24.2 数据的离散程度（第1课时）教学设计

.2数据的离散程度（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是在具体问题情境中体会分析一组数据的波动程度的必要性和重要性，通过对平均数接近的两组数据的散点图表示，直观地感受数据波动程度的含义，在此基础上引入了离差、离差平方和以及方差的概念。2.

内容分析本节课是数据离散程度的起始课，在学生掌握数据集中趋势后，从“平均水平相近但稳定性不同”的实际问题出发，引入离差、离差平方和、方差，核心是理解方差刻画数据波动大小的意义，掌握方差计算与稳定性判断的方法，建立“集中趋势+离散程度”的完整数据分析框架。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：离差平方和、方差意义的理解及应用。二、目标和目标解析1.

目标（1）体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差。（2）会初步运用离差平方和、方差解决实际问题。2.

目标解析（1）学生能理解数据离散程度的实际意义，掌握离差、离差平方和、方差的概念，会正确计算简单数据的离差平方和与方差，明确方差与波动大小的关系。（2）学生能运用方差判断数据的稳定性，结合实际问题做出合理选择与解释，初步形成用离散程度分析数据的意识。三、教学问题诊断分析学生可能出现的问题：1.

学生难以理解为何要对离差平方，容易混淆离差、离差平方和、方差三者的概念与计算逻辑。2.

方差计算步骤多、计算量大，学生易出现平均数算错、离差平方错误、除以项数出错等问题。应对策略：1.用“离差和为0”的矛盾引导学生理解平方的必要性，通过对比明确三者的联系与区别。2.总结算平均数→算离差→算平方→求和→算方差五步计算法，规范步骤减少错误。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：会计算一组简单数据的离差平方和、方差。四、教学过程设计（一）情境引入引言在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和、方差.设计意图：对比集中趋势与离散程度两类统计量，点明学习离散程度的必要性，衔接新旧知识，让学生明确本节课研究方向，快速进入学习状态。（二）合作探究问题某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子，选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题，为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示.根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢?分析：上面两组数据的平均数分别是x甲=7.537，x乙=7.515.说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大.由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.注意：这里是根据样本平均数估计总体平均数.为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如下图所示.思考从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好，如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.归纳离差的概念一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用x表示它们的平均数，我们把xi−x（i=1，2，…，n）叫作xi关于平均数x的离差.思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗?分析：用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由(x1−x)+(x2−x)+…+(xn−x)=x1+x2+…+xn−nx=0可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异.思考：怎样做可以避免离差求和时正负抵消？分析：避免离差求和时正负抵消，可以对离差进行平方，也可以取离差的绝对值.由于含有绝对值的式子的数学性质不如含有平方的式子，在统计中更多用离差的平方.归纳离差平方和的概念为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.把离差的平方的平均数1n[(x1−x)2+(x2−x)2+…+(xn−x)2]叫作这组数据的方差，记作“s2方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差.问题解决根据表格，可以得到S2甲=(7.65-7.537)2S2乙=(7.55-7.515)2由S2甲>S2乙，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好.由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定.综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.注意：这里是根据样本方差估计总体方差.思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足?分析：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.1.方差是离差平方的平均数.在数值上看，当离差绝对值大于1时，平方会使其值更大；当离差绝对值小于1时，平方会使其值更小.2.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.设计意图：以玉米选种为情境，从“平均产量相近无法选择”引出稳定性需求，通过探究逐步建立离差、离差平方和、方差的概念，让学生理解方差的形成过程与统计意义，突破重难点。（三）典例分析例1甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如下表所示.哪名射击运动员的发挥更稳定?解：两名运动员射击成绩的平均数分别为x甲=9+7+···+1010=8.7，x乙=两名运动员射击成绩的方差分别为S2甲=(9-8.7)2+(7-8.7)2+···+(10-8.7)210=2.41，由S2甲>S2乙可知，乙射击运动员的发挥更稳定.设计意图：以射击成绩为载体，规范方差计算与稳定性判断的完整解题步骤，强化方差应用，让学生掌握“先算平均→再算方差→比较判断”的分析思路。（四）巩固练习1．已知一组数据为2，3，4，5，6，求该组数据的离差平方和．解：数据2，3，4，5，6的平均数为2+3+4+5+6÷5=20÷5=4离差平方和为2-422.如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序，先通过直观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致?（2）（3）（4）四组数据的方差分别为0，0.4，2，3.2.3.根据方差比较第149页“问题1”中两组跳绳成绩的离散程度.解：甲、乙两组同学跳绳成绩的方差分别为S2甲=(182-172)2+(194-172)S2乙=(199-180)2甲、乙两组跳绳成绩的方差分别为370，1370，说明乙组跳绳成绩的组内差距更大.设计意图：通过基础计算、直观判断、旧题新解分层练习，巩固离差平方和与方差计算，提升学生从直观到定量判断波动的能力，及时查漏补缺。归纳总结

（六）感受中考

1．（2024年黑龙江龙东地区）一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（

D

）A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.52．（2025年河南）为考查学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为s甲2=3.6,s乙2=5.8，则这两种小麦长势更整齐的是___甲___（填“3．（2025年四川泸州）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示：甲乙丙丁平均数205217208217方差4.64.66.99.6根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（

B

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．（2025年山西）下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（

A

）日期气温2月2日2月3日2月4日2月5日2月6日最高/℃1261098最低/℃1-2-102A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大C．一样大 D．无法比较5．（2025年山东烟台）求一组数据方差的算式为：s2=1n×A．n的值是5B．该组数据的平均数是7C．该组数据的众数是6D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小6．（2024年甘肃兰州）甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）