函数值，从而可以求得的值；（2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象；（3）根据函数图象即可求得；（4）观察函数图象，可以得到满足题意的k的取值范围；【详解】（1）解：当时，，，故答案为：3；（2）解：先描点，再画出该函数图象的另一部分，下图为所求：（3）解：观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是；当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大；（4）解：依题意，则或，解得或，故答案为：或．36．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题．(1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示．观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称：对于函数，当_______时，；(2)当时，函数为①在图中画出函数的图象：②对于函数，当时，的取值范围是________；(3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式．【答案】(1)y轴，或；(2)①见解析；②(3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称；根据函数中，，得到，或；（2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，；（3）根据函数图象的平移规律进行解答即可．【详解】（1）∵中，当时，，当时，，∴函数的图象关于y轴对称；∵函数中，，∴，∴，解得，，或，∴当，或时，；故答案为：y轴，或；（2）①在中，令，则，令，则，令，则，过作射线，即得函数的图象；②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是，∴当时，；故答案为：；（3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象题型十、求一次函数的表达式37．（25-26八年级上·江西吉安·期末）已知一次函数，当时，．(1)求一次函数的表达式；(2)求这个一次函数图象与轴交点的坐标．【答案】(1)(2)【分析】（1）当时，，代入解析式，确定k值即可．（2）令，得，求解即可．【详解】（1）解：将，代入，得．∴，∴一次函数解析式为：．（2）解：当时，得解得：

∴这个一次函数的图像与轴交点的坐标为．38．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知直线与直线相交于点，交轴于点，交轴于点．(1)求直线的表达式；(2)求的面积；(3)点是直线上的一个动点，且，求点的坐标．【答案】(1)(2)3(3)或【分析】（1）把点代入直线，可求出点的坐标，再利用待定系数法求出k，b即可；（2）求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可；（3）根据题意可得，设，再利用三角形的面积公式解答即可．【详解】（1）解：把点代入直线，得，，点的坐标为，∵，都在上，，解得，直线的表达式为．（2）解：直线的表达式为，当时，，点的坐标为．．，即的面积为3．（3）解：，，，设，则，解得：或点的坐标为或．39．（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在长方形电子屏中，，一条公益广告画面的动态效果设计如下：动点从点出发，沿边以的速度向点运动，随着的移动，画面逐渐展开．以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，当经过点时，完成下列问题．(1)求直线的函数表达式．(2)求此时点的运动时间．【答案】(1)直线的函数表达式为(2)此时点的运动时间为【分析】本题主要考查一次函数的应用，矩形的性质，图形面积，正确理解题意是解题的关键．（1）利用待定系数法求解可得．（2）根据，求出时x的值，即可得的长，再除以P点运动的速度即可求出点的运动时间．【详解】（1）解：设直线的函数表达式为．将点和点代入上式，得，解得，直线的函数表达式为．（2）解：由（1），可得直线的函数