小学数学第八章　§8.6　8.6.1　直线与直线垂直

§8.6空间直线、平面的垂直8.6.1直线与直线垂直学习目标1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.2.理解并掌握异面直线所成的角.3.会找异面直线所成的角.一、异面直线所成的角问题平面内两条直线所成的角指的是什么？两条直线所成的角的范围是多少？知识梳理异面直线所成的角定义前提两条异面直线a，b作法经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b结论我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)范围记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°例1如图，在正方体ABCD-EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角的大小；(2)FO与BD所成的角的大小.反思感悟求两条异面直线所成的角的三个步骤(1)作：根据异面直线所成的角的定义，用平移法作出异面直线所成的角.(2)证：证明作出的角就是要求的角.(3)求：求角的值，常利用解三角形得出.可用“一作二证三求”来概括.同时注意异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.跟踪训练1在空间四边形ABCD中，AD=2，BC=23，E，F分别是AB，CD的中点，EF=7，求异面直线AD与BC所成的角的大小.二、直线与直线垂直如果两条异面直线所成的角是，那么我们就说这两条异面直线.直线a与直线b垂直，记作.

例2如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，E为棱AC的中点，AB=BB'=2.求证：BE⊥AC'.跟踪训练2如图，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=12AA1，点P，M分别是AA1，CC1的中点，求证：B1M⊥D1P三、异面直线所成的角的综合问题例3(1)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是AB的中点，则DB1与CM所成角的余弦值为.

(2)如图，在圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为24，则圆柱的高为.反思感悟解决异面直线所成的角的综合问题的策略(1)当不方便作异面直线所成的角时，可以考虑补形，一是补一个相同形状的几何体，以方便作平行直线；二是将不常见的几何体补成一个常见的几何体，如四棱锥补成一个正方体.(2)当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先通过平移直线找到该角或该角的补角，有时可能需要分情况讨论.跟踪训练3如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别为棱A1D1，C1D1的中点，过M，N，B三点的截面与平面BCC1B1的交线为l，则直线l与AD所成角的余弦值为.

1.知识清单：(1)异面直线所成的角.(2)利用异面直线所成的角证明两直线垂直.(3)异面直线所成角的综合问题.2.方法归纳：转化与化归.3.常见误区：容易忽视异面直线所成的角θ的范围是0°<θ≤90°.1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A.一定平行 B.一定垂直C.一定是异面直线 D.一定相交2.垂直于同一条直线的两条直线()A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能3.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有()A.1条 B.2条C.3条 D.4条4.如图，在三棱锥V-ABC中，AB是圆O的直径，点C是弧AB的中点，D，E分别是VB，VC的中点，则异面直线DE与AB所成角的大小为.

答案精析问题平面内两条直线相交形成了四个角，其中不大于90°的角称为两条直线所成的角(或夹角).两条直线所成的角的范围是0，例1解(1)∵CG∥FB，∴∠EBF是异面直线BE与CG所成的角.在Rt△EFB中，EF=FB，∴∠EBF=45°，∴BE与CG所成的角为45°.(2)如图，连接FH，∵FB∥AE，FB=AE，AE∥HD，AE=HD，∴FB=HD，FB∥HD，∴四边形FBDH是平行四边形，∴BD∥FH，∴∠HFO(或其补角)是异面直线FO与BD所成的角，连接HA，AF，则△AFH是等边三角形，又O是AH的中点，∴∠HFO=30°，∴FO与BD所成的角为30°.跟踪训练1解如图所示，设BD的中点为O，连接EO，FO，则EO∥AD，FO∥BC.所以∠EOF(或其补角)是异面直线AD与BC所成的角.又EO=12AD=1，FO=12BC=EF=7，在△EOF中，由余弦定理的推论，得cos∠EOF=E=1+3-723=-所以∠EOF=5π6.又异面直线所成的角的范围是0，π2，所以异面直线AD与知识梳理直角互相垂直a⊥b例2证明如图，取CC'的中点F，连接EF，BF，∵E为AC的中点，F为CC'的中点，∴EF∥AC'，∴BE和EF所成的角为∠BEF(或其补角)，即为异面直线BE与AC'所成的角，且EF=12在正三棱柱ABC-A'B'C'中，AC'=22，∴EF=2.在等边三角形ABC中，BE=22-1在Rt△BCF中，BF=22+1在△BEF中，BE2+EF2=BF2，∴BE⊥EF，即BE⊥AC'.跟踪训练2证明如图，取DD1的中点N，连接MN，A1N，PN，由题意可知，A1B1綉D1C1，D1C1綉MN，∴A1B1綉MN，∴四边形A1B1MN为平行四边形，∴B1M∥A1N，∴直线A1N与D1P所成的角即为异面直线B1M与D1P所成的角.在长方