第二十三章 一次函数（6大考点＋8大易错＋易错训练）（知识清单）（原卷版）

第二十三章一次函数知识点01函数的概念在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。知识点02一次函数的表达式形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b=0时，y=kx（k≠0）叫做正比例函数。知识点03一次函数的图象与性质一次函数y=kx+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(-bk,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)知识点04一次函数的实际应用利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。知识点05二元一次方程组与一次函数的关系1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=02）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标.4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立.5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立.知识点06利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集(1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合.(2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合.(3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合.(4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合.易错点1利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错1.

要明确一次函数y=kx+b中k≠0，若忽略此条件，会导致参数取值范围错误。例如y=(m-1)x+2是一次函数，需保证m-1≠0即m≠1。2.

对于正比例函数y=kx，除k≠0外，还需注意b=0的隐含条件。如y=(n+2)x+n是正比例函数，需同时满足n+2≠0且n=0，即n=0。【例1】已知函数是一次函数，则．【变式】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为．易错点2利用一次函数的增减性求参数的多解问题易错总结1.增减性判断混淆：误以为\(k>0\)时函数必增，忽略自变量范围限制（如只在某区间讨论）。2.多情况遗漏：参数同时影响\(k\)和常数项，或需分段讨论（如\(k=0\)是一次函数吗）。3.端点取等问题：比较函数值大小时，临界点是否取等判断不清，导致参数范围边界错误。4.实际约束忽略：实际问题中自变量有隐含范围（如时间非负），未纳入增减性分析。注意事项：-先定k符号：由y=kx+b中k的正负确定整体增减趋势。-分类讨论参数：参数出现在k位置时，分别讨论k>0、k<0、k=0。-注意区间单调：若定义域不是全体实数，只在给定区间内讨论最值。-检验端点：参数边界值代入验证是否满足题意（如函数值大小关系）。-数形结合：画出草图，直观判断直线走向与参数关系。【例2】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________．【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________．易错点3对正比例函数的定义理解不透彻致错1.

需明确正比例函数是一次函数的特殊形式，需同时满足y=kx（k≠0），即系数k不为0且不含常数项。若忽略k≠0，如y=mx，当m=0时就不是正比例函数；若遗漏常数项为0的条件，如y=3x+1，因含常数项1，也不符合定义。2.

遇到含参数的正比例函数问题，要同时验证k\neq0和常数项为0两个条件。例如y=(a+1)x+a是正比例函数，需满足a+1≠0且a=0，即a=0，若只考虑其一，会导致参数求解错误。【例3】已知：y与成正比例，且时，．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)点在这个函数的图像上，求m的值．【变式】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，．(1)写出与之间的函数关系式；(2)若点在这个函数的图象上，求的值；(3)若的取值范围为，求的最小值．易错点4一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错1.

一次函数与坐标轴交点位置受k、b符号影响，若未考虑其多种组合情况易漏解。如求y=kx+b与两坐标轴围成三角形面积时，需分k、b正负讨论交点在轴上的位置，忽略则会少算情况。2.

解决此类问题时，需先分析k、b的可能符号组合，再分别确定交点坐标。例如已知一次函数与两坐标轴交点到原点距离，需考虑交点在坐标轴正、负半轴的不同情况，逐一求解避免漏解。【例4】如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点．(1)求的面积．(2)若轴上有一点，且，求直线的表达式．【变式】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；

(1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标；(2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积；(3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由．易错点5实际问题中忽略自变量的取值范围致错1.

实际问题中，自变量取值需结合实际意义确定，如时间、数量等不能为负数或超出合理范围。若忽略，如“租车费用函数”中，租车数量为负数就不符合实际，会导致函数应用错误。2.

解决实际问题时，需先分析自变量的取值限制，再结合一次函数性质求解。例如“销售利润函数”，销售量不能为负，需确定自变量取值范围后，再找利润的最值或其他结果，否则会得出不符合实际的结论。【例5】（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为，自变量的取值范围是．【变式】综合与实践《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：【实验观察】实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）618304254【探索发现】（1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写）【结论应用】（2）应用上述发现的规律估算：①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）．易错点6利用一次函数的增减性求实际问题中的最值问题易错总结1.自变量范围遗漏：实际问题中自变量常受限于整数、非负、有限资源等，忽略则最值不准。2.增减性判断错误：斜率k符号判断错，导致最值取在端点还是无解误解。3.端点最值取舍不当：实际意义要求整数解时，直接取端点实数解而未取整。4.多变量干扰：问题含多个变量时，未先用条件消元成一次函数再求解。注意事项：-建函数先定域：根据实际背景确定自变量取值范围，常为离散或区间。-看k定增减：k>0时最小在左端、最大在右端；k<0相反。-整数解处理：最值点非整数时，比较其附近整数点的函数值。-消元化归：多个变量时，利用等量关系转化为一个变量的一次函数。-验证合理性：最值解代入原问题检验是否符合实际情境。【例6】（2026·河南商丘·二模）学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学购买雕刻刀．已知型雕刻刀的单价比型雕刻刀多5元，用元购买型雕刻刀和用元购买型雕刻刀的数量相同．(1)分别求型、型雕刻刀的单价；(2)学校准备购买型和型雕刻刀共50把，购买型雕刻刀的数量不超过型雕刻刀的．问购买多少把型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？【变式】（25-26八年级下·福建泉州·期中）某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A，B两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示：类型A型B型进价/（元/件）355售价/（元/件）458小王计划购进A，B两种商品共100件进行销售，设小王购进A商品x件，A，B商品全部销售完后获得的总利润为y元．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A，B两种商品各多少件时，可使得A，B商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润．易错点7一次函数与几何图形的综合问题###易错总结1.坐标与长度转换错误-误将坐标差当作线段长度（未取绝对值），导致面积、距离计算错误。2.交点漏解或错解-联立函数与几何方程（如直线与圆相切）时，忽略多解情况（如斜率不存在、多交点）。3.图形性质与函数关联错误-用错几何性质（如误将平行四边形对角线中点坐标公式代入一次函数）。####注意事项1.规范坐标与长度互化-距离公式：d=x1--坐标轴上的点直接取绝对值。2.分类讨论确保完整性-直线方向、交点位置、图形形状不确定时，按斜率正负、顶点顺序分情况。-例：直线与矩形有交点，需分与边相交、过顶点等子情况。3.几何条件代数化-垂直→斜率乘积为-1；中点→坐标平均；对称→中点在对称轴上。4.验证解与图形约束-求出的点或直线需满足图形范围（如在线段上、在三角形内部）。-解后代入原题验证是否成立。【例7】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点．(1)求证：；(2)若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．【变式】（2026八年级下·重庆·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，为线段的中点．(1)求直线的解析式；(2)如图1，若为线段上一动点，过点作轴于点，轴于点，连接，为上一动点．当线段最短时，求周长的最小值；(3)如图2，直线交坐标轴于，两点，直线交轴于点，将沿着轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标．易错点8一次函数中的新定义型综合问题易错总结1.定义理解偏差：未准确理解“关联点”“k型函数”等新概念，套用常规函数性质导致错误。2.变换规则误用：新定义涉及坐标变换（如反射、旋转、伸缩）时，变换公式记错或方向混淆。3.分类讨论不全：新定义含分段条件（如\(x\)在不同范围对应不同规则），讨论时遗漏区间。4.隐式条件忽略：新定义中暗含定义域、值域或整数要求，未纳入约束导致解集无效。注意事项：-逐词转化：将新定义翻译成数学语言（方程、不等式或变换式）。-画图辅助：在坐标系中画出新定义对应的几何意义（如“对称点轨迹”）。-分类分段：按定义规定的条件分区域讨论，取各段解集的并集。-验证边界：临界点（如分段点、端点）代入检验是否符合新定义。-逆向思维：已知结果反推参数时，逆用新定义建立方程（组）。【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直．根据以上定义内容，解答下面的问题：(1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________；(2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式．【变式】（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，我们定义其“相关点”满足：当时，；当时，．请根据此定义完成下列问题：(1)点的“相关点”的坐标为___________；(2)若点的相关点的坐标为，求的面积；(3)点在第二象限，其“相关点”的纵坐标为，若线段的长度为，求点的坐标．一、单选题1．（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（）A．1 B．5 C． D．2．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（

）A． B． C． D．或3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果当时，；当时，，那么称点为点的“倍联点”．例如：点的“倍联点”为，点的“倍联点”为．如果点是一次函数图象上点的“倍联点”，则的值为（

）A．5 B． C．5或 D．或二、填空题4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当线段扫过的面积为16时，点C落在直线上，则k的值为______．5．（2026·宁夏·一模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“平衡”点．例如：点，，，，都是“平衡”点．函数图象上的“平衡”点是______．6．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________．三、解答题7．（2026·河南安阳·一模）某公园文创商店计划购进A，B两款文创产品进行销售．已知购进4件A产品和3件B产品共需360元；购进5件A产品和2件B产品共需380元．(1)求A产品和B产品每件的进价．(2)该商店计划购进A，B两款文创产品共200件，且购进的B产品数量不低于A产品数量的1.5倍．A产品售价为80元/件，B产品售价为60元/件．“五一”假期，商店决定A产品按原价出售，B产品按售价八折促销．若200件产品全部售完，求该商店获得的最大利润是多少元．8．（25-26八年级上·安徽淮北·期末