23.4 实际问题与一次函数（第1课时）教学设计

2/223.4实际问题与一次函数（第1课时）教学设计一、内容和内容解析1.

内容本节课是在学习了一次函数的有关知识后，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，学习建立一次函数模型解决问题的方法。2.

内容分析一次函数是刻画现实世界变量间线性关系的核心数学模型，本节课是一次函数从理论到应用的关键过渡，通过分段计费、温度变化等生活实例，让学生掌握实际问题→抽象函数模型→求解→回归实际的完整流程，重点突破分段一次函数的建模与应用，为后续函数综合应用奠定基础。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：建立一次函数模型解决问题。二、目标和目标解析1.

目标（1）能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。（2）经历建立一次函数模型解决问题的过程，培养模型观念和应用意识。2.

目标解析（1）学生能精准提取实际问题中的自变量、函数，依据条件划分取值范围，正确列出分段一次函数解析式；能利用解析式代入计算、结合图象与性质，解决求函数值、求自变量等实际问题。（2）学生完整经历模型构建全过程，理解一次函数模型的实用价值，形成用函数思想分析、解决生活问题的模型观念与应用意识。三、教学问题诊断分析存在问题：1.

学生难以从实际情境中找准分界点，不会按自变量的取值范围分类讨论，无法建立正确的函数关系。2.

学生对分段函数的解析式书写不规范，常遗漏自变量的取值范围，数形结合分析图象的能力不足。应对策略：用“圈关键词、找分界点、分区间”三步法，引导学生梳理数量关系，明确分段依据。强化分段函数“解析式+取值范围”的书写规范，结合画图过程同步讲解，提升数形结合能力。基于以上分析，确定本节课的教学难点为：建立一次函数模型解决问题。四、教学过程设计（一）情境引入引言在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画，在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.设计意图：以生活实例引出一次函数的应用价值，清晰呈现实际问题转化为函数问题的基本思路，帮助学生建立本节课的学习框架，激发探究兴趣。（二）合作探究例某玉米种子的价格为40元/kg.若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折.（1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象；（2）一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？分析：付款金额与种子价格有关.而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关，因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x>2讨论.解：(1)设购买量为xkg，付款金额为y元.当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x；当x>2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的(x−2)kg(即超过2kg部分)按24元/kg(即六折)计价，函数解析式为y=40×2+24(x−2)=24x+32.函数解析式也可以合起来表示为y=40函数图象如图所示.(2)因为4>2，所以y=24×4+32=128.因此，一次购买4kg种子，需付款128元.设计意图：以分段计价问题为载体，让学生亲历分段函数的构建过程，掌握分类讨论列解析式、画图、计算的方法，突破本节课核心知识点。（三）典例分析例1一个实验室在0:00—2:00保持20℃的恒温，在2:00—4:00匀速升温，每小时升高5℃.写出实验室温度T（单位：℃）关于时间t（单位：h）的函数解析式，并画出函数图象.解：(1)当0≤t≤2时，函数解析式为T=20；当2<t≤4时，函数解析式为T=20+5(t−2)=5t+10.∴函数解析式为T=20函数图象如图所示.例2某市出租车的收费方式为：路程不超过3km时收费9元，超过3km部分每千米收费2元.记乘客乘坐出租车的路程为x（x>3）km，乘车费为y元.（1）求y关于x的函数解析式；（2）若有一位乘客付了23元乘车费，则他的乘车路程是多少?解：(1)当x>3时，函数解析式为y=9+2(x-3)=2x+3，∴y=2x+3(x>3).(2)当y=23时，2x+3=23，解得：x=10.答：他的乘车路程是10km.设计意图：通过温度变化、出租车计费两类典型问题，巩固分段一次函数的建模方法，规范解题步骤，提升学生迁移应用能力。（四）巩固练习1．某市出租车收费标准：起步价10元（3km内），超过3公里后每公里加收2元．小明乘坐出租车行驶了x公里x≥3，费用为y元，则y与x的函数关系式为（

A

A．y=2x+4 B．y=2x+102．超市某种散装糖果的价格为10元/kg，如果一次购买4kg以上的糖果，超过4kg部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为xkg，付款金额为y元，则y与x的函数关系图象大致是（

C

A．B．C．D．3．为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过16m3时，使用费为每立方米1.3元；超过16m3时，超过部分的使用费为每立方米2.0元；污水处理费为每立方米1.2元．设一户每月用水量为xm3，应缴水费y元，则y与4．某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1600元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如表：外卖送单数量补贴（元/单）每月不超过500单5超过500单的部分8(1)设某外卖小哥4月份送餐x单（x>500），所得工资y元，请写出y与x(2)若某外卖小哥5月份送了800单，求外卖小哥5月份工资总额多少元？解：（1）y=1600+500×5+8即函数关系式为y=8x+100（2）当x=800时，y=8×800+100=6500答：外卖小哥5月份工资总额为6500元．5．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取，居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题．(1)若用水不超过10吨，水费为__2.5_元/吨；(2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式；(3)若某户居民8月共交水费85元，求该户居民8月共用水多少吨？解：（2）设当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y=∵点10,25，15,45在该函数图象上，∴10k解得k=4∴当用水超过10吨时，该函数图象对应的一次函数的表达式为y=4（3）∵85>25，∴该户居民用水量超过10吨，将y=85代入y得4x解得x=25答：该户居民8月共用水25吨．设计意图：分层设置基础题、中档题、综合题，覆盖分段计价、工资计算、水费问题等常见题型，及时检测学习效果。归纳总结

（六）感受中考1．（2024年黑龙江哈尔滨）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始5min内只进水不出水，在随后的10min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，当x=9时，y的值为（

B

A．36 B．38 C．40 D．422．（2023年贵州）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（km）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（

D

）A．小星家离黄果树景点的路程为50km B．小星从家出发第1小时的平均速度为75km/hC．小星从家出发2小时离景点的路程为125km D．小星从家到黄果树景点的时间共用了3h3．（2025年四川甘孜州）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升．(1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段y与x之间的函数关系式；(2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长．解：（1）当0≤x≤3时，设y与x的函数关系式为把3,9代入y=kx中得9=3k，∴当0≤x≤3时，y与x的函数关系式为当3<x≤11时，设y与x的函数关系式为把3,9和11,1代入y=ax+b中得3∴当3<x≤11时，y与x的函数关系式为综上，血液中药物浓度上升阶段y与x