小学数学第八章　§8.5　8.5.2　直线与平面平行

8.5.2直线与平面平行学习目标1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面的平行关系，掌握直线与平面平行的判定定理以及直线与平面平行的性质定理.2.能利用直线与平面平行的判定定理和性质定理解决问题.一、直线与平面平行的判定定理问题1在前面学习直线与平面的位置关系时，我们是如何定义直线与平面平行的呢？问题2如图，门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？问题3如图，将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线(AB离开桌面)与桌面所在的平面有什么样的位置关系？通过上面的3个问题，试着总结一下，如何判定直线与平面平行呢？知识梳理直线与平面平行的判定定理文字语言如果一条直线与此的一条直线平行，那么该直线与此平面平行

符号语言⇒a∥α

图形语言简记线线平行，则线面平行例1已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与平面α的关系为()A.平行B.相交C.直线b在平面α内D.平行或直线b在平面α内反思感悟判断直线与平面是否平行的注意点(1)平行问题是以无公共点为主要特征的，直线与平面平行即直线与平面没有公共点，紧紧抓住这一点，平行的问题就可以顺利解决.(2)熟练掌握直线与平面的位置关系和正确理解直线与平面平行的判定定理是解决此类题目的关键，可以采用直接法，也可以使用排除法.跟踪训练1(多选)下列说法正确的是()A.若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥αB.若直线a在平面α外，则a∥αC.若直线a与平面α内的任意一条直线都不相交，则a∥αD.若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线二、直线与平面平行的判定定理的应用例2如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.反思感悟证明线面平行的方法：利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键在于在平面内找到该直线的平行线，即要证直线a与平面α平行，必须先在平面α内找到直线b，并证明直线a与b平行，从而实现由立体向平面转化.在寻找平行线时，常考虑平行四边形、中位线定理或平行线分线段成比例定理的逆定理等.跟踪训练2如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是A1C1，BC的中点.求证：C1F∥平面ABE.三、直线与平面平行的性质定理及应用直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与平行

符号语言a∥α，⇒a∥b

图形语言简记线面平行，则线线平行例3如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.反思感悟利用直线与平面平行的性质定理解题的步骤跟踪训练3如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，点M在棱PD上.(1)求证：CD∥平面PAB；(2)若PB∥平面MAC，探索平面MAC的哪条线与PB平行，作出此线，并求PMMD的值1.知识清单：(1)直线与平面平行的判定定理及应用.(2)直线与平面平行的性质定理及应用.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：证明线面平行时漏写线在平面外(内)；利用线面平行时找不到交线.1.在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为侧棱PC，PD上一点(不含端点)，则“CD∥EF”是“CD∥平面BEF”的()A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件2.(多选)如图，点A，B，C，M，N是正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中满足MN∥平面ABC的是()3.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB=4，CD=6，则MN=.

4.如图1，已知在正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，将△ADE沿DE折起，如图2所示，则BF与平面ADE的位置关系是.

答案精析问题1直线与平面没有公共点.问题2无论门扇转到什么位置，因为转动的一边与固定的一边总是平行的，所以它与墙面没有公共点，且与墙面是平行的.问题3AB平行于桌面所在平面.由问题1可以看出，当直线与平面没有公共点时，可以得出线面平行；由问题2，3可知，在转动门和翻书的过程中，门和书的边缘始终与墙面和桌面中门和书的另一边缘保持平行，从而确保了线面平行.由此，我们可以归纳出：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.知识梳理平面外平面内a⊄α，b⊂α，且a∥b例1D跟踪训练1CD例2证明方法一(平行四边形)如图，取PD的中点G，连接GA，GN.∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，GN=12∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，∴AM=12DC，AM∥DC∴AM∥GN，AM=GN，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.方法二(中位线)如图，连接CM并延长，交DA的延长线于点Q，连接PQ，∵在底面ABCD中，M为AB的中点，AB∥CD，∴AM∥DC且AM=12DC∴在△QCD中，AM为△QCD的中位线，∴M为QC的中点.又∵在△PQC中，N为PC的中点，∴MN∥PQ，又∵MN⊄平面PAD，PQ⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.跟踪训练2证明取AB的中点G，连接EG，FG，因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点，所以FG∥AC，且FG=12ACEC1=12A1C1因为AC∥A1C1，且AC=A1C1，所以FG∥EC1，且FG=EC1，所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.又因为EG⊂平面ABE，C1F⊄平面ABE，所以C1F∥平面ABE.知识梳理平行交线a⊂β，α∩β=b例3证明如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点.又M是PC的中点，∴AP∥OM.又AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM=GH，∴AP∥GH.跟踪训练3(1)证明因为CD∥AB，CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB.(2)解