（二模）2026年广州市普通高中高三毕业班综合测试（二）数学试卷（含答案详解）

★启用前注意保密 试卷类型：B2026年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数 学本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 2026.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x||x-1|＜2},则A∩B=A.{-1,0} B.{-2,-1,0} C.{-1,0,1} D.{0,1}2.已知a∈R,复数a-i1+i在复平面内对应的点在虚轴上，则aA.-2 B.-1 C.1 D. 3.已知非零向量a,b满足|a|=3|b|,且(a+b)⊥b,则cos〈a,b〉=A.-13B.13C.-223D.2234.已知tanθ=13A.2 B.12 C.-12 D.5.若函数y=f(x)的图象与y=log3x+a的图象关于直线y=x对称,且f(2)=18A.-9 B.-log32 C.log₃2 数学试卷B第1页(共4页)6.已知a＞b＞0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是A.e＜ea B.1a-b＜1b C.a+b＜7.已知F₁，F₂分别为双曲线C：x2a2－y2b2=1（a＞A.3 B.2 C.53 D.8.若函数fx=x3A.-2 B.-1 C.1 D.2二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.设事件A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则A.PAB=310B.PAB=210.已知函数fxA.2π是f(x)的一个周期 B.x=π2是f(C.f(x)的最大值为2512 D.f(x)在11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在线段A₁B₁A.存在点E,使得AE⊥B₁DB.存在点E,使得AE∥平面BD₁FC.当A1E=3EB1时，经过点A，C，E的平面将正方体D.当△AEF的面积为54时，三棱锥F-ABE的外接球表面积为数学试卷B第2页(共4页)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.2x313.某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为.14.已知圆C:x2+y2-4y+3=0,若直线l:kx-y+3k=0上至少存在一点P,使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+2csinB.(1)求tanB的值;(2)若a=5,△ABC的面积为2，求△16.(15分)已知函数f(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若x=a是函数f(x)的极值点,证明:f(a)＞0.17.(15分)如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,将△ACD沿AC翻折至△ACD',使得ED'FB=120(1)求三棱锥D'-ABC的体积;(2)求直线BD'与直线AC所成角的余弦值.数学试卷B第3页(共4页)18.(17分)已知椭圆C：x2a2－y2b2=1（a＞b＞(1)求C的方程:(2)已知点B03,过点P(4,0)的直线l交C于E,F两点(E,F在x轴的下方),直线BF交直线x=1(i)设直线ME的斜率为k₁，直线MF的斜率为k₂，判断k1(ii)证明:直线ME过定点.19.(17分)从1,2,3,…,n(n∈N*,n≥4)中任取3个不同的数,且这3个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有A，个，这A，个等差数列的所有项之和为S(1)写出A₄,A₅,S₄,S₅的值;(2)求An;(3)求Sn.数学试卷B第4页(共4页)2026年广州市普通高中毕业班综合测试(二)数学答案详解本试卷共4页，19小题，满分150分。考试用时120分钟。 2026.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔在答题卡的相应位置填涂考生号。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={-2,-1,0,1},B={x||x-1|＜2},则A∩B=A.{-1,0} B.{-2,-1,0} C.{-1,0,1} D.{0,1}【答案】D【解析】B={x∣-1故选D2.已知a∈R,复数a-i1+i在复平面内对应的点在虚轴上，则aA.-2 B.-1 C.1 D. 【答案】C【解析】a-i1+i=a-i3.已知非零向量a,b满足|a|=3|b|,且(a+b)⊥b,则cos〈a,b〉=A.-13B.13C.-22【答案】A【解析】a+b⋅b=0,即4.已知tanθ=13A.2 B.12 C.-12 D.【答案】A【解析】故选A5.若函数y=f(x)的图象与y=log3x+a的图象关于直线y=x对称,且f(2)=18A.-9 B.-log32 C.log₃2 【答案】B【解析】由f(2)=18知(18,2)在γ上即2=log36.已知a＞b＞0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是A.e＜ea B.1a-b＜1b C.a+【答案】B【解析】令a=3故选B7.已知F₁，F₂分别为双曲线C：x2a2－y2b2=1（a＞A.3 B.2 C.53 D.【答案】C【解析】因.AF1⊥AF2,O为中点，则∣OA∣=∣OF1∣=c,则A(a,b),设A在第一象限,∣AF1∣2=a+c2+b2故选C8.若函数fx=x3A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】B【解析】f'x=3x2+a,当a≥当a＜0时，令f'(x)=0得x=±不妨设f--a3=0,即则a+b2=a-4ah'a=1-4a29,令故h故选B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.设事件A=“第1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则A.PAB=310B.PAB=2【答案】AC【解析】对于.A:PAB=对于B:PAB对于CPB|A=P对于D:PB|A=PAB10.已知函数fxA.2π是f(x)的一个周期 B.x=π2是f(C.f(x)的最大值为2512 D.f(x)在0【答案】ACD【解析】对于A:fx+2π=cosx+2π+对于B:fπ-x=cosπ-x+12对于C：当x=2kπ时，coskx=1取最大，fxmax对于D:.f'x=-sinx-sin2x-sin3x-sin4x＜0,x∈0π故选ACD11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在线段A₁B₁A.存在点E,使得AE⊥B₁DB.存在点E,使得AE∥平面BD₁FC.当A1E=3EB1时，经过点A，C，E的平面将正方体D.当△AEF的面积为54时，三棱锥F-ABE的外接球表面积为【解析】设A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A₁(0,0,1)B对于A:AE=t01,B1D=-11-1,对于B：易求平面BD1F的法向量m=12-1,若AE‖平面BD1F,对于C：当A1E=3EB1时，t=31+3=3-32,平面ACE的方程为x-y-tz=0与B1C1交于G(对于D：S△AEF=54=12|AE→·AF→∣即145-8t+5t2故选BD三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。12.2x3【答案】-40【解析】组合原理知：C13.某人工智能博览会有4个不同的场馆A，B，C，D，甲、乙两人各自从中随机选择2个去参观，记这4个场馆中被参观的场馆个数为X，则X的数学期望为.【答案】3【解析】X的取值可能为2，3，4PX=2PX=4E14.已知圆C:x2+y2-4y+3=0,若直线l:kx-y+3k=0上至少存在一点P,使得圆C上恰有两个点与点P的距离都为【答案】-【解析】圆C:x2+y-22=1,则C(0,圆C恰有两点，与P的距离为2，即以P为圆心，2为半径的圆与圆C相交.则两圆距离1即d=|Ax即9得k四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=bcosC+2csinB.(1)求tanB的值;(2)若a=5,△ABC的面积为2，求△【解析】解：(1)由正弦定理，得：sinA=sinBcosC+2sinC⋅sinB且：sinA=sin所以cosB=2sinB,得tanB=(2)由tanB=12得，由S△ABC=12又余弦定理b2=a所以△ABC周长为216.(15分)已知函数f(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若x=a是函数f(x)的极值点,证明:f(a)＞0.【解析】解:(1)当(a=1时，ff切线l:y=1-e2x-1,分别令：x=得l与坐标轴交点为0e2-1和(1所以S=2若x=a为f(x)的极值点,则.x=af'a=1-2a-1e则x=a为f(x)唯一解,x∈(0,a),f'(x)＞0,f(x)单调递增x∈(a,+∞),f'(x)＜0,f(x)单单调递减，故x=a为f(x)极值点所以f(a)为f(x)最大值令ga=f故a≠1,所以f(a)＞f(1)=017.(15分)如图1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,DE⊥AC于E,BF⊥AC于F,将△ACD沿AC翻折至△ACD',使得ED'FB=120(1)求三棱锥D'-ABC的体积;(2)求直线BD'与直线AC所成角的余弦值.【解析】解:(1)过E作EP∥FB交AB于P,EP‖FB由BF⊥AC知EP⊥AC且EDEP=120∘,又D'E⊥AC且D'所以AC⊥面D'EP,过D'作D'H⟂所以AC⊥D'H,又AC∩EP=E,故D'H⊥面ABC即D'H为四棱锥D'-ABC的高由题知AB=2,BC=1,则AC=VD2平方得：BD'2BD18.(17分)已知椭圆C：x2a2－y2b2=1（a＞b＞(1)求C的方程:(2)已知点B03,过点P(4,0)的直线l交C于E,F两点(E,F在x轴的下方),直线BF交直线x=1(i)设直线ME的斜率为k₁，直线MF的斜率为k₂，判断k1(ii)证明:直线ME过定点.【解析】解：(1)第一步：根据离心率建立关系椭圆C:x2a2+y2b2=1a结合a2=b2a第二步：利用直线x=1截