小学数学第八章　§8.6　培优课　与球有关的截面及内切、外接问题

培优课与球有关的截面及内切、外接问题学习目标1.掌握球的截面问题的相关计算.2.掌握简单几何体的外接球问题的求解方法.3.会求特殊几何体的内切球的相关问题.一、球的截面问题例1一平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为()A.6π B.43πC.46π D.63π反思感悟球的截面的性质用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足关系d=R2跟踪训练1如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当水面恰好接触球面时测得水深为6cm，若不计容器厚度，则球的体积为()A.500π3cm3 B.866π3C.1372π3cm3 D.2048π3二、几何体的外接球一个几何体的所有顶点都在同一个球面上，则称之为该几何体的外接球.空间中如果一个定点与一个多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该多面体的外接球的球心，该定点到各顶点的距离为外接球的半径.角度1直接法求几何体的外接球例2(1)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为()A.3πa3 B.6πa3C.23πa3 D.26πa3(2)棱长为a的正四面体ABCD，其顶点都在一个球面上，求球的体积.(用直接法解答)反思感悟(1)直接法求解几何体的外接球问题，需要找到合适的截面，才能将空间几何问题转化为平面几何问题求解.如果几何体是多面体，球心以及侧棱所确定的平面是截面的首选；如果几何体是旋转体，经常选择轴截面作为截面.找到截面后，利用球心到球面上两点的距离相等来确定球心位置与半径大小，(2)常见几何体的外接球的有关结论①长方体的体对角线是其外接球的直径，即若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r=12②若正方体的棱长为a，则其外接球半径为32a③若正四面体的棱长为a，则它的外接球半径为R=64a④正棱锥的外接球球心在顶点到底面的垂线上.⑤直棱柱的外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点.跟踪训练2(1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.πa2 B.73πaC.113πa2 D.5πa(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积与此球体积的比值为.

角度2补形法求几何体的外接球例3(1)已知三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为()A.7143C.56π D.14π(2)棱长为a的正四面体ABCD，其顶点都在一个球面上，求球的体积.(用补形法解答)反思感悟当几何体中存在侧棱与底面垂直或对棱相等等条件时，我们可以把几何体补形为长方体或正方体等特殊几何体，求解其外接球的半径，具体如下：(1)侧面为直角三角形的三棱锥或正四面体，或对棱均相等的模型，可以放到正方体或长方体中去求解.①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示.②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示.③正四面体PABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=PA2，如图3所示④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示.(2)将一条棱垂直于底面的三棱锥补成直三棱柱求解.跟踪训练3三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别是22，32，62，则该三棱锥的外接球的体积是A.2π3C.6π D.86π三、几何体的内切球问题例4(1)一个三角形可分为以内切圆半径为高，以原三角形三条边为底的三个三角形.类比此方法，若一个三棱锥的体积V=2，表面积S=3，则该三棱锥内切球的表面积为()A.81π B.16πC.32π3 D.(2)如果一个圆锥的高是这个圆锥内切球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为()A.4∶3 B.3∶1C.3∶2 D.9∶4跟踪训练4(1)已知正方形ABCD的边长为2，E为边AB的中点，F为边BC的中点，将△AED，△DCF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合于点P，则三棱锥P-DEF的内切球的半径为.

(2)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积的比为()A.2∶1 B.4∶1C.8∶1 D.8∶31.知识清单：(1)球的截面问题.(2)与球有关的切、接问题.2.方法归纳：转化法、类比法、直接法、补形法、等积法.3.常见误区：解与外接球、内切球有关问题时，不会确定球心的位置.1.将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为()A.4π3 B.C.3π22.已知某正四面体的内切球的体积是1，则该正四面体的外接球的体积是()A.27 B.16C.9 D.33.球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为.

4.若圆台的上、下底面半径分别为r，R，则其内切球的表面积为.

答案精析例1B[如图，设截面圆的圆心为O'，M为截面圆上任一点，则OO'=2，O'M=1，∴OM=(2)2+1=∴球的体积V=43π×(3)3=43π.跟踪训练1A例2(1)B[作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为a2+(2a)2=5a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为则球的半径R=AC2=62所以球的体积V=43πR3=6πa3.(2)解如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE.∵正四面体的棱长为a，∴BE=32a×23=∴在Rt△ABE中，AE=a2-a设球心为O，半径为R，连接OB，则(AE-R)2+BE2=R2，∴R=64a，∴V球=43πR3=68π跟踪训练2(1)B(2)932或例3(1)B[以线段PA，PB，PC为相邻三条棱的长方体PAB'B-CA'P'C'被平面ABC所截得的三棱锥P-ABC符合要求，如图，长方体PAB'B-CA'P'C'与三棱锥P-ABC有相同的外接球，其外接球直径为长方体体对角线PP'，设外接球的半径为R，则(2R)2=PP'2=PA2+PB2+PC2=12+22+32=14，则所求球的表面积S=4πR2=π·(2R)2=14π.](2)解如图，将正四面体ABCD放入正方体中，∵正四面体的棱长为a，∴正方体的棱长为22a，体对角线长为62∴球的直径2R=62a∴R=64a，∴V球=43πR3=68π跟踪训练3C例4(1)B[由题意，三棱锥内切球球心与各顶点相连把此三棱锥分成以原三棱锥各面三角形为底面，高为内切球半径的4个小三棱锥，从而有V=13Sr⇒2=13·3·r⇒r所以该三棱锥内切球的表面积为4πr2=4π·22=16π.](2)C[画出轴