江苏省扬州市扬州中学文昌集团2025-2026学年下学期八年级期中数学试题（解析版）

初二年级数学学科一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分）1.在代数式，，，中，分式有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】此题考查分式的定义：形如的式子，其中A，B是整式，且B中含有字母，这样的式子是分式，根据定义解答即可．【详解】解：在代数式，，，中，分式有，共2个，故选：B2.在美丽乡村建设中，某村计划在池塘上搭建小桥，如图，地面上两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点，并分别找到和的中点，．测得，则两处的距离为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理，即可得出结论．【详解】解：∵，分别是和的中点，∴是的中位线，∴，∴；故选B．3.下列分式变形正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是分式的基本性质，掌握“分式的基本性质判断分式的变形的正误”是解本题的关键.分式的分子与分母都乘以或除以同一个不为0的数或整式，分式的值不变，根据分式的基本性质逐一判断即可.【详解】解：故A不符合题意；故B符合题意；，故C不符合题意；故D不符合题意；故选B.4.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直【答案】D【解析】【分析】对于四边形的性质我们从：①边；②角；③对角线三个方面去理解，因此，只需要根据正方形、矩形的这三个方面性质的不同，即可解答．【详解】解：根据正方形和矩形的性质对比分析：①边：有对边与邻边：正方形与矩形对边性质相同，没有区别；邻边性质不同，正方形邻边相等，矩形邻边不相等；②角：正方形与矩形内角性质相同，对角相等、邻角互补、四个角都是直角；③对角线：正方形与矩形对角线都相等且互相平分，但正方形对角线相互垂直，而矩形对角线不具有这个特征；故选：D．【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，解决本题的关键是熟记正方形和矩形的性质．5.将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（

）A.扩大3倍 B.不变 C.扩大9倍 D.扩大2倍【答案】A【解析】【分析】根据分式的基本性质将扩大后的a、b代入原分式，化简后和原分式比较，即可解答．【详解】解：∵将a、b都扩大为原来的3倍后，代入原分式得新分式∴新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大3倍.6.如图，平行四边形中，，，平分交边于点，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形对边平行且相等以及角平分线，构造等腰三角形，进而求出．【详解】解：平分，，四边形为平行四边形，，，，，，．7.当分别取，，，…，，，，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A. B.1 C.0 D.2019【答案】A【解析】【分析】先求出和时，分式的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得．【详解】解：当和时，，当时，，则所求的和为．8.如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，沿翻折，得到，连接．当长度最小时，的面积是（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】连接，如图，根据折叠的性质得到，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，根据勾股定理得到，得到长度的最小值，设，则，根据勾股定理得到根据三角形的面积公式得到的面积是．【详解】解：连接，如图，沿翻折至，，，，，当点、、三点共线时，最小，此时的最小值，四边形是矩形，，，，，长度的最小值，设，则，，，，，解得，，的面积是，故选：．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，线段的最值问题．本题的综合性强，属于常见的中考压轴题．熟练掌握折叠的性质，勾股定理，是解题的关键．二、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）9.若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件．直接根据分式有意义的条件作答即可．【详解】解：∵代数式有意义，∴，即，故答案为：．10.已知，则分式的值等于__________．【答案】【解析】【分析】本题考查分式求值，掌握分式的运算是解题的关键．根据，得，将其代入进行化简约分即可求解．【详解】解：，，故答案为：．11.如果分式的值为零，那么_____．【答案】【解析】【分析】分式值为零的条件：需同时满足分子为零，分母不为零．据此分别求解后取公共部分即可得到x的值．【详解】解：若分式的值为零，则.解得或，由，得.因此．12.在中，已知的度数是的5倍，那么______度．【答案】【解析】【分析】由平行四边形得到，，则，结合已知条件得到,求出，即可求解和的度数．【详解】解：如图，∵四边形是平行四边形，∴，∴，∵的度数是的5倍，∴,解得，∴．13.如图，已知矩形中，E是边上一点，F是边上一点，，且．若，，则矩形的周长为_______．【答案】38【解析】【分析】根据矩形的性质得出，根据垂直定义得出，利用同角的余角相等证明，进而利用证明，得出，求出的长，最后根据矩形周长公式计算即可．【详解】解：四边形是矩形，，，，，又，，在和中，，，，，，，，矩形的周长为．14.如图，平行四边形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点．若设该平行四边形的面积为12，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】6【解析】【分析】根据平行四边形的性质证明可得，进而可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，由此可解．【详解】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点，∴，，，又∵，∴，∴，∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，∴阴影部分面积为．15.如图，在矩形中，，，若点P是边上的一个动点，则点P到矩形的对角线、的距离之和为______．【答案】4.8【解析】【分析】连接，过点P分别作，，根据矩形的性质得，，，，，根据勾股定理得，及，，，即可得三角形和三角形的面积，根据即可得．【详解】解：连接，过点P分别作，，∵四边形是矩形，∴，，，，，∵，，∴，∴，，，∴，∴，∵，解得，．∴点P到矩形的对角线、的距离之和为.16.如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝5，CG＝3，则CE的长为_____．【答案】【解析】【分析】】根据AG垂直平分EF，求出EG=FG，设CE=x，则DE=8-x=BF，FG=EG=13-x根据勾股定理得CE2+CG2=EG2，进而求得CE.【详解】解：如图所示，连接EG，由旋转可知△ABF≌△ADE，∴DE=BF，AE=AF，∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG=FG，设CE=x，则DE=8-x=BF，FG=EG=BF+BG=13-x，∵∠C=90°，∴CE2+CG2=EG2即x2+32=(13−x)2解得x=，∴CE的长为，故答案为：.【点睛】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解决该题的关键是根据勾股定理列方程.17.操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．解：由知，所以，即的值为的倒数，即迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：已知，则的值为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了分式的加减法、倒数，理解例题的思路是解题的关键；已知等式取倒数，求出的值，再求待求式子的倒数，利用完全平方公式变形求解．【详解】解：由，，∴，即，∴，∴，∴待求式的倒数为，故．故答案为：．18.如图，在菱形中，，，E为线段上的动点，四边形为平行四边形，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】利用四边形为平行四边形，得出，，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，则，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，分别证明四边形和四边形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，，∵为线段上的动点，如图，过点作的平行线，过点作关于线段的对称点，由对称性得，∴，当且仅当点、、依次共线时，取得最小值，此时如图，设与交于点，交于点，延长交延长线于点，∵菱形中，，，∴，∴，由题可得，∴由对称性可得，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，∴，∴四边形是矩形，∴，，∴，，∴，即的最小值为．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题纸指定区域作答，解答时应写出必要的文字说明、解题过程或演算步骤）19.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．20.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．21.先化简，再求值：，其中从0，1，2中选一个恰当的数求值．【答案】，当时，原式【解析】【分析】先把小括号内的式子通分，然后因式分解后约分化简，最后根据分式有意义的条件确定m的值，然后代入求解．【详解】解：，∵，，∴，，∵从0，1，2中选一个恰当的数∴当时，原式．22.已知，求的值．【答案】，【解析】【分析】本题考查异分母分式的加减法，根据异分母的分式的加减法则，进行计算即可．【详解】解：，由题意可知：，解得：，．23.如图，在中，点，分别在，的延长线上，且．连结，交于点，连结．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，求的度数．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知平行四边形的性质与判定定理是解题的关键．（1）由平行四边形的性质得到，则可证明，据此可证明结论；（2）由平行四边形的性质结合平行线的性质得到，则由三角形内角和定理可得答案．【小问1详解】证明；∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，即，又∵，∴四边形是平行四边形；【小问2详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，∴，∴．24.如图，四边形是平行四边形，交的延长线于点，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求四边形的周长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到．根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据勾股定理得，根据平行四边形的周长公式即可得到结论．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形，．，．四边形是矩形；【小问2详解】解：四边形是矩形，，，，由（1）得：四边形是平行四边形，，，四边形的周长为．【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键．25.如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接．（1）求证：四边形是菱形；（2）若，求的面积．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）先根据矩形性质得，再结合已知，，利用对角线互相平分且垂直的四边形是菱形来证明．（2）由菱形性质和得出是等边三角形，再通过等边三角形和矩形的线段关系求出对角线长度，最后用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算．【小问1详解】证明：四边形是矩形，，即，又，，四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），∵（已证，，，即对角线互相垂直），四边形是菱形；【小问2详解】解：四边形是菱形，，又，是等边三角形，，，∴，∴,∴，∴菱形的面积．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）和性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分），以及矩形、等边三角形、平行四边形的相关性质是解题的关键．26.在的方格纸中，点都在格点上，按要求画图：（保留画图痕迹）（1）在图1中为内一格点（仅用无刻度的直尺），，为边上的点，使四边形是平行四边形．（2）在图2中仅用无刻度的直尺，过点作的平行线．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【小问1详解】解：如图，找到格点点，连接与交于点，连接与交于点，四边形即为所求；根据可得到，，∴，∴四边形为平行四边形，∴，根据格点性质可知，∴四边形为平行四边形，∴，∴四边形是平行四边形．【小问2详解】解：如图，找到两点，连接与交于点，即为所求；利用格点图的性质易知四边形为矩形，∴，又通过格点图特点易知为中点，∴为三角形的中位线，∴．27.数学兴趣小组在学习了《分式》知识后，探究了分式的一种特殊变形．例如：我们把这种将分式的分母不变，分子中构造含分母的结构，从而将原分式分离出一个常数和一个分子为常数的分式结构的变形方法叫做“分离常数法”．“分离常数法”是分式研究的重要数学思想方法．（1）请利用“分离常数法”将分式变形为（其中为常数），求的值；（2）若分式的值为整数，求满足条件的整数的值；（3）利用分离常数法，请直接写出分式的取值范围．【答案】（1），（2）或（3）【解析】【分析】（1）利用分离常数法，即可得到结论；（2）利用分离常数法，可将原式变形为，即可得到结论；（3）利用分离常数法，可将原式变形为，由分母，即可得到结论．【小问1详解】解∶，∴，；【小问2详解】解∶，∵分式的值为整数，且x为整数，∴，∴或；【小问3详解】解∶，∵，∴，∴，∴．28.如图（1），在平面直角坐标系中，直线（k是常数，）与坐标轴分别交于点A，点B，且点B的坐标为．（1）求点A的坐标；（2）P是x轴上一点，已知，求点P的坐标；（3）如图（2），已知AC平分，D为的中点．点M在直线上，在x轴上取点N，使以M、A、N、B为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点N的坐标．【答案】（1）（2）或（3）或或【解析】【分析】（1）把点代入，求出k值，从而得到一次函数解析式，再令，求出x值，即可求得点A坐标；（2）分两种情况：①当点P在点A右侧时，②当点P在点A左侧时，分别求解即可；（3）