专项突破：一次函数与方程（组）、不等式（A题型）（解析版）

专题一次函数与方程（组）、不等式目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、由直线与坐标轴的交点求一元一次方程的解 1题型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 3题型三、两直线的交点与二元一次方程组的解 4题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 6题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 7题型六、一元一次不等式与一次函数实际综合问题 9题型七、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 13题型八、含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题 15B综合攻坚・能力跃升题型一、由直线与坐标轴的交点求一元一次方程的解1．（25-26八年级上·贵州·期末）如图，直线与x轴的交点是，则关于x的方程的解是______．【答案】1【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解．据此即可求解．【详解】解：∵直线与x轴的交点是，∴关于x的方程的解是故答案为：．2．（25-26八年级上·广西梧州·期末）如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，已知，，则关于的方程的解为____________．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，一次函数与x轴的交点的横坐标是一次函数的函数值为0时所得方程的解，据此可得答案．【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，∴则关于的方程的解为，故答案为：．3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）已知一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的解是________．【答案】【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，对于一次函数，当时求得的自变量的值就是对应的一元一次方程的解，一次函数图象与轴的交点横坐标也是对应的一元一次方程的解，据此即可求解．【详解】解：由图象可知：一次函数图象与轴的交点横坐标为，∴关于的方程的解是．故答案为：题型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点4．（24-25八年级上·陕西·期中）已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴的交点坐标为______．【答案】【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据方程解的定义求得a的值，再令，即可求得一次函数与x轴的交点坐标．【详解】解：∵关关于x的方程的解为，∴，解得：．∴一次函数为，令，得．解得：，∴一次函数与x轴交点的坐标为．故答案为．5．（24-25八年级下·福建福州·期中）已知关于x的方程ax﹣b＝1的解为x＝﹣2，则一次函数y＝ax﹣b﹣1的图象与x轴交点的坐标为_____．【答案】（−2，0）【分析】当y＝0时，ax−b−1＝0，可得ax−b＝1，根据题意可得图象与x轴的交点坐标．【详解】解：当y＝0时，ax−b−1＝0，∴ax−b＝1，∵关于x的方程ax−b＝1的解为x＝−2，∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为（−2，0），故答案为：（−2，0）．6．（24-25八年级下·山东滨州·期末）已知关于的方程的解为，则一次函数的图象与轴交点的坐标为___________．【答案】（-5，0）【分析】根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可．【详解】解：∵关于的方程的解为，∴一次函数的图象与轴交点的坐标为（-5，0），故答案为：（-5，0）．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．题型三、两直线的交点与二元一次方程组的解7．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，直线与直线(、为常数，)相交于点，则方程组的解为______________________．【答案】【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系：二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．先根据点在直线上求出点的纵坐标，再结合交点坐标与方程组解的对应关系得出最终结果．【详解】解：∵点在直线上，∴，∴点的坐标为．∴方程组的解为；故答案为：．8．（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的一次函数表达式为，直线对应的一次函数表达式为，两直线相交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是________．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解与一次函数的交点的关系，两直线的交点坐标是对应二元一次方程组的解，据此即可求解．【详解】解：∵直线：与直线：相交于点，∴关于x，y的二元一次方程组的解是；故答案为：．9．（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，若一次函数与正比例函数的图象交于点，则方程组的解为___________【答案】【分析】本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握数形结合的思想．根据正比例函数解析式求出交点坐标，然后根据交点坐标即可得出二元一次方程组的解．【详解】解：将代入得，，∴交点坐标为，∴的解为，故答案为：．题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集10．（24-25八年级下·新疆阿克苏·期末）直线与两坐标轴的交点如图所示，当时，的取值范围是______．【答案】【分析】根据直线的图象可直接得到直线在轴下方时对应的取值范围来求解．【详解】解：从图象可知直线与轴交点的横坐标为2，当时，即直线图象在轴下方的部分，对应的自变量取值范围是．11．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）（1）已知一次函数的图象经过两点，则当x_______时，．（2）如图是一次函数的图象，则关于x的不等式的解为_________．【答案】【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，（1）利用待定系数法把点代入，可得关于k、b的方程组，再解出方程组可得k、b的值，进而得到函数解析式，再解不等式即可；（2）根据当时，图象在x轴上方，此时，即可得出结论．【详解】解：（1）∵一次函数的图象经过两点，∴，解得：，这个一次函数的表达式为．解不等式，解得．故答案为：；（2）解：由题意可得：一次函数中，当时，图象在x轴上方，，则关于x的不等式的解是，故答案为：．12．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．若直线始终与线段有公共点，则的取值范围是___________．【答案】【分析】本题主要考查一次函数与线段的交点问题．由一次函数图象上点的坐标特征结合直线与线段有公共点，即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可．【详解】解：当时，，当时，，∵直线与线段有公共点，解得，故答案为：．题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集13．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，是函数与的图象，则关于x的不等式的解集是___________．【答案】【分析】直接利用函数图象，结合，得出x的取值范围．【详解】解：∵交点坐标可知，当时，函数的图象位于函数的图象的上方，∴不等式的解集为14．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，当时，的取值范围是__________．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数与不等式，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，会根据一次函数图象写出不等式的解集．根据图象，确定的图象在图象下方的自变量取值范围即可．【详解】解：∵一次函数为常数，且的图象与直线都经过点，∴时，，故答案为：．15．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，直线与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集为________．【答案】【分析】本题考查了求一次函数自变量或函数值，根据两条直线的交点求不等式的解集等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案．【详解】解：当时，，解得：，由函数图象可知，关于的不等式的解集为，故答案为：．题型六、一元一次不等式与一次函数实际综合问题16．（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图，直线与x轴交于点，直线与y轴交于点，与直线交于点C．(1)求k，b的值；(2)关于x，y的方程组的解为；(3)若直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，求直线被，所截得的线段长．【答案】(1)，(2)(3)3或9【分析】（1）依据题意，由直线与x轴交于点，则，可得k的值，又直线与y轴交于点，故，则，从而得解；（2）联立方程组，解方程组，进而可以得解；（3）根据直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，分两种情况求出结果即可．【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点，∴，解得：，∵直线与y轴交于点，∴，解得：；（2）解：由题意，结合（1）联立方程组，解得：，∴方程组的解为．（3）解：由题意，∵直线平行于x轴，且到x轴的距离为1，∴令，则；，则，故直线被，所截得的线段长为；令，则；，则，故直线被，所截得的线段长为；答：直线被，所截得的线段长为3或9．17．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，过点的直线与直线相交于点．(1)求直线的解析式；(2)直接写出不等式的解集：；(3)求四边形的面积．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题考查了两条直线交点问题、一次函数图象解不等式以及直线与坐标轴围成图形的面积．并利用数形结合的思想解决问题．（1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式；（2）根据图象求得即可；（3）根据可得结论．【详解】（1）解：∵点在直线上，∴，则的坐标为，∵直线过点，∴，解得，∴直线的解析式为：；（2）解：由图象可知，不等式的解集是．故答案为：；（3）解：∵直线与y轴相交于点C，∴C的坐标为，又∵直线与x轴相交于点A，∴A点的坐标为，∴，∴．18．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知函数和的图象交于点，这两个函数的图象与轴分别交于点、．(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)求的面积；(3)根据图象直接写出不等式的解集．【答案】(1)(2)(3)【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法，一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程，解题的关键是求一次函数与坐标轴的交点．（1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可；（2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论；（3）直接观察函数图象即可得出结论．【详解】（1）解：将点代入，得，解得，，将点代入，得，解得，；（2）在中，令，得，解得，，在中，令，得，解得，；（3）由函数图象可知：当时，，当时，，所以当时，．题型七、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题19．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，一次函数与正比例函数的图象相交于点，下列判断错误的是(

)A．关于的方程的解是B．关于的不等式的解集是C．当时，函数的值比函数的值大D．关于，的方程组的解是【答案】B【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程(组)，一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质．方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据条件结合图象对各选项进行判断即可．【详解】解：∵一次函数是常数，与正比例函数是常数，的图象相交于点，∴关于x的方程的解是，选项A判断正确，不符合题意；关于x的不等式的解集是，选项B判断错误，符合题意；当时，函数的值比函数的值大，选项C判断正确，不符合题意；关于的方程组的解是，选项D判断正确，不符合题意；故选：B．20．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）已知一次函数与的图象如下图所示，其交点的坐标为，直线与轴的交点坐标为，则下列说法正确的是（

）A．方程的解是B．方程组的解是C．关于x的不等式的解集是D．的解集为【答案】C【分析】本题主要考查了一次函数的综合问题，两条直线的交点求方程组的解，先根据直线与x轴的交点求出方程的解判断A，再求出两条直线的交点，并判断方程组的解，说明B；然后根据两条直线的位置求出不等式的解集解答C；最后根据直线与x轴的交点解答D．【详解】解：∵直线与x轴交于点，∴方程的解是，，解得，即，则A不正确，不符合题意；∵一次函数与交点为，∴，即，∴方程组的解是，则B不正确，不符合题意；关于x的不等式的解集是，则C正确，符合题意；∵直线与x轴交于点，∴的解集是，则D不正确，不符合题意．故选：C．21．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点，则下列结论错误的是（

）A．方程的解是B．不等式和不等式的解集相同C．方程组的解是D．不等式组的解集是【答案】C【分析】本题考查一次函数和方程，一次函数与不等式，利用数形结合的思想，进行求解，逐一进行判断即可．【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点为；∴方程，即方程的解为；故选项A正确；不等式的解集为，不等式的解集为，故不等式和不等式的解集相同；故选项B正确；方程组的解集为，故选项C错误；把代入，得，解得，∴，∴当，解得，∴不等式组的解集是；故选项D正确；故选C．题型八、含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题22．（25-26八年级上·山西运城·期末）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．【初步感知】x…012……6m2n246…(1)表格中m的值为________，n的值为________；(2)在平面直角坐标系中画出函数的图象．(3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题：①该函数图象是轴对称图形；②当时，y的值随x值的增大而增大；③当时，该函数存在最小值，最小值为0；④当时，．其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号）(4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________．【答案】(1)m的值为4，n的值为0(2)作图见解析(3)①②③(4)作图见解析；，【分析】（1）分别将和代入求解即可；（2）利用描点法作图即可；（3）根据画出的函数图象分析即可；（4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可．【详解】（1）解：把代入，得，故；把代入，得，故；（2）解：作图如图：（3）解：由图可知函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确；由图可知当时，，随的增大而增大，故②正确；由图可知当时，取得最小值，故③正确；当时，，解得或，并非只有，故④错误；综上，正确的是①②③；（4）解：作图如图：当时，，解得，当时，，解得，方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，因此方程组的解为：和．23．（25-26八年级上·河南郑州·期末）定义：对于一个函数，若存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“邂逅点函数”，点为该函数图象上的一个邂逅点．例如：中，当时，，所以称为邂逅点函数，点是该函数图象上的一个邂逅点．某数学兴趣小组围绕该定义展开探究．

(1)一次函数①，②，③，是“邂逅点函数”的是_________（填写序号）；(2)观察图1，判断直线表示的函数是否是“邂逅点函数”_________（填“是”或“否”）【深入探究】(3)如图2，求直线的函数表达式，并判断该函数是否是“邂逅点函数”，若是，求出邂逅点坐标；若不是，请说明理由．(4)兴趣小组发现求函数邂逅点坐标的本质就是求该函数图象与直线图象的交点坐标，则直线的表达式为_________．【迁移应用】(5)如图3，兴趣小组对“邂逅点函数”函数展开了探究：计算x与y的几组对应值，列表如下：x…01234…y…64200246…请用描点法在平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出该函数邂逅点坐标．【答案】(1)②③(2)是(3)直线的函数表达式为，是“邂逅点函数”，邂逅点坐标为(4)(5)图见解析，邂逅点坐标为或【分析】（1）根据题意可判断出，邂逅点就是函数图象与直线的交点，判断三个函数与直线是否有交点即可；（2）观察直线与直线是否有交点即可；（3）先用待定系数法求出直线的函数表达式，再与直线联立求出交点坐标即可；（4）由（1）可知，直线就是直线；（5）根据表格数据在坐标系中依次描点，再连成线即可；分为和两段图象研究，分别与直线联立，求出交点坐标即可．【详解】（1）解：∵点在直线上，∴若函数图象与直线有交点，则符合“邂逅点函数”的定义，交点即为邂逅点．对于①：∵，∴直线与直线平行，即无交点，∴不是“邂逅点函数”；对于②：∵直线与直线不平行，即有交点，∴是“邂逅点函数”；对于③：∵直线与直线重合，∴是“邂逅点函数”；综上所