专项突破：一次函数与方程（组）、不等式（B测试）（解析版）

专题一次函数与方程（组）、不等式目录A题型建模・专项突破TOC\o"1-2"\h\u题型一、由直线与坐标轴的交点求一元一次方程的解 1题型二、由一元一次方程的解判断直线与x轴的交点 3题型三、两直线的交点与二元一次方程组的解 4题型四、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 6题型五、根据两条直线的交点求不等式的解集 7题型六、一元一次不等式与一次函数实际综合问题 9题型七、一次函数与一元一次不等式、方程的综合问题 13题型八、含绝对值的函数与一元一次不等的综合问题 15B综合攻坚・能力跃升一、单选题1．（25-26八年级上·贵州毕节·期末）如图，已知直线与直线相交于点，则关于的二元一次方程组的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出的值，根据两条直线的交点坐标即为由两条直线对应的解析式构成的二元一次方程组的解，即可得出结果．【详解】解：把代入，得：，解得，∴；∴关于的二元一次方程组的解是．2．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与的图象交于点，当时，的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此题考查了根据两直线的交点求不等式的解集．求出一次函数与的图象交于点，根据两直线的位置关系即可求出答案．【详解】解：把代入得到，解得，∴一次函数与的图象交于点，由图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的下方，∴当时，的取值范围是，故选：C3．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，点，，点P为y轴上一点，当的和最小时，点P的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得点的坐标．【详解】解：作点关于轴的对称点，连接，交y轴于点P，连接，如图所示：根据轴对称可得：，∴，∵两点之间线段最短，∴此时最小，即最小，∵，的坐标为，设直线的解析式为：，，解得：，直线的解析式为：，当时，，点的坐标为：．4．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的方程组无解，则下列结论正确的是（）A．直线与直线的交点在第一象限B．直线与直线的交点为C．直线不经过第一象限D．直线交轴于负半轴【答案】C【分析】本题考查了一次函数图像与二元一次方程组的解之间的联系，得到两直线平行是解题的关键．根据方程组无解得出两直线平行，求出k的值，再逐一分析选项判断正误．【详解】解：∵关于的方程组无解，∴直线与直线平行，即，解得，两直线平行，无交点，故A、B错误；将代入，得，∵斜率，截距，∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故C正确；将代入，得，当时，，即直线交y轴于正半轴，故D错误．故选：C．5．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小聪根据图象得到下列结论，其中结论不正确的是（

）A．B．关于x的方程的解为C．关于，的方程组的解为D．关于的不等式的解为【答案】D【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式的关系．根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程组、与一元一次方程、与一元一次不等式的关系对各项判断即可解答．【详解】解：∵由图象可知：一次函数与x轴的交点为，∴当时，，即，故结论A正确；∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点，∴关于x的方程的解为，故结论B正确；∵由图象可知：一次函数与（）的图象相交于点，∴关于x，y的方程组的解为，故结论C正确；∵由图象可知：一次函数图象不在（）的图象上方时，∴的解为故结论D错误；故选：D．二、填空题6．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，已知是一次函数的图象上的一点，则方程的解是________．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的图象解一元一次方程即可．【详解】解：是一次函数的图象上的一点，当时，，方程的解是．故答案为：．7．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）若方程组的解是，则直线与的交点坐标是______．【答案】【分析】根据二元一次方程组与一次函数的关系，二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标，结合已知条件即可得到结果．【详解】解：直线变形可得，直线变形可得，直线与直线的交点坐标就是方程组的解，该方程组的解为，两直线的交点坐标为．8．（25-26八年级上·宁夏中卫·期末）如图，直线与的图象交于，则关于，的方程组的解为________．【答案】【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组、函数图像的平移，根据两函数图像的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案．【详解】解：直线是直线向下平移个单位长度，直线是直线向下平移个单位长度，直线和直线的交点就是把直线与的交点向下平移个单位长度，直线和直线的交点坐标是，方程组的解为．故答案为：．9．（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，直线：与直线：的图像交于点，则关于x的不等式的解集为___________．【答案】【分析】本题考查了根据图像求不等式的解集．直接根据图像作答即可．【详解】解：由图像可知，关于x的不等式的解集为．故答案为：．10．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）一次函数与的图象如图，则下列结论：①关于x的方程的解是；②函数不经过第一象限；③关于x的不等式的解集是．其中正确的是________（填序号）．【答案】①②③【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系，结合图象求解即可．本题考查了一次函数的性质，一次函数与二元一次方程组的关系，一次函数与一元一次不等式的关系．熟练掌握相关知识，和数形结合的思想是解题的关键．【详解】解：①∵，，当时，，则，由图知一次函数与的图象的交点的横坐标为3，∴关于x的方程的解是，故①正确；②由图知，，，∴函数经过二、三、四象限，不经过第一象限，故②正确；③由图知，时，直线在直线的下方，∴关于x的不等式的解集是，故③正确．综上，正确的是①②③，故答案为：①②③．三、解答题11．（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，已知直线和直线相交于点，直线分别与轴和轴相交于点和点，直线与轴交于点．(1)分别求出这两个函数的解析式；(2)连接，求的面积；(3)根据图象，直接写出不等式组的解集．【答案】(1)直线为，直线；(2)3；(3)．【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数解析式、两条直线相交或平行问题，解题时要能利用数形结合是关键．（1）先将点分别代入直线和直线，求出的值，再代入即可；（2）先求出直线和直线与轴和轴的交点，在根据三角形面积公式求解即可；（3）依据题意得，不等式组的解集是直线在直线的下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，从而结合函数图象即可得解．【详解】（1）解：∵直线和直线相交于点，∴将代入直线中，得，即，将代入直线中，得，即，∴直线为，直线．（2）解：连接，∵直线与轴和轴相交于点和点，∴当时，解得，即点，，当时，得，解得，即点，，∵直线与轴相交于点，∴当时，得，解得，即点，，∴，∴．（3）解：法一：依据题意得，不等式组的解集是直线在直线下方，且都在轴下方部分对应的自变量的取值范围，∵，∴结合函数图象可得，．法二：∵，∴，得，由①得，，，，由②得，，，综上，．12．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点．(1)求点、的坐标以及直线的解析式；(2)直接写出方程组的解；(3)连接，求的面积．【答案】(1)，，直线的解析式为；(2)；(3)【分析】本题考查了一次函数综合应用，待定系数法，三角形面积，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．（1）由直线：得，当时，，则有点；将点代入直线：即可求出的值，进而得到点M的坐标；再利用待定系数法即可求出直线的解析式；（2）由（1）直线与直线交于点，即可解答；（3）根据直线的解析式为，即可求出，由（1）知，再结合，得到，根据三角形的面积公式即可求解．【详解】（1）解：由直线：得，当时，解得，∴，将点代入直线：中，得，即，∴，把代入直线，得，解得，∴直线的解析式为；（2）解：由（1）直线与直线交于点，∴方程组的解为；（3）解：如图，连接，∵直线的解析式为，将代入，得，∴，由（1）知，∵，∴，∴．13．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“亮点”，例如求的“亮点”，联立，得方程组，解得，则的“亮点”为．(1)由定义可知，一次函数的“亮点”为______(2)一次函数的“亮点”为，求p，q的值；(3)已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上没有“亮点”．P为x轴上一点，若，求点P的坐标．【答案】(1)(2)，(3)或．【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练地利用数形结合的方法解题是关键．（1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可；（2）将“亮点”为，代入求得q，进而把点的坐标代入求得p即可；（3）根据题意可得，进而设，根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“亮点”为一次函数解析式与正比例函数的交点，联立，解得，一次函数的“亮点”为；故答案为：；（2）解：根据定义可得，点在上，，解得，∵点又在上，，∴，（3）解：∵直线上没有“亮点”，∴直线与平行，∴，∴，令，则，令，则，，，设，∵，，∴，，即或，解得或，∴或．14．（25-26八年级上·吉林·期末）学习函数时，我们经历了“确定函数解析式、画出函数图象、利用函数图象研究函数性质、利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题．(1)列表：与的部分对应值如表：则______，______．…0123……01…(2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象；(3)结合图象，写出一条函数的性质：______．(4)根据函数图象填空：①方程有______个解；②若关于的方程无解，则的取值范围是______．③若关于的方程有两个不相等的实数解，直接写出实数的取值范围．【答案】(1)，(2)见解析(3)函数的图象关于轴对称．（答案不唯一）(4)①2；②；③【分析】本题考查函数的图象和性质，解决本题的关键是读懂函数图象，掌握一次函数的图象性质．（1）将、代入函数解析式即可求解．（2）根据表格描点连线即可．（3）观察函数图象，从对称性等方面得出性质．（4）①根据图象确定方程解的个数；②观察图象得出结论；③根据函数图象分情况作答即可；【详解】（1）解：将、代入函数解析式，当时，；当时，；故，．故答案为：，；（2）解：根据表格描点、连线，如