23.3 一次函数与方程(组)、不等式 教学设计

2/223.3一次函数与方程(组)、不等式教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是在学习了一次函数的基础上，讨论一次函数与方程（组）、不等式的关系，用函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组）．从而建立它们之间的联系。2.

内容分析本节课在学生掌握一次函数概念、图象与性质的基础上，从函数视角重新认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组），建立代数与几何的内在联系，是数形结合思想的典型应用课，起到整合知识、升华方法、衔接后续函数综合应用的重要作用。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解一次函数与方程（组）、不等式的联系。二、目标和目标解析1.

目标（1）会根据一次函数的图象解释一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程（组）的关系，增强几何直观。（2）经历用函数图象表示方程、不等式解(集)的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想。2.

目标解析（1）学生能借助一次函数图象，准确说出直线与x轴交点对应方程的解、直线在x轴上方或下方对应不等式的解集、两直线交点对应方程组的解，能用图形直观解释代数结果，发展几何直观素养。（2）学生经历“作图—观察—归纳—应用”的过程，能用图象表示方程（组）的解、不等式的解集，能用数量关系解释图象特征，牢固体会数形结合思想。三、教学问题诊断分析存在问题：1.

学生习惯用代数方法解方程（组）、不等式，难以主动建立与函数图象的联系，数形转化意识薄弱。2.

对“交点横坐标、图象位置、解集范围”的对应关系理解模糊，易混淆方程（组）的解和不等式的解集的几何意义。应对策略：从具体实例入手，用图象直观演示对应关系，降低抽象理解难度。用表格、关键词对比梳理三者联系，强化规范表达与识图训练，及时纠错巩固。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解一次函数与方程（组）、不等式的联系。四、教学过程设计（一）情境引入引言方程(组)、不等式与函数之间有着密切的联系，从函数的角度认识方程(组)和不等式，能更好地建立它们之间的联系，从而更好地解决相关问题.设计意图：唤醒旧知，点明方程（组）、不等式与函数的内在联系，明确本节课学习方向，自然引出用函数观点统一认识代数问题的主题。（二）合作探究先来研究一次函数与一元一次方程的关系.思考如图，一次函数y=2x−1的图象与x轴交点的横坐标是0.5.当自变量x的值为0.5时，函数值是多少?由此可以得出一元一次方程2x−1=0的解吗?一次函数y=2x−1的图象与x轴交点的横坐标为0.5，纵坐标为0.这表明当自变量x的值为0.5时，函数值为0.由此可以得出一元一次方程2x−1=0的解是x=0.5.因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，求它与x轴的交点的横坐标.信息技术辅助归纳总结一次函数与一元一次方程的关系：再来研究一次函数与一元一次不等式的关系.思考如图，利用一次函数y=2x−1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式2x−1>0与2x−1<0的解集吗？如图，当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是x>0.5；当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是x<0.5.由此得出不等式2x−1>0的解集是x>0.5，2x−1<0的解集是x<0.5.对于可化为ax+b>0或ax+b<0（a≠0）的一元一次不等式，在求它的解集时，从函数值考虑，相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时，求自变量x的取值范围；从函数的图象考虑，相当于已知直线y=ax+b，确定这条直线上的点的纵坐标大于0或小于0时横坐标的取值范围.归纳总结一次函数与一元一次不等式的关系：最后研究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系.先来看一个具体例子.我们知道，方程2x−y=1可以转化为y=2x−1，它们有相同的解.y=2x−1对应一次函数y=2x−1，它的图象是一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是方程2x−y=1的解，以方程2x−y=1的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上.由于每个含未知数x和y的二元一次方程都可以转化为y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个一次函数，于是也对应一条直线.这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的解，以这个二元一次方程的解(x，y)为坐标的点都在这条直线上.思考对于二元一次方程组2x-y=13x+5y=8方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x−1与y=−35x+85，解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标.因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=2x−1与y=−35x+85的图象.这两条直线的交点坐标为(1，1)，由此得出方程组一般地，由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的解：（1）气球上升时间x满足0≤x≤60.对于1号气球，y关于x的函数解析式为y=x+5.对于2号气球，y关于x的函数解析式为y=0.5x+15.（2）两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于x的某个值(0≤x≤60)，函数y=x+5和y=0.5x+15有相同的值y.由此可以列二元一次方程组y=x+5y=0.5x+15解这个方程组，得x=20y=25这就是说，当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.也可以画一次函数的图象解答此问题.如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y=x+5与y=0.5x+15的图象.这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升20s时，两个气球都距离地面25m.设计意图：紧扣核心考点，通过典型例题巩固三者对应关系，规范解题思路，提升学生识图、用图、转化的能力，强化知识应用。（四）巩固练习1.画出一次函数y=−2x+8的图象，利用图象解方程−2x+8=0及不等式−2x+8>0与−2x+8<0.解：由图象可知，方程−2x+8=0的解是x=4，不等式−2x+8>0的解集是x<4，不等式−2x+8<0的解集是x>4.2.一次函数y=2x−3与y=ax+2的图象的交点坐标为(2，1)，请确定方程y=2x-3y=ax+2的解和a的值解：方程组的解为x=2y=1∴1=2a+2，解得：a=-13.刘伟一家计划星期日租用新能源汽车自驾出游.在甲公司租车，需收取固定租金80元，在此基础上再按14元/h计费；在乙公司租车，无固定租金，按30元/h计费.当他家租车多长时间时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同?解：设租用甲公司汽车的费用为y1元，租用乙公司汽车的费用为y2元，租车时间为xh，由题意得：y1=14x+80，y2=30x.方法1：当y1=y2时，14x+80=30x，解得：x=5.答：租车5h时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同.方法2：如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数y1=14x+80与y2=30x的图象.这两条直线的交点坐标为(5，150)，这说明租车5h时，租用甲、乙两个公司汽车的费用相同.设计意图：分层训练，兼顾基础作图求解与实际应用，让学生在练习中深化理解、熟练方法。归纳总结

（六）感受中考

1．（2024年江苏扬州）如图，已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若OA=2，OB=1，则关于x的方程kx+b=0的解为__x=-2__．2．（2024年湖南长沙）对于一次函数y=2x-1，下列结论正确的是（

A

）A．它的图象与y轴交于点0,-1 B．y随x的增大而减小C．当x>12时，y<03．（2024年广东）已知不等式kx+b<0的解集是x<2，则一次函数y=kx+b的图象大致是（

B

）A．B．C．D．4．（2025年宁夏）如图，直线l1:y=k1x+b1与直线l5．（2023年宁夏）在同一平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b(a≠0)与y2=mx+n(m≠0)的图象如图