期中易错压轴题型（26易错＋10压轴）（专项训练）（解析版）

期中易错压轴题型（26易错+10压轴）易错题型一、调查方式选择易错题型二、总体、个体、样本、样本容量易错题型三、频数、频率、总数关系易错题型四、条形图、扇形图、折线图、直方图识图易错题型五、确定事件与随机事件判断易错题型六、频率与概率的关系易错题型七、判断能否构成平行四边形易错题型八、添一个条件成为平行四边形易错题型九、利用平行四边形的性质求解易错题型十、矩形性质与判定理解易错题型十一、添一条件使四边形是矩形易错题型十二、根据矩形的性质求解易错题型十三、添一条件使四边形是菱形易错题型十四、根据菱形的性质求解易错题型十五、正方形性质与判定理解易错题型十六、添一条件使四边形是正方形易错题型十七、根据正方形的性质求解易错题型十八、求平行线间的距离易错题型十九、三角形中位线定理易错题型二十、中点四边形易错题型二十一、等腰梯形的性质与判定定理易错题型二十二、因式分解的概念易错题型二十三、提公因式法分解因式运算易错题型二十四、综合运用公式法分解因式易错题型二十五、十字相乘法易错题型二十六、分组分解法压轴题型一、统计图表综合压轴题型二、频数分布直方图与实际应用压轴题型三、平行四边形性质和判定的应用压轴题型四、特殊平行四边形动点问题压轴题型五、四边形中折叠问题压轴题型六、四边形中几何最值压轴题型七、四边形其他综合问题压轴题型八、三角形中位线的实际应用压轴题型九、因式分解中彻底分解计算压轴题型十、因式分解的应用易错题型一、调查方式选择1．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）某班级组织活动，为了解同学们喜爱的体育运动项目，设计了如图所示的尚不完整的调查问卷：准备在“①室外体育运动，②篮球，③足球，④游泳，⑤球类运动”中选取三个作为该调查问卷问题的备选项目，选取合理的是（

）A．①②③ B．①③⑤ C．②③④ D．②④⑤【答案】C【分析】根据体育项目的隶属包含关系，以及“室外体育项目”与“其他体育项目”的关系，综合判断即可．【详解】解：根据体育项目的隶属包含关系，选择“篮球”“足球”“游泳”比较合理，故C正确．2．（24-25七年级下·新疆和田·期末）要调查乘坐飞机的旅客是否带了违禁物品，你认为适合采用的调查是______．【答案】全面调查【分析】该调查事关航空安全，要求结果准确，必须对每一名旅客进行检查，因此适合采用全面调查．【详解】解：根据调查方式的选择原则，当调查对结果准确性要求高，且需要对每个调查对象逐一检查时，采用全面调查，本题调查关乎航空公共安全，对结果准确性要求高，需要检查每一名乘坐飞机的旅客，因此适合采用全面调查．3．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）某加工厂为了解其产品的质量情况，质检员在其生产流水线上每隔100个工件选取1个工件检查其质量．这样选取的样本是简单随机样本吗？请说明理由．【答案】不是简单随机样本．理由见解析【分析】本题考查对简单随机抽样概念的理解，简单随机抽样要求总体中每个个体被抽到的机会均等，且每个可能的样本被抽中的机会也均等，理解简单随机抽样的概念是解题的关键．根据简单随机抽样的要求进行求解即可．【详解】解：不是简单随机样本．这种抽样方法是系统抽样。在简单随机抽样中，要求每个可能的样本被抽到的机会均等，但在本题的抽样方式中，两个相邻的工件不可能同时被抽到，因此不是每个可能的样本都有机会被抽中，不满足简单随机抽样的要求，故得到的不是简单随机样本．易错题型二、总体、个体、样本、样本容量4．（25-26七年级下·山东聊城·月考）双减”政策下，为了解东昌中学七年级880名学生的睡眠时间，现从中抽取50名学生进行调查，在这个问题中，下列说法正确的是（）A．50是样本容量 B．880名学生是总体C．50名学生是抽取的一个样本 D．抽取的每一名学生是个体【答案】A【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义逐一判断选项即可．【详解】解：样本容量是样本中包含的个体数目，本题样本容量为50，故A选项正确；本题研究的对象是学生的睡眠时间，不是学生本身，总体是东昌中学七年级880名学生的睡眠时间，故B选项错误；样本是抽取的50名学生的睡眠时间，故C选项错误.个体是每名学生的睡眠时间，不是每一名学生，故D选项错误．5．（25-26七年级下·江苏南京·月考）某中学为了解本校八年级学生一周中玩手机所占用的时间，小亮利用放学时间在校门口随机调查了60名八年级的同学，则此次抽样调查的总体为_____．【答案】该中学全体八年级学生一周中玩手机所占用的时间【详解】解：总体是指所要考察对象的全体，本题的考察对象是该中学八年级学生一周中玩手机所占用的时间，因此此次抽样调查的总体为该中学全体八年级学生一周中玩手机所占用的时间．6．（24-25八年级下·江苏无锡·假期作业）某校为学生定制了一批校服，该校为确定厂家生产的校服质量是否合格，在发放前对这批校服进行了抽样调查．已知运来的校服一共有10包，每包有10打，每打有12套，要求样本容量为100．请你帮学校设计一个调查方案，并指出总体、个体、样本．【答案】见解析【分析】本题的开放性较强，考查总体、个体、样本：①总体：我们把所要考查的对象的全体叫做总体；②个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本．结合题意，根据总体、个体、样本的定义，即可作答．【详解】解：从每一包的每一打中抽取第6套校服（答案不唯一）；总体是（套）校服的质量，个体是1套校服的质量，样本是抽取的100套校服的质量．易错题型三、频数、频率、总数关系7．（25-26八年级下·江苏无锡·开学考试）某班女生的身高被分成了三组，情况如表所示，则表中m的值是（

）第一组第二组第三组频数68m频率pqA．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】根据所有分组的频率之和等于1，先求出前两组的频率和，再结合频数和求出总人数，最后根据频率公式计算m的值．【详解】解：所有分组的频率和为1，第三组频率为，第一组与第二组的频率和为，第一组频数为6，第二组频数为8，两组频数和为，总人数为，．8．（2026八年级下·江苏常州·专题练习）某校从某年级名学生中随机抽取人调查每天运动时间，统计结果如下表所示，请你估计该校该年级每天运动时间达到小时的学生大约有_____________名．时间（分）人数115514186【答案】【分析】先将小时转换为分钟，得到所求范围，再计算样本中符合条件的人数，最后用总人数乘以该频率得到估计值．【详解】解：小时分，样本中运动时间不低于小时（即分）的人数为：（名），估计总体中符合条件的人数为：（名）．9．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）在庆元旦系列活动中，某校团支部为调研本校学生对中国传统节日的了解情况，在全校学生中随机抽取了名学生，进行了问卷调查，他们的成绩如下（满分分）：

数据处理：频数统计表（例如表示大于等于同时小于）分组人数（频数）根据以上信息，解答下列问题：(1)频数统计表中，________，________；(2)补全频数直方图；(3)若规定成绩在分及以上为合格，请你计算抽取的学生中合格人数所占的百分比，并提出一条提高合格率的合理化建议．【答案】(1)，(2)画图见详解(3)，建议：学校可增加对中国传统节日普及的宣传活动．【分析】本题考查了频数分布表、频数直方图的绘制以及百分比的计算，熟练掌握频数统计的方法、直方图的补全规则以及百分比的计算公式是解答本题的关键．（1）根据原始成绩数据，按分组区间逐一统计对应人数，确定、的值；（2）根据频数统计表中的数据，补全频数直方图中对应分组的矩形高度；（3）先统计分及以上的合格总人数，再根据百分比公式计算合格率，并结合题目背景提出合理建议．【详解】（1）解：学生成绩在的有人，在的有人，故，；（2）解：频数直方图如图所示；（3）解：抽取的学生中合格人数所占的百分比为，建议：学校可增加对中国传统节日普及的宣传活动．易错题型四、条形图、扇形图、折线图、直方图识图10．（2026·甘肃庆阳·一模）奥林匹克精神强调“更快、更高、更强——更团结”，中国体育代表团在夏季奥运会上不断突破，展现了中华民族自强不息的精神风貌．如图，这是1996年至2024年中国夏季奥运会金牌数统计图，下列结论错误的是（

）A．2008年，中国获得金牌48枚B．2024年，中国获得金牌40枚C．2024年金牌数是1996年的2.5倍D．1996年至2024年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升【答案】D【详解】解：A、2008年，中国获得金牌48枚，说法正确，该选项不符合题意；B、2024年，中国获得金牌40枚，说法正确，该选项不符合题意；C、1996年，中国获得金牌16枚，，则2024年金牌数是1996年的2.5倍，说法正确，该选项不符合题意；D、1996年至2008年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升；2008年至2016年，中国夏季奥运会金牌数逐年下降；2016年至2024年，中国夏季奥运会金牌数逐年上升；原说法错误，该选项符合题意．11．（24-25八年级下·江苏徐州·开学考试）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有______人．【答案】120【分析】先根据大学生的人数及所占百分比求出总人数，再用总人数乘以初中生所占的百分比，即可得到初中生的人数．【详解】解：总人数初中生人数（人）．12．（2025七年级上·河南郑州·专题练习）下面是权威机构公布的一组反映世界人口的数据：1960年世界人口为30亿，14年后（即1974年）增加了10亿，即达到40亿；又过了13年达到50亿；到1999年全世界人口达到60亿．人口学专家预测到2100年，世界人口将达到103.5亿．有一位同学根据以上提供的数据制作了三幅统计图，请根据这些统计图回答问题．(1)从哪幅统计图中最能看出世界人口的总体变化情况？(2)预计2100年非洲人口大约将达到多少亿？你是从哪幅统计图中得到这个数据的？(3)预计2100年亚洲人口比拉丁美洲和加勒比地区、欧洲、北美洲、大洋洲的人口总和还要多，从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论？【答案】(1)从折线统计图中最能看出世界人口的总体变化情况．(2)2100年非洲人口大约为39.2亿，从条形统计图中可得到这一数据．(3)从扇形统计图中得到这个结论．【分析】本题考查的是条形统计图、扇形统计图和折线统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解题的关键．（1）根据折线统计图即可解答；（2）根据条形统计图即可解答；（3）根据扇形统计图即可解答．【详解】（1）解：从折线统计图中最能看出世界人口的总体变化情况；（2）解：预计2100年非洲人口大约将达到39.2亿，从条形统计图中可得到这一数据．（3）解：预计2100年亚洲人口比拉丁美洲和加勒比地区、欧洲、北美洲、大洋洲的人口总和还要多，从扇形统计图中得到这个结论．易错题型五、确定事件与随机事件判断13．（25-26八年级下·江苏无锡·课后作业）某校安全管理处为了解全校学生对“消防知识”的掌握程度，分别进行了四种不同的抽样调查．你认为抽样方式比较合理的是（

）A．在七年级调查200名学生B．在本校男生中调查200名学生C．调查每个年级成绩排名前50的学生D．利用本校学生学籍号随机选取200名学生进行调查【答案】D【分析】本题考查了抽样调查的合理性，掌握抽样调查需保证样本具有代表性、广泛性，避免因样本局限导致偏差是解题的关键．抽样调查应确保样本具有代表性，避免偏差，随机抽样能使每个个体有平等被选中的机会，从而反映整体情况．【详解】解：A、仅调查七年级学生，忽略其他年级，样本覆盖不全，不符合题意；B、仅调查男生，忽略女生，样本存在性别偏差，不符合题意；C、仅调查成绩排名前的学生，样本存在成绩偏差，不符合题意；D、利用学籍号随机选取，属于随机抽样，样本代表性强，故合理，符合题意．故选：D．14．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）四名同学分别从编号为的总体中抽取8个个体组成一个样本，他们选取的样本中个体编号分别为：①1，2，3，4，5，6，7，8；②43，44，45，46，47，48，49，50；③1，3，5，7，9，11，13，15；④43，25，2，17，35，9，24，19．你认为样本______（填序号）具有随机性．【答案】④【分析】本题考查了抽样调查的可靠性，根据抽样调查是随机抽取，每一个个体被抽到的可能性是相同的，可得答案．【详解】解：①中的号具规律性，不具随机性，故①没有随机性；②这些数都比40大，故②没有随机性；③是8个奇数号，故③没有随机性；④是随意抽取，故④具有随机性；故答案为：④．15．（24-25八年级下·江苏无锡·课后作业）期中考试结束后，数学课代表小丽在计算全班50名同学的数学平均成绩时，按简单随机抽样法抽出了10名同学的数学成绩，发现这10名同学的成绩均处于全班上游．使用简单随机抽样的方法，既然能抽到全班成绩较好的10名同学的成绩作为样本，当然也有可能抽到恰为全班成绩较差的10名同学的成绩作为样本，于是小丽质疑“简单随机抽样方法不可靠”．你的看法如何？【答案】见解析【分析】本题主要考查了随机抽样调查，根据理解解答即可．【详解】我觉得小丽对“简单随机抽样的方法”有质疑可以理解，但得出不可靠的结论有失偏颇．虽然有抽到全班成绩较好的10名同学的成绩的可能性，但是从概率的角度看巧合样本出现的概率是非常小的，所以简单随机抽样抽出的样本还是具有代表性和可靠性的．易错题型六、频率与概率的关系16．（2025·内蒙古呼伦贝尔·一模）下图显示了用计算器模拟随机投掷一枚图钉的某次实验的结果，下面有三个推断①当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以“钉尖向上”的概率是0.616；②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618；③若再次用计算机模拟此实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率一定是0.620；其中合理的是（

）A．① B．② C．①② D．②③【答案】B【分析】本题考查了利用频率估计概率，能正确理解相关概念是解题的关键．根据图形和各个小题的说法可以判断是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：当投掷次数是500时，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，所以此时“钉尖向上”的频率是：，但“钉尖向上”的概率不一定是0.616，故①错误；随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618．故②正确；若再次用计算机模拟实验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上”的频率可能是0.620，但不一定是0.620，故③错误．故选：B．17．（24-25八年级下·江苏南京·期末）某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如下表：每批粒数501003004006001000发芽的频数4596283380571948这种油菜籽发芽的概率约是_____________．（结果精确到0.01）【答案】【分析】根据题意及频率估计概率可直接进行求解．【详解】解：由表格得：当每批粒数为50时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为100时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为300时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为400时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为500时，则种子发芽的频率为；当每批粒数为1000时，则种子发芽的频率为；∴该植物种子发芽的概率的估计值是；故答案为∶【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率是解题的关键．18．（24-25八年级下·江苏常州·单元测试）王强和李刚在学习概率时，做掷骰子（质地均匀的正方体形状）试验，他们共掷了60次，出现朝上点数的次数如下表：朝上点数123456出现次数811691610(1)计算出现朝上点数为3的频率及出现朝上点数为5的频率．(2)根据以上试验，王强说：“根据试验结果，一次试验中出现朝上点数为5的概率最大．”李刚说：“如果掷600次，那么出现朝上点数为6的次数正好是100次．”这两名学生的说法是否正确？为什么？【答案】(1)出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率(2)都不正确，理由见解析【分析】本题考查了频率（频数）和概率．（1）求一个点数朝上的频率，就是用出现的次数除以抛的总次数即可；（2）根据概率的概念和概率公式，可知各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍，可得结论．【详解】（1）解：出现向上点数为3的频率：，出现向上点数为5的频率：，即出现向上点数为3的频率是，出现向上点数为5的频率；（2）解：王强和李刚的说法都不正确，理由如下：他们混淆了频率与概率的概念．概率是确定的常数，频率（频数）是不确定的、随机的．只有当试验次数足够大时，频率才稳定于概率这一数值．在该试验中，各类数出现的概率一样大，都为．由于频数的随机性，试验次数扩大10倍时，频数不一定正好扩大为原来频数的10倍易错题型七、判断能否构成平行四边形19．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）依据图中所标数据，能判定四边形为平行四边形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理分别判断即可．【详解】解：A、∵，，∴一组对边平行，另一组对边不平行，∴图中的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意；B、∵，，∴一组对边平行，另一组对边相等，∴图中的四边形不一定是平行四边形，故B不符合题意；C、∵，，∴一组对边平行且相等，∴图中的四边形是平行四边形，故C符合题意；D、∵，∴一组对边相等，∴图中的四边形不一定是平行四边形，故D不符合题意．20．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）顺次连接平面上，，，四点得到一个四边形，从①，②，③，④，⑤，⑥六个条件中选取其中两个，在①②、③④、①③、⑤⑥、③⑥组合中不能得出“四边形是平行四边形”这一结论的是___________（填序号）．【答案】③⑥/⑥③【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟悉平行四边形的判定是解题的关键；根据平行四边形的判定逐一进行判断即可．【详解】解：由两组对边分别平行的四边形是平行四边形知，①②组合可判定四边形是平行四边形；由两组对边分别相等的四边形是平行四边形知，③④组合可判定四边形是平行四边形；由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形知，①③组合可判定四边形是平行四边形；由两组对角相等的四边形是平行四边形知，⑤⑥组合可判定四边形是平行四边形；一组对边相等，一组对角相等的四边形不能判定为平行四边形，即③⑥组合不能得出四边形是平行四边形；故答案为：③⑥．21．（24-25八年级下·江苏常州·课后作业）已知：如图，直线，A，B是直线a上任意两点，，垂足分别为C，D．求证：．【答案】见解析【分析】先证四边形ABCD是平行四边形，再利用平行四边形的两组对边相等性质即可得证；【详解】证明：∵，∴．∴．∵，∴四边形是平行四边形（平行四边形的定义）．∴（平行四边形的对边相等）．【点睛】本题考查的是平行线间的距离，熟知平行线间的距离处处相等对于今后的解题由很大的帮助．易错题型八、添一个条件成为平行四边形22．（25-26八年级下·江苏常州·课后作业）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为（

）A．a B．b C．c D．d【答案】A【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理添加条件即可求解．【详解】解：∵，∴，∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定，可添加的条件是：即这条线段为a．故选：A23．（2026·河北邯郸·一模）如图，若增加“某条线段的长度为5”这个条件后，可证明四边形为平行四边形，则这条线段为______．【答案】【分析】根据已知条件结合平行线的判定得出，要使四边形为平行四边形，则需满足，即可求解．【详解】解：当时，∵，∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形．24．（2025·湖南岳阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，垂足分别为点，．（1）请你只添加一个条件（不另加辅助线），使得四边形为平行四边形，你添加的条件是________；（2）添加了条件后，证明四边形为平行四边形．【答案】（1）（答案不唯一，符合题意即可）；（2）见解析【分析】（1）由题意可知，要使得四边形为平行四边形，则使得即可，从而添加适当条件即可；（2）根据（1）的思路，利用平行四边形的定义证明即可．【详解】（1）显然，直接添加，可根据定义得到结果，故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；（2）证明：∵，，∴，∵，∴四边形为平行四边形．【点睛】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题关键．易错题型九、利用平行四边形的性质求解25．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在中，、相交于点O，，若，，则的面积为（

）A．16 B．20 C．24 D．32【答案】C【分析】根据平行四边形的面积等于底乘以高，即可求解．【详解】解：∵在中，，，，∴的面积为．26．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在中，，，的平分线交于E，则的长为_____．【答案】3【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及性质等知识点，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．利用平行四边形的性质和角平分线的性质判定出为等腰三角形，可得到，即可求解．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，故答案为：3．27．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）已知，在中，，，，为垂足．(1)求证；(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知平行四边形的性质是解题的关键；（1）根据平行四边形的性质得出，，再证明即可；（2）根据平行四边形的性质和平行线的性质得出，，再利用三角形内角和求解即可．【详解】（1）证明：，，，四边形是平行四边形，，，，，．（2）解：四边形是平行四边形，，，，，，．易错题型十、矩形性质与判定理解28．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查矩形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质逐项判断即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴∴不一定正确，故A不符合题意；，不一定正确，故B不符合题意；不一定正确，故C不符合题意；一定正确，故D符合题意，故选：D．29．（25-26八年级下·江苏泰州·课后作业）如图，用一张矩形纸片折出一个正方形，只需把一个角沿折痕翻折上去，使和边上的重合，则展开铺平后所得的四边形就是一个正方形，判断的依据是______________________．【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形【分析】首先根据矩形的性质可知、为直角，折叠后可得为直角且，由此可判定四边形是矩形，又因为该矩形的一组邻边与相等，根据“有一组邻边相等的矩形是正方形”即可判定四边形是正方形．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵将沿折痕翻折，使与边上的重合，∴，，∴四边形中，∴四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形．30．（2025·陕西咸阳·一模）如图，在四边形中，，，E为边上一点．请用尺规作图法在四边形内部求作一点P，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】本题考查作图——复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据尺规作图作垂线的方法，过点作垂直，过点作，即可求解．【详解】解：如图所示，即为所求．易错题型十一、添一条件使四边形是矩形31．（2025·河南平顶山·一模）如图，在中，对角线与相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是矩形的为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了矩形的判定定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法．根据矩形的判定方法即可一一判断．【详解】解：A、∵，，平行四边形为矩形，不符合题意；B、∵，平行四边形是矩形，不符合题意；C．∵在中，∴∵，∴平行四边形是矩形，不符合题意；D、∵在中，∴四边形是菱形，不能证明是矩形，符合题意．故选：D．32．（24-25八年级下·吉林白山·期中）如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件__________，使为矩形（任意添加一个符合题意的条件即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，添加条件，即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，添加条件，∴平行四边形为矩形故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．33．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图，在四边形中，对角线交于点，(1)求证：四边形是平行四边形．(2)在（1）的基础上，添加一个条件使平行四边形是菱形，并证明．(3)在（1）的基础上，添加一个条件使平行四边形是矩形，并证明．【答案】(1)见解析(2)添加AB=BC，证明见解析(3)添加∠ABC=90°，证明见解析【分析】（1）先证明△AOB≌△COD，可得AB=CD，再根据平行四边形的判定解答即可；（2）根据菱形的判定解答即可；（3）根据矩形的判定解答即可．【详解】（1）证明：∵，∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO，∵OA=OC，在△AOB和△COD中，∵，∴△AOB≌△COD，∴AB=CD，∴四边形是平行四边形；（2）解：添加AB=BC，平行四边形ABCD是菱形，证明：∵AB=BC，四边形是平行四边形，∴平行四边形ABCD是菱形；（3）解：添加∠ABC=90°，平行四边形ABCD是矩形，证明：∵∠ABC=90°，四边形是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，菱形和矩形的判定，解题的关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．易错题型十二、根据矩形的性质求解34．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）如图，在矩形中，、交于点，，则大小是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由矩形性质得到，再由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵在矩形中，，．35．（2025·山东枣庄·模拟预测）如图，在矩形中，对角线与相交于点，垂直且平分线段，垂足为点，，则的长为________．【答案】6【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，再由矩形的性质得到，则．【详解】解：垂直且平分线段，，四边形是矩形，对角线与相交于点，，，．36．（25-26八年级下·江苏泰州·课后作业）如图，某居民小区有一长方形土地，物业想在该长方形土地内修建宽度相等的小路（阴影部分），剩余部分是草坪．若小路的宽为，则草坪部分的面积为多少平方米？【答案】．【分析】本题考查了平移的概念和性质，熟练掌握平移相关内容是解题的关键；通过平移将土地内的小路变成“L”形，然后计算出草坪的长和宽就能计算出草坪的面积．【详解】解：如图，通过平移可将小路转化为“”形图案，则草坪部分转化为宽为，长为的长方形，草坪部分的面积．易错题型十三、添一条件使四边形是菱形37．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，四边形是平行四边形，请你添加一个条件使它成为菱形，下列选项中不正确的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查的是菱形的判定．根据菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案．【详解】解：A、添加可证明平行四边形是矩形，不能使它变成菱形，故此选项符合题意；B、添加能证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意；C、添加可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意；D、添加，则，所以，所以，可证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意；故选：A．38．（24-25八年级下·江苏泰州·假期作业）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AC，AB的中点．要使四边形AFDE为菱形，应添加的条件是________（添加一个条件即可）．【答案】AF＝AE（答案不唯一）【详解】由三角形的中位线性质可知AFED为平行四边形，又因为AF=AE，故AFDE为菱形.39．（24-25八年级下·河南许昌·期末）数学课上，王老师出示了一道例题：如图，在平行四边形中，为对角线的中点，过点的直线分别交，于，两点，连接，．求证：四边形是菱形．全班同学经过分组讨论后认为：四边形一定是平行四边形，要想证明该四边形是菱形还应当添加一个条件．小明认为：应当添加．小刚认为：应当添加．请你从小明和小刚添加的条件中选一个完成该题的证明．

(1)添加的条件是_______；(2)证明：【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四条边相等的四边形是菱形即可解答．（2）①根据平行四边形的性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；②根据平行四边形的性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形是平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论．【详解】（1）解：添加的条件是；故答案为：；（2）证明：①添加，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵点为对角线的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．②添加，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵点为对角线的中点，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形是平行四边形，∵，∴四边形是菱形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定，得出是解题关键．易错题型十四、根据菱形的性质求解40．（2025·山东济南·一模）如图，在菱形中，M，N分别是和上的点，且．求证：．

【答案】见解析【分析】考查了菱形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用证得三角形全等．根据四边形是菱形得到，从而证得，进一步得到，然后利用等边对等角证得结论即可．【详解】解：∵四边形是菱形，，在和中，，，，．41．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）如图，菱形对角线与交于点O，过点C作，过点B作，与相交于点E．(1)求证：四边形是矩形；(2)若，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质，掌握相关结论即可；（1）由题意得：，即；结合，，即可求证；（2）由题意得：，求出，即可；【详解】（1）证明：由题意得：，即；∵，，∴四边形是平行四边形；∵；∴四边形是矩形；（2）解：由题意得：，∵，，∴，∴四边形的面积；42．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，、相交于点，为的中点，连接并延长至点，使，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求菱形的面积．【答案】(1)证明见详解(2)54【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定和面积公式等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和判定，并灵活应用．（1）利用平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，再利用邻边相等的平行四边形是菱形可得结果；（2）直接利用菱形的面积公式进行求解即可．【详解】（1）证明：∵点为的中点，且，∴四边形是平行四边形，∵四边形是矩形，，∴四边形是菱形；（2）解：∴菱形的面积为．易错题型十五、正方形性质与判定理解43．（2026·河北沧州·一模）下列由一个正方形和两个相同的等腰直角三角形组成的图形中，轴对称图形的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了等腰直角三角形和正方形的性质、轴对称图形：如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这个概念判断即可．【详解】解：由于正方形和等腰直角三角形都是轴对称图形，所以图形①④可以找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故是轴对称图形；其他的图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，故都不是轴对称图形；∴轴对称图形的个数是个故选：B．44．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，正方形中，边上有一点，将顺时针旋转后得到，旋转中心是点_____，旋转了_____．【答案】A/90度【分析】本题考查了旋转的性质及正方形的性质，将顺时针旋转后得到，得到重合，旋转角为，而，即可解答．【详解】解：∵顺时针旋转至的位置，四边形为正方形，∴旋转中心是点A，旋转角度为，故答案为：A，．45．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形顶点称为格点，例如线段的端点在格点上，已知每个小正方形边长均为，利用无刻度直尺作图，请完成下列各小题．(1)在图①中，以为边作一个菱形（不是正方形），其中点为格点；(2)在图②中，以为边作正方形，其中点为格点．【答案】(1)画图见解析（任画一个）(2)画图见解析【分析】（）取格点，顺次连接，根据菱形的判定可知四边形是菱形；（）取格点，顺次连接，由勾股定理可知，由网格特点可知，即可得四边形是正方形，即为所求；本题考查了菱形的判定，正方形的判定，掌握菱形和正方形的判定是解题的关键．【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；（2）解：如图所示，四边形即为所求．易错题型十六、添一条件使四边形是正方形46．（2026八年级下·江苏扬州·专题练习）如图，在矩形中，对角线、交于点O，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．根据正方形的判定逐个判定即可得到答案．【详解】解：选项A、时不能判定矩形是正方形，故A不符合题意，选项B、时，矩形是正方形，故B符合题意，选项C、时不能判定矩形是正方形，故C不符合题意，选项D、时不能判定矩形是正方形，故D不符合题意，故选：B．47．（2025八年级下·江苏扬州·专题练习）如图，菱形中，对角线、相交于点O，不添加任何辅助线，要使四边形是正方形，则需要添加一个条件是___________．（填一个即可）【答案】（答案不唯一）【分析】本题主要考查了菱形添加一个条件判定为正方形．熟练掌握正方形的判定定理，是解题的关键．根据正方形的判定中对边、角、对角线的要求，试着找出答案；本题可根据有一个角为直角的菱形是正方形即可得解，注意：答案不唯一．【详解】添加，理由：∵四边形是菱形，，∴菱形是正方形．故答案为：（答案不唯一）．48．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点O．(1)若，求证：矩形是正方形；(2)请添加一个异于（1）的条件，使矩形成为正方形，不用说明理由．【答案】(1)见解析(2)．（答案不唯一）【分析】（1）证明，推出，即可证明结论；（2）根据正方形的判定添加条件即可．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴矩形是正方形；（2）解：添加的条件可以是．理由如下：∵四边形是矩形，，∴矩形是正方形．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键，注意：有一组邻边相等的矩形是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形．第2问是一道开放型的题目，答案不唯一，也可以添加等．易错题型十七、根据正方形的性质求解49．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，在正方形中，F是对角线上一点，连接，延长交于点E．若，求的度数．【答案】【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，根据题意得到，证明，求出，再由三角形内角和定理即可得到答案．【详解】解：四边形是正方形，是对角线上一点，．又，．．．50．（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，正方形的边长为，点，分别在边，上，且，交于点，交于点，则的周长是__________．【答案】【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质．通过作辅助线，交延长线于，利用正方形的性质和全等三角形的判定，证明，得到，；再利用证明，得到，从而计算的周长．【详解】解：如解图，过作，交的延长线于点，∵四边形是正方形，∴，，∴，，在和中，，∴，∴，，∵，∴在和中，，∴，∴，∴的周长：，∵正方形的边长为，∴的周长为．故答案为：．51．（24-25八年级下·河南商丘·期中）如图1，当时，与的面积相等．理由：因为，所以．又因为，所以．(1)【类比探究】如图2，在正方形的右侧作等腰三角形，，连接，求的面积．(2)【综合应用】如图3，在正方形的右侧作正方形，点B、C、E在同一直线上，，连接，求的面积．【答案】(1)4(2)8【分析】本题主要考查了正方形性质和平行线判定和性质以及三角形面积，解题关键是理解阅读材料，根据平行线找到等底等高的三角形．（1）过点作于点，连接，可得，根据材料可知，再由等腰三角形性质可知，即可求出；（2）连接，证明，即可得，由此即可求解．【详解】（1）解：过点作于点，连接，∵在正方形中，，∴，∴，∵，，∴，∵在正方形中，，∴；（2）解：如图3，连接，∵在正方形、正方形中，∴，∴，∴，∵在正方形中，，，∴．易错题型十八、求平行线间的距离52．（24-25八年级下·江苏扬州·单元测试）如图，已知直线，直线与它们分别垂直且相交于，，三点．若，，则平行线，之间的距离是（

）A．2 B．4 C．6 D．14【答案】C【分析】本题考查线段的和与差，平行线间的距离．利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可求出，再根据平行线间的距离的定义即可解答．【详解】解：∵，，∴．∵，直线d与它们分别垂直且相交于A，B，C三点，∴平行线b，c之间的距离是6．故选：C．53．（25-26八年级下·江苏扬州·课后作业）如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，，，，，则______．【答案】6【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质解题即可．【详解】解：∵，，，∴（平行线之间的距离处处相等），∴四边形为平行四边形，∴．故答案为：6．54．（24-25八年级下·江苏南京·单元测试）如图，在直角三角形中，，，，，若点到的距离是1，求与之间的距离．【答案】【分析】本题主要考查了平行线间的距离，关键是掌握三角形的面积公式．根据三角形的面积和点到直线的距离解答即可．【详解】解：因为在直角三角形中，，，，，所以点到的距离，因为，所以与的距离是．易错题型十九、三角形中位线定理55．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接，点F在线段上，连接，，若，，，则的长为（

）A．10 B．12 C．8 D．16【答案】A【分析】根据三角形中位线定理可求出，进而求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可．【详解】解：∵点D，E分别是边，的中点，，∴，∵，∴，∵，点E是边的中点，∴．56．（24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，在中，D、E、F分别是、、的中点，若的周长为，则的周长是_______．【答案】8【分析】根据三角形中位线定理易得所求的三角形的各边长为原三角形各边长的一半，那么所求的三角形的周长就等于周长的两倍．【详解】解：∵点D、E、F分别是、、的中点，∴，，，∵的周长为，∴，∴，∴，∴的周长是．57．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）如图，点D，E，F分别是的三边的中点，．求四边形的周长．【答案】10【分析】利用三角形的中位线的判定定理和性质进行求解即可．【详解】解：∵点D，E，F分别是的三边的中点，，∴和是的中位线，∴，，，．∴四边形的周长为．易错题型二十、中点四边形58．（25-26九年级上·贵州贵阳·月考）如图，点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，若，则四边形的周长为（

）A．2 B．3 C．4 D．4.5【答案】B【分析】本题考查了中点四边形，根据点，，，分别为四边形的四条边，，，的中点，得出，是，的中位线，同理分别是的中位线，故四边形的周长为，即可作答．【详解】解：连接，如图所示：在中，点，分别为边，的中点，∴是的中位线，∴，在中，点，分别为边，的中点，∴是的中位线，∴，同理得分别是的中位线，∴，∴四边形的周长为，故选：B．59．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如果四边形的四边中点依次是E、F、G、H，那么四边形是_______形．如果，，那么四边形的周长等于________cm．【答案】平行四边形56【分析】此题主要考查了中点四边形．直接利用三角形中位线定理得出，，得到四边形是平行四边形；由三角形中位线定理得出，，即可得出答案．【详解】解：连接，，，，，分别是，，，边的中点，∴，，，，∴，，∴四边形是平行四边形；，，，分别是，，，边的中点，同理，，∴四边形的周长是：．故答案为：平行四边形；56．60．（24-25八年级下·河南开封·期中）已知：如图四边形四条边上的中点E、F、G、H，顺次连接、、、，得到四边形，四边形的形状是什么？并证明结论．【答案】平行四边形，证明见解析【分析】连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形．【详解】解：四边形EFGH的形状是平行四边形．证明：如图，连接BD，∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．【点睛】本题主要考查对三角形的中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是正确的构造三角形病正确的运用中位线定理，难度不大．易错题型二十一、等腰梯形的性质与判定定理61．（24-25八年级下·上海·单元测试）下面结论中正确的是（）A．对角线相等的四边形是等腰梯形B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形C．两组对角分别互补的四边形是等腰梯形D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴【答案】D【分析】本题主要考查了等腰梯形的判定和性质，熟练掌握等腰梯形的判定：两腰相等的梯形为等腰梯形；对角线相等的梯形为等腰梯形；一组底角相等的梯形为等腰梯形．根据等腰梯形的判定方法和性质逐项进行判断即可．【详解】解：A．对角线相等的梯形是等腰梯形，故A错误；B．一组对边平行，另一组对边不平行且相等的四边形是等腰梯形，故B错误；C．一组对角互补的梯形是等腰梯形，故C错误；D．等腰梯形是轴对称图形，经过两底中点的直线是它的对称轴，故D正确．故选：D．62．（24-25八年级下·上海·月考）在等腰梯形中，，，则等腰梯形的面积是_____【答案】【分析】此题考查了等腰梯形的性质．首先设与交于点，由四边形是等腰梯形，，可求得的长，又由，即可求得答案．【详解】解：设与交于点，四边形是等腰梯形，，，，故答案为：．63．（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在梯形中，，延长到点E，使，．(1)试说明梯形是等腰梯形．(2)连接，试判断与的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，见解析【分析】本题考查了等腰梯形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有两腰相等的梯形是等腰梯形．（1）根据平行线的性质求出，根据推出，证，推出即可．（2）根据等腰梯形性质得出，即可得出答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴四边形是等腰梯形．（2）解：，理由是：连接,∵四边形是等腰梯形，∴，∵，∴．易错题型二十二、因式分解的概念64．（24-25八年级上·云南德宏·期末）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此逐一判断即可．【详解】解：∴A选项变形是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解，B选项是将多项式变形为几个整式乘积的形式，是因式分解，C选项左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解要求，D选项是整式乘法，从积转化为多项式，不是因式分解．65．（25-26八年级上·湖北荆门·期末）若多项式因式分解的结果为，则n的值为_____．【答案】【分析】本题考查了多项式乘法法则及因式分解与整式乘法的关系，利用因式分解与整式乘法的互逆关系，将分解后的整式展开，通过对应项系数相等求出n的值．【详解】解：根据多项式乘多项式法则，将展开：，∵，根据多项式相等则对应项系数相等，可得，故答案为：．66．（25-26八年级下·江苏南京·课后作业）下列各式中，从等号左边到右边的变形，哪些是因式分解？(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)不是因式分解．(2)是因式分解．(3)是因式分解．(4)不是因式分解．【分析】本题考查的知识点为因式分解，因式分解是指把一个多项式化成几个整式的积的形式．（1）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积；（2）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积；（3）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积；（4）判断等式是否满足左边为多项式，右边为整式的积；【详解】（1）左边是，是整式的积，右边是，是多项式，这是整式乘法，不是因式分解．（2）左边是，是多项式，右边是，是整式的积，并且等式成立，符合因式分解定义，故该变形为因式分解．（3）左边是，是多项式，右边是，是整式的积，并且等式成立，符合因式分解定义，故该变形为因式分解．（4）左边是，是多项式，右边是，不是整式的积，而是和的形式，不符合因式分解定义．易错题型二十三、提公因式法分解因式运算67．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）利用“提公因式法”对多项式进行因式分解，正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：．68．（25-26八年级下·四川成都·月考）已知实数m满足，则的值是_____．【答案】【分析】对所求多项式进行降次变形，结合已知条件计算，将所求式子提取公因式转化为含已知式子的形式，再代入求值．【详解】，．69．（24-25八年级下·宁夏银川·期中）因式分解．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）提公因式，即可因式分解；（2）将化为，再提公因式，即可因式分解．【详解】（1）解：．（2）解：．易错题型二十四、综合运用公式法分解因式70．（24-25八年级下·陕西安康·期中）已知，则的值为（）A．36 B．25 C．5 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查了因式分解的应用．能通过对已知条件的变形得出的值是解题的关键．先由已知条件得出的值，再把化成完全平方的形式，再进行计算即可．【详解】解：∵，，∴，即，∵，∴，∴．故选：B．71．（25-26九年级上·山西晋中·期末）我们学习了配方法，小王发现有的代数式可以用配方法分解因式，例如：分解因式；请你根据材料中小王的探究方法解决下列问题：分解因式______．【答案】【分析】本题考查因式分解，理解题意，掌握配方法因式分解是解题的关键．通过配方法，添加和减去一次项系数一半的平方，再应用平方差公式进行因式分解．【详解】解：=．故答案为：．72．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）阅读材料：用配方法因式分解：．解：原式．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使这个多项式成为完全平方式：________．(2)用配方法因式分解：．【答案】(1)4(2)【分析】本题考查了完全平方式，配方法，因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）理解题意，结合，即添上一个常数项为；（2）理解题意，模仿做题过程，得，即可作答．【详解】（1）解：依题意，，故是完全平方式，即添上一个常数项为；（2）解：依题意，．易错题型二十五、十字相乘法73．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值．【详解】解：，又∵，∴多项式对应项系数相等，得，解得，代入得．74．（25-26九年级上·山东济南·期末）分解因式：_____．【答案】【分析】此题考查了十字相乘法的分解因式，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．根据十字相乘法分解因式即可得出答案．【详解】解：．故答案为：．75．（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）因式分解时，甲看错了m的值，分解的结果是，乙看错了n的值，分解的结果是．求分解因式的正确结果．【答案】【分析】利用多项式乘多项式还原原式，确定的值，然后再因式分解．【详解】解：甲分解结果，甲看错，故；乙分解结果，乙看错，故．则原式为，分解为．易错题型二十六、分组分解法76．（24-25八年级上·四川眉山·期中）已知，，则多项式的值为（

）A．5 B．15 C． D．【答案】C【分析】本题考查了因式分解，求整式的值；进行因式分解得，整体代入计算即可．【详解】解：原式，当，时，原式．故选：C．77．（25-26八年级上·重庆合川·月考）分解因式：①_________．②________．【答案】【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．①先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；②先分组得到，再利用提公因式法分解因式即可．【详解】解：①，故答案为：；②，故答案为：．78．（25-26八年级上·重庆合川·期末）阅读下列材料：分解因式：．方法一：原式；方法二：原式．对多项式进行因式分解，当不能提取公因式，也不能直接用公式法时，可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法分解因式．请尝试利用材料中的方法分解因式：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了因式分解，掌握分组分解法是解题的关键．（）利用分组分解法解答即可；（）利用分组分解法解答即可；【详解】（1）解：；（2）解：．压轴题型一、统计图表综合1．（2026·江苏苏州·模拟预测）为激发学生的阅读兴趣，培养学生良好的阅读习惯，我区某校欲购进一批学生喜欢的图书，学校组织学生会随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生需从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类，根据调查结果绘制了统计图（未完成），请根据图中信息，解答下列问题：(1)填空或选择：此次共调查了_____名学生；图2中“小说类”所在扇形的圆心角为_____．调查方式是_____A．普查

B．抽样调查(2)将条形统计图补充完整；(3)若该校共有学生人，试估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数．【答案】(1)；；B(2)统计图见解析(3)该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为人【分析】（1）用“文史类”的人数除以“文史类”的占比即可求出调查的学生总数；先计算出“社科类”的占比，进而可计算出“小说类”的占比，再乘以即可求出所占的圆心角；调查方式是随机抽取学生进行问卷调查，属于抽样调查；（2）计算出“生活类”和“小说类”的人数后，补全条形统计图即可；（3）根据（1）中计算的“社科类”占比，乘以该校的学生总数，可估算出全校喜欢“社科类”书籍的学生人数．【详解】（1）解：由条形统计图可知，样本中“文史类”共有人；由扇形统计图可知，“文史类”占比为，∴此次调查的学生数为（人），∵“社科类”占比为，∴“小说类”所在扇形的圆心角为，根据题意可知，本次调查方式是：B．抽样调查；（2）解：喜欢“生活类”书籍的人数为（人），喜欢“小说类”书籍的人数为（人），条形统计图补全如下：（3）解：由（1）可知，喜欢“社科类”书籍的学生在样本中的占比为，∴该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为（人）．答：该校喜欢“社科类”书籍的学生人数约为人．2．（2025·山东枣庄·模拟预测）去年，某校开展了主题为“健康上网，绿色上网”的系列活动．经过一年的努力，取得了一定的成效．为了解具体情况，学校随机抽样调查了初二某班全体学生每周上网所用时间，同时也调查了使用网络的学生上网的最主要目的，并用得到的数据绘制了下面两幅统计图．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)在这次调查中，初二该班共有学生多少人？(2)如果该校初二有名学生，请你估计每周上网时间超过小时的初二学生大约有多少人？(3)请将图2空缺部分补充完整，并求出看新闻所占的圆心角的度数，你能知道这个班级使用网络的学生中，每周利用网络查找学习资料的学生有多少人？【答案】(1)人；(2)每周上网时间超过小时的初二学生大约有人；(3)见解析，这个班级看新闻所占的圆心角的度数为，使用网络的学生中，每周利用网络查找学习资料的学生约有人【分析】（1）把条形图中各组的频数加起来即可；（2）先算出样本中每周上网时间超过小时的初二学生的百分比，再乘以即可；（3）根据看新闻所占人数比例乘以即可得出看新闻所占的圆心角的度数，查找资料所占的百分比，这个班级使用网络的学生中，每周利用网络查找学习资料的学生样本容量查找资料所占的百分比．【详解】（1）解：初二该班共有学生：(人)；（2）解：(人)，答：每周上网时间超过4小时的初二学生大约有84人；（3）解：；补全扇形图如图：看新闻所占的圆心角的度数为，(人)，答：这个班级看新闻所占的圆心角的度数为，使用网络的学生中，每周利用网络查找学习资料的学生约有人．3．（2026·湖南邵阳·一模）某校随机选取部分同学开展“学生喜爱的体育活动”问卷调查（每人限填一项）．将学生喜爱的体育活动的调查结果分为以下五类，相关数据整理为如下不完整的扇形统计图和条形统计图．A类：击剑、滑板等新兴潮流体育活动B类：篮球、足球等球类竞技体育活动C类：跳绳、趣味接力等校园趣味体育活动D类：户外徒步、定向越野等校外拓展体育活动E类：瑜伽、羽毛球等个人休闲体育活动根据以上信息，解答下列问题：(1)此次抽取学生共__________人，在扇形统计图中，D类所对应的圆心角是__________度；(2)补全条形统计图；(3)若该校学生总数为2400人，请估计该校喜爱E类体育活动的学生人数．【答案】(1)108，60(2)图见解析(3)估计该校喜爱E类体育活动的学生有200人．【分析】（1）用B类的人数除以占比即可求出总人数，再用360度乘以D类的占比即可求出对应的圆心角．（2）求出C类的人数即可补全条形统计图．（3）用样本估计总体即可．【详解】（1）解：（人）．（2）解：C类：（人）；如下图所示：（3）解：（人）．答：估计该校喜爱E类体育活动的学生有200人．4．（2025·海南海口·模拟预测）图1反映的是某家电商场今年1－5月份的家电销售总额统计图．图2反映的是电视机各月销售额占商场月销售总额的百分比，观察图1，2，解答下列问题：(1)已知商场1－5月份的销售总额共万元，请你根据这一信息补全图1，并标出4月份的销售总额．(2)求商场5月份电视机的销售额是多少万元？(3)小华观察图2后认为，5月份电视机的销售额比4月份减少了．你同意他的看法吗？为什么？【答案】(1)见详解(2)万元(3)不同意，5月份电视机的销售额比4月份增加了，见详解【分析】（1）由条形统计图及销售总额，即可求出该商场4月份的销售总额，再补全统计图即可；（2）由折线图可知：电视机5月份的销售额月份的销售总额电视机月销售额占商场当月销售总额的百分比；（3）5月份电视机的销售额有万元，而4月份电视机的销售额只有万元，则小华的看法错误．【详解】（1）解：4月份销售总额为：万元，所以补全统计图为：（2）万元；（3）不同意，5月份电视机的销售额比4月份增加了，理由如下：4月份电视机的销售额为万元，5月份电视机的销售额有万元，由于，所以实际的销售额还是5月份多，则小华的看法错误．5．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）下图是我国第七次全国人口普查统计图表，请根据图表内容回答下列问题：历次普查全国人口单位：万人

（）普查年份1953196419821990200020102020全国人口5826069458100818113368126583133972141178(1)2020年少数民族人口数占全国人口数的________；(2)计算全国人口2020年比2010年多多少万人？(3)若想直观体现全国人口变化趋势，应再补充什么统计图最合适？【答案】(1)(2)全国人口2020年比2010年多万人(3)若想直观体现全国人口变化趋势，应再补充折线统计图最合适【分析】本题考查了统计图表、条形统计图、折线统计图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）根据统计图即可得出结果；（2）2020年全国人口数减去2010年全国人口数，即可得出结果；（3）根据折线统计图的特征即可得出结果．【详解】（1）解：由统计图可得2020年少数民族人口数占全国人口数的；故答案为：；（2）解：（万人），故全国人口2020年比2010年多万人；（3）解：若想直观体现全国人口变化趋势，应再补充折线统计图最合适．压轴题型二、频数分布直方图与实际应用6．（25-26七年级上·甘肃白银·期末）为了弘扬航天精神，某市一中学开展了主题为“理想高于天，青春梦启航”的航天知识竞答活动，学校随机抽取了七年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽取的成绩在分之间的记为A组，分之间的记为B组，分之间的记为C组，分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图：(1)请求出学校抽取的七年级同学的人数；(2)补全频数分布直方图；扇形统计图中圆心角______；(3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校七年级共有440名学生，请估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数．【答案】(1)40(2)补图见解析，72(3)约为人【分析】（1）根据B组人数与所占百分比求解；（2）先求出D组人数，再补全频数分布直方图；乘以D组所占的比例即可求出；（3）440乘以D组所占的比例即可．【详解】（1）解：由B组人数12与所占百分比可得，样本容量为：，答：学校抽取的七年级同学的人数40人；（2）解：D的频数为：，补全频数分布直方图如下：∴；（3）解：由题意可得，（人），答：七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数约为人．7．（24-25七年级下·新疆阿克苏·期末）网络技术的发展对学生学习方式产生巨大的影响，某校为了解学生每周课余利用网络资源进行自主学习的时间，在本校随机抽取若干名学生进行问卷调查，下面是根据调查结果绘制成的不完整的统计图表：组别学习时间频数（人数）A8B24C32DE4请根据图表中的信息解答下列问题：(1)表中的______，扇形统计图中B组对应的圆心角为______°．(2)请补全频数分布直方图．【答案】(1)12，108(2)见详解【分析】（1）根据组的频数和百分比求出总人数，再利用组的百分比求出的值，总人数组的百分比；圆心角组占比；（2）由（1）中的值可得．【详解】（1）解：被调查的总人数为，则，∵总人数为80人，∴扇形统计图中组对应的圆心角为，故答案为：12，108；（2）解：如下图：8．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）某校为了解本校3000名初中生对安全知识掌握情况，随机抽取了60名初中生进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制了如下不完整的频数统计表和频数分布直方图：组别成绩x分频数（人数）第1组6第2组10第3组a第4组b第5组12请结合图表完成下列各题：(1)频数表中的_____，_____；(2)将频数分布直方图补充完整：(3)若测试成绩不低于90分定为“优秀”，你估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的大约有多少人？【答案】(1)18，14(2)作图见详解(3)600人【分析】（1）结合频数分布直方图可得出的人数，再用总抽取人数减去各组的人数即可得到的人数；（2）由（1）知，，在频数分布直方图中对应的小组画出高度为18的直条即可；（3）先求得抽取的60名学生中“优秀”的人数为的小组频数占样本容量比例，即频率，再根据样本中“优秀”的比例来估计总体中“优秀”等级的估计人数．【详解】（1）解：由频数分布直方图可知，的人数为18，即，的人数为：（人），即，故答案为：18，14．（2）解：由（1）知，，如图所示，频数分布直方图为所求：（3）解：由题意知，测试成绩不低于90分的频率为：，∴估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的人数为：（人），即估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的人数大约有600人．9．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）小万在学校组织的社会实践活动中负责了解他所居住的小区440户居民的家庭收入情况．他从中随机调查了20户居民家庭的人均月收入（收入用表示，取整数，单位：元），将抽取的20户居民家庭的人均月收入先分成六个组（即，，，，，），再分为三个等级（即低收入，中等收入，高收入）．【收集数据】20户居民家庭的人均月收入统计数据：750，810，920，980，1000，1010，1050，1080，1080，1100，1100，1120，1190，1250，1250，1300，1320，1430，1500，1790．【整理数据】按如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图进行整理、描述数据：根据以上信息，解答下列问题：(1)扇形统计图中“高收入”所占扇形的圆心角度数为_____．(2)请根据已有信息补全频数分布直方图；(3)请你估计小万所居住的小区440户居民的家庭收入为中等收入的大约有多少户？【答案】(1)；(2)见解析；(3)户．【分析】本题考查了频数分布直方图，求圆心角，用样本估计总体．（1）用“高收入”人数除以众数乘以即可；（2）根据人均月收入统计数据补全频数分布直方图即可；（3）用中等收入的比例乘以440即可．【详解】（1）解：由人均月收入统计数据可知“高收入”有3户，∴扇形统计图中“高收入”所占扇形的圆心角度数为．故答案为：；（2）解：由人均月收入统计数据可知，有9户，有2户，补全频数分布直方图如下：（3）解：由人均月收入统计数据可知，中等收入的大约有户，户，答：估计小万所居住的小区440户居民的家庭收入为中等收入的大约有户．10．（25-26七年级上·辽宁锦州·期末）随着全民健康意识的提升，人体体重作为健康的重要维度备受关注．某校为引导学生注重身体健康，树立科学的体重管理意识，就学生的身体质量指数（衡量人体胖瘦程度的常用指标，它等于人体体重（单位：）与人体身高（单位：）平方的商）的情况展开调查研究．【收集数据】随机抽取该校部分学生，测算出他们的BMI数据组成样本．【整理数据】将学生的数据按照以下标准分成，，，四组进行整理，如下表：类别BMI体重情况过低正常超重肥胖人数（人）3693【描述数据】根据学生的BMI数据绘制了如下两幅不完整的统计图．【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：(1)求参与本次调查的学生人数；(2)求的值并补全条形统计图；(3)求扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数；(4)若该校共有600名学生，请估计身体质量指数的学生人数．【答案】(1)参与本次调查的学生人数为60人(2)，图见解析(3)(4)120人【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．（1）用D组的人数除以其人数占比可得答案；（2）求出n的值，进而补全统计图即可；（3）用360度乘以B组的人数占比即可得到答案；（4）用600乘以样本中的学生人数占比即可得到答案．【详解】（1）解：（人）．答：参与本次调查的学生人数为60人．（2）解：．补全条形统计图如图所示：（3）解：．∴组所对应扇形的圆心角的度数为．（4）解：（人）．答：估计该校身体质量指数的学生人数为120人．压轴题型三、平行四边形性质和判定的应用11．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）如图，在四边形中，点E、F在上，且，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)若，，，，求的长．【答案】(1)详见解析(2)【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．（1）证明，得，根据一边平行且相等的四边形为平行四边形得出结论；（2）由平行四边形的性质得，，再由勾股定理求出，然后由三角形面积求出的长即可．【详解】（1）证明：，，，，，在和中，，，四边形是平行四边形；（2）由（1）可知，四边形是平行四边形，，，，，，，．的长为．12．（2025·江苏淮安·二模）几何作图(1)如图1，图2，在中，点D是边上一点，请用无刻度直尺和圆规，在边求作一点E，使；试利用图1，图2用两种不同的作法作出点E；（保留