直线与直线平行课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章立体几何初步8.5.1直线与直线平行目标素养1.借助长方体,抽象出空间直线与直线平行的关系,了解基本事实4,能用基本事实4证明和寻求空间中的直线与直线平行,提升直观想象素养.2.理解等角定理,会用等角定理证明空间中两角之间的相等或互补关系,提升逻辑推理素养.3.通过对基本事实4和等角定理的学习与应用,提升直观想象和逻辑推理核心素养.知识概览课前·基础认知1.基本事实4基本事实4表述的性质通常叫做平行线的

传递性

.微思考

平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理?提示:平行四边形的对边平行,三角形的中位线平行于底边,梯形的中位线平行于两底边,平行线分线段成比例定理等.2.等角定理

微训练

已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR等于(

)A.30°

B.30°或150°C.150°

D.以上结论都不对答案:B课堂·重难突破一

基本事实4的应用典例剖析1.如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD边上的点,且

.求证:四边形GHFE是梯形.所以EF∥HG,且EF≠HG,所以四边形GHFE是梯形.规律总结证明两条直线平行的方法

(1)平行线的定义;

(2)三角形中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等;

(3)基本事实4.学以致用1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,BC的中点,E1,F1分别是A1D1,C1D1的中点.求证:EE1∥FF1.证明:如图,连接EF,E1F1,A1C1,AC.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1

CC1,所以四边形AA1C1C是平行四边形,所以ACA1C1.因为E,F分别是AB,BC的中点,所以EFE1F1,所以四边形EFF1E1是平行四边形,所以EE1∥FF1.二

等角定理的应用典例剖析2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别为AD和A1D1的中点.求证:(1)四边形BB1M1M为平行四边形;(2)∠BMC=∠B1M1C1.证明：(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵AD

A1D1,M,M1分别为AD,A1D1的中点,∴AM

A1M1,∴四边形AMM1A1为平行四边形,∴MM1

AA1.又AA1

BB1,∴MM1

BB1,∴四边形BB1M1M为平行四边形.(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,∴C1M1∥CM.又∠BMC与∠B1M1C1的两边方向相同,∴∠BMC=∠B1M1C1.规律总结

在立体几何中,常用等角定理来证明两个角相等或互补,在证明两个角的两边对应平行后,应注意借助图形说明两个角的两边方向相同或相反,进而得出结论.学以致用2.如图,不共面的三条直线a,b,c交于点O,在直线a上分别取点A和A1,直线b上分别取点B和B1,直线c上分别取点C和C1,且点A,A1,B,B1,C,C1在点O同侧,,求证:△ABC∽△A1B1C1.则在平面OAB和平面OAC中,有A1B1∥AB,A1C1∥AC,又∠BAC与∠B1A1C1的两边方向相同,∴∠BAC=∠B1A1C1.同理∠ABC=∠A1B1C1.∴△ABC∽△A1B1C1.随堂训练1.在三棱锥P-ABC中,PB⊥BC,E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,则∠DEF等于(

)A.30° B.45°

C.60° D.90°答案:D解析:如图,因为E,D,F分别是AB,PA,AC的中点,所以DE∥PB,EF∥BC,由∠DEF与∠PBC的两边方向相同,得∠DEF=∠PBC=90°.2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分别是AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中点,则下列结论正确的是(

)A.直线GH和MN平行,GH和EF相交B.直线GH和MN平行,MN和EF相交C.直线GH和MN相交,MN和EF异面D.直线GH和EF异面,MN和EF异面答案:B3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是正方形AA1D1D,正方形CC1D1D的中心,G,H分别是AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是(

)A.相交 B.异面

C.平行 D.不能确定答案:C解析:如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F分别为AD1,CD1的中点.由三角形中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.故选C.4.已知角α和角β的两边分别平行且一组边的方向相同,另一组边的方向相反.若α=45°,则β=

.

答案:135°5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是CD,AD的中点.求证:(1)四边形MNA1C1是梯形.(2)∠DNM=∠D1A1C1.证明:(1)如图,连接AC.因为M,N分别是CD,AD的中点,所以MN∥AC,MN=AC.又AC∥A1C1,AC=A1