小学数学第八章　§8.5　8.5.3　平面与平面平行

8.5.3平面与平面平行学习目标1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的平行关系，理解并掌握平面与平面平行的判定定理.2.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.一、平面与平面平行的判定定理问题1如图(1)，a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片和桌面平行吗？如图(2)，c和d分别是三角尺相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角尺和桌面平行吗？该如何判定平面与平面平行呢？知识梳理平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的与另一个平面平行，那么这两个平面平行

符号语言a⊂β,图形语言简记线面平行，则面面平行例1(1)已知m，n是两条直线，α，β是两个平面，有以下三个命题：①m，n相交且都在平面α，β外，m∥α，m∥β，n∥α，n∥β，则α∥β；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.其中正确命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点.求证：①E，F，D，B四点共面；②平面MAN∥平面EFDB.反思感悟平面与平面平行的判定方法①定义法：两个平面没有公共点.②判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.③利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.④借助面面平行判定定理的推论，转化为线线平行的证明.跟踪训练1如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，求证：平面PAB∥平面EFG.二、平面与平面平行的性质定理问题2若两平面α与β平行，那么平面α内的直线a与平面β有何位置关系？平面α内的直线a与平面β内的任一直线b有何位置关系？何时a与b平行？问题3通过问题2，请归纳出从面面平行推出线线平行的结论，并进行证明.知识梳理两个平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线

符号语言α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒

图形语言简记面面平行，则线线平行例2如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点.求证：MN∥α.反思感悟应用平面与平面平行性质定理的基本步骤跟踪训练2如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.三、平行关系的综合应用例3如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点.(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；(2)若平面A1C1G∩BC=H，求证：H为BC的中点.跟踪训练3已知平面α∥β，P是α，β外一点，过P点的两条直线PA，PB分别交α于点A，B，交β于点C，D，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD的长为.

1.知识清单：(1)平面与平面平行的判定定理.(2)平面与平面平行的性质定理.(3)平行关系的综合应用.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：平面与平面平行的条件不充分.1.已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是()A.α∩β=a，b⊂α⇒a∥bB.a∥α，a∥β⇒α∥βC.a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD.α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b⇒a∥b2.已知平面α，β和直线m，n，m⊂α，n⊂α，则“m∥β，n∥β”是“α∥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A.平行 B.相交C.异面 D.不确定4.如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于点A'，B'，C'，若PA'∶AA'=2∶3，则S△A'B答案精析问题1三角尺和桌面一定平行，硬纸片不一定平行.即如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.知识梳理两条相交直线b⊂βa∩b=Pa∥α例1(1)B(2)证明①如图，连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，D，B四点共面.②易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.连接MF，∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF=A1D1，又A1D1∥AD，A1D1=AD，∴MF∥AD，MF=AD，∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.∵AM∩MN=M，AM，MN⊂平面MAN，∴平面MAN∥平面EFDB.跟踪训练1证明∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG=E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG.问题2直线a与平面β平行.直线a与平面β内的任一直线b平行或异面.当a与b不异面，即在同一个平面内时，a与b平行.问题3归纳结论：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.证明如图，平面α∥β，平面γ分别与平面α，β相交于直线a，b.∵α∩γ=a，β∩γ=b，∴a⊂α，b⊂β.又α∥β，∴a，b没有公共点.又a，b同在平面γ内，∴a∥b.知识梳理平行a∥b例2证明若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC.∵α∥β，∴AC∥BD.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴MN∥BD.又BD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α.若AB，CD不在同一平面内，如图，过点A作AE∥CD交α于点E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC.∵α∥β，∴ED∥AC.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥ED，又PN⊄α，ED⊂α，∴PN∥α，同理可得MP∥α，又MP∩PN=P，MP，PN⊂平面MPN，∴平面MPN∥α，又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.跟踪训练2证明因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以DE∥平面ABC，同理DF∥平面ABC，且DE∩DF=D，DE，DF⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面ABC.又平面PCM∩平面DEF=NF，平面PCM∩平面ABC=CM，所以NF∥CM.例3证明(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F=BG，A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G.∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G.又EF∩BF=F，EF，BF⊂平面BEF，∴平面A1C1G∥