小学数学第八章　8.6.2　第1课时　直线与平面垂直的判定定理

8.6.2直线与平面垂直第1课时直线与平面垂直的判定定理学习目标1.了解空间中直线与平面的垂直关系.2.归纳出直线与平面垂直的判定定理并会用定理判定线面垂直.3.会求直线与平面所成的角.一、直线与平面垂直的定义问题1如图，假设旗杆与地面的交点为点B，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面的影子BC，随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，则旗杆AB与影子BC的位置关系如何？问题2在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？问题3我们能说直线与平面α内的无数条直线垂直，则直线与平面α垂直吗？知识梳理1.直线与平面垂直的定义及画法定义如果直线l与平面α内的直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直

记法图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直有关概念直线l叫做平面α的，平面α叫做直线l的，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做

2.过一点垂直于已知平面的直线一条，该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的，垂线段的长度叫做这个点到该平面的.

例1(多选)下列命题中，不正确的是()A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α反思感悟直线与平面垂直的定义的理解直线与平面垂直的定义具有两重性，既是判定又是性质.①是判定，指它是判定直线与平面垂直的方法；②是性质，指如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就垂直于这个平面内的任何一条直线，即“l⊥α，a⊂α⇒l⊥a”.这是证明线线垂直的一种方法.跟踪训练1(多选)下列说法正确的是()A.若直线l垂直于平面α，则直线l垂直于平面α内的任一直线B.若直线l垂直于平面α，则直线l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C.若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD.若a⊥b，b⊥α，则a∥α二、直线与平面垂直的判定定理及应用问题4如图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触).观察并思考：折痕AD与桌面垂直吗？为什么？若不垂直，如何翻折才能使折痕AD与桌面所在的平面垂直？知识梳理文字语言如果一条直线与一个平面内的垂直，那么该直线与此平面垂直

符号语言m⊂α，n⊂α，=P，

l⊥m，l⊥n⇒l⊥α图形语言简记线线垂直，则线面垂直例2(1)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA=1，PD=2.求证：PA⊥平面ABCD.(2)已知在三棱锥P-ABC中，若PA，PB，PC两两互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足为O，则点O是△ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心跟踪训练2(1)(多选)下列平面中的两条直线与直线a垂直，可以保证直线a与平面垂直的是()A.四边形的两边 B.正六边形的两边C.圆的两条直径 D.三角形的两边(2)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，O是底面正方形ABCD的中心，求证：OE⊥平面ACD1.三、直线与平面所成的角问题5当一支铅笔的一端放在桌面上，另一端逐渐离开桌面，我们可以感受到铅笔和桌面所成的角逐渐增大，如何具体地刻画铅笔和桌面所成的角呢？知识梳理直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面α，但不与这个平面，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中

斜足斜线和平面的，如图中___________射影过斜线上斜足以外的一点向平面引，过和的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为

直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中；

规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是

取值范围设直线与平面所成的角为θ，则___________例3(1)在例2(1)的条件下，分别找到直线PB，PC与平面ABCD所成的角，并求其正弦值.(2)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点.求直线BE与平面ABB1A1所成角的正弦值.延伸探究在本例中，若求直线BE与平面A1B1C1D1所成角的正弦值，又如何求解？反思感悟求直线与平面所成的角的步骤(1)作(找)——作(找)出直线和平面所成的角.(2)证——证明所作或找到的角就是所求的角.(3)求——常用解三角形的方法(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形).(4)答.1.知识清单：(1)直线与平面垂直的定义.(2)直线与平面垂直的判定定理及应用.(3)直线与平面所成的角.2.方法归纳：转化与化归、数形结合.3.常见误区：判定定理中忽略“平面内找两条相交直线”这一条件.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()A.平面DD1C1C B.平面A1DB1C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB2.直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能()A.平行 B.相交C.异面 D.垂直3.若斜线段AB是它在平面α内射影长的2倍，则AB与平面α所成角的大小为()A.60° B.45°C.30° D.90°4.如图所示，已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值等于()A.32 B.C.105 D.答案精析问题1始终保持垂直.问题2可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.问题3不能.知识梳理1.任意一条l⊥α垂线垂面垂足2.有且只有垂线段距离例1ABD跟踪训练1AC问题4如图，当折痕AD是BC边上的高时，AD与桌面所在平面α垂直.这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线AD与平面α内的两条相交直线BD，CD都垂直.知识梳理两条相交直线m∩n例2(1)证明因为四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA=1，PD=2，所以PD2=PA2+AD2，所以PA⊥AD，又PA⊥CD，AD∩CD=D，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.(2)D[如图，连接AO并延长，交BC于点D，连接BO并延长，交AC于点E.因为PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC=P，PB⊂平面PBC，PC⊂平面PBC，故PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，故PA⊥BC.因为PO⊥平面ABC，又BC⊂平面PBC，故PO⊥BC，因为PA∩PO=P，PA⊂平面PAO，PO⊂平面PAO，故BC⊥平面PAO，又AO⊂平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC；同理BE⊥AC，故点O是△ABC的垂心.]跟踪训练2(1)CD(2)证明如图，连接AE，CE，D1O，D1E，D1B1.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，易证AE=CE.因为AO=OC，所以OE⊥AC.在正方体中易求出：D1O=D=a2+22OE=B=a22+2D1E=D=(2a)因为D1O2+OE2=D1E2，所以D1O⊥OE.因为D1O∩AC=O，D1O⊂平面ACD1，AC⊂平面ACD1，所以OE⊥平面ACD1.问题5铅笔和它在桌面上的射影所成的角.知识梳理相交垂直直线PA交点点A垂线垂足斜足直线AO∠PAO90°0°0°≤θ≤90°例3(1)解在例2(1)中，PA⊥平面ABCD，则点P在平面ABCD内的射影为点A，所以直线PB，PC在平面ABCD内的射影分别为AB，AC，故∠PBA和∠PCA即为直线PB，PC与平面ABCD所成的角.在Rt△PBA中，PA=1，AB=1，PB=2，所以sin∠PBA=12=2在Rt△PCA中，PA=1，AC=2，PC=3，所以sin∠PCA=13=3即直线PB，PC与平面ABCD所成角的正弦值分别为22，3(2)解如图所示，取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角.设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=22+于是在Rt△BEM中，sin∠EBM=EMBE=