小学数学第八章　§8.5　8.5.1　直线与直线平行

§8.5空间直线、平面的平行8.5.1直线与直线平行学习目标1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系.2.能用基本事实4和等角定理解决一些简单的相关问题.一、基本事实4问题1取一块长方形纸板ABCD，E，F分别为AB，CD的中点，将纸板沿EF折起，在AD与BC未重合前，空间中直线AD与BC的位置关系如何？知识梳理基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线

图形语言符号语言直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒

作用证明两条直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的

例1如图所示，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点.求证：四边形B1EDF是平行四边形.延伸探究1将例题中的长方体变为正方体，其他条件不变，证明：四边形B1EDF是菱形.延伸探究2在延伸探究1中的正方体中，若M，N分别为CD，AD的中点，如图所示，求证：四边形MNA1C1是梯形.反思感悟证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明.(2)找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得a∥b.二、空间等角定理问题2在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立呢？知识梳理1.定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角符号语言OA∥O'A'，OB∥O'B'⇒∠AOB=∠A'O'B'或∠AOB+∠A'O'B'=180°图形语言作用判断或证明两个角相等或互补2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的相等.例2在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，证明：(1)∠BGC=∠FD1E；(2)△BGC与△FD1E全等.跟踪训练(1)如图所示，△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA'，BB'，CC'交于同一点O，且OAOA'=OBOB'=OCOC'=(2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点，求证：△EFG∽△C1DA1.1.知识清单：(1)基本事实4的应用.(2)等角定理的应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：用等角定理时，角有可能相等或互补.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BC1与AD1的位置关系是()A.相交 B.平行C.异面 D.垂直2.若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形()A.全等 B.相似C.仅有一个角相等 D.无法判断3.已知三条不同的直线l，m，n，且l∥m，则“m∥n”是“l∥n”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β=.

答案精析问题1平行.知识梳理平行a∥c传递性例1证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1，如图.∵E是AA1的中点，Q是DD1的中点，∴EQ綉A1D1.又∵在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B1C1，∴EQ綉B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E綉C1Q.又Q，F分别是DD1，CC1的中点，∴QD綉C1F.∴四边形C1QDF为平行四边形.∴C1Q綉DF.∴B1E綉DF.∴四边形B1EDF为平行四边形.延伸探究1证明由例题的证明可得，四边形B1EDF为平行四边形，由△B1A1E≌△B1C1F，可得B1E=B1F，∴四边形B1EDF是菱形.延伸探究2证明如图所示，连接AC，由正方体的性质可知AA1=CC1，AA1∥CC1，∴四边形AA1C1C为平行四边形，∴A1C1=AC，A1C1∥AC，又∵M，N分别是CD，AD的中点，∴MN∥AC，且MN=12AC∴MN∥A1C1，且MN=12A1C1∴四边形MNA1C1是梯形.问题2成立.当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图(1)，(2)所示的两种位置.对于图(1)，我们可以构造两个全等三角形，使∠BAC和∠B'A'C'是它们的对应角，从而证明∠BAC=∠B'A'C'.如图(3)，分别在∠BAC和∠B'A'C'的两边上截取AD，AE和A'D'，A'E'，使得AD=A'D'，AE=A'E'，连接AA'，DD'，EE'，DE，D'E'.∵AD綉A'D'，∴四边形ADD'A'是平行四边形，∴AA'綉DD'.同理可证AA'綉EE'，∴DD'綉EE'，∴四边形DD'E'E是平行四边形，∴DE=D'E'.∴△ADE≌△A'D'E'，∴∠BAC=∠B'A'C'.对于图(2)，同理可证.知识梳理1.相等或互补2.锐角(或直角)例2证明(1)因为F为BB1的中点，所以BF=12BB1因为G为DD1的中点，所以D1G=12DD1又BB1∥DD1，BB1=DD1，所以BF∥D1G，BF=D1G，所以四边形D1GBF为平行四边形.所以D1F∥GB，同理D1E∥GC，所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，所以∠BGC=∠FD1E.(2)根据(1)可知，四边形D1GBF为平行四边形，所以D1F=GB，同理D1E=GC，又∠BGC=∠FD1E，所以△BGC与△FD1E全等.跟踪训练(1)4(2)证明如图所示，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以FG∥B1C.又ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以CD綉AB，A1B1綉AB，由基本事实4知CD綉A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D綉B1C.又B1C∥FG，由基本事实4知A1D∥FG