小学数学第八章　8.6.3　第1课时　平面与平面垂直的判定定理

8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定定理学习目标1.理解二面角及其平面角的概念并掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单二面角的平面角.2.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和判定定理判定面面垂直.3.能利用面面垂直的判定定理解决一些综合问题.一、二面角的概念问题1请举出两个平面相交的例子.问题2我们通常说“把门开大一些”(动手演示教室的门)，是指哪个角大一些？如何去刻画二面角的大小呢？问题3∠AOB的大小与点O在棱l上的位置有关吗？知识梳理1.二面角定义从一条直线出发的两个所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的，这两个半平面叫做二面角的面

画法记法二面角或二面角或二面角P-l-Q或二面角

二面角的平面角在二面角α-l-β的棱l上一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的叫做二面角的平面角，如图

二面角的平面角α的取值范围2.平面角是的二面角叫做直二面角.

例1已知四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA=AB.求：(1)二面角B-PA-D的平面角的大小；(2)二面角B-PA-C的平面角的大小；(3)二面角A-PD-C的平面角的大小.反思感悟(1)确定二面角的平面角的方法①定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.②垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面相交产生两条射线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角.③垂线法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点且与另一个平面垂直的垂线，可过这一点作棱的垂线，连接两个垂足，应用直线与平面垂直的判定定理可证明连线与棱垂直，找到二面角的平面角.(2)求二面角大小的步骤①找到(作出)二面角的平面角.②证明这个角是二面角的平面角.③在平面角所在的平面图形(多数是三角形)中，通过解三角形，求出平面角，进而得到二面角的大小.跟踪训练1如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA=AC，求二面角P-BC-A的大小.二、平面与平面垂直的定义及应用问题4教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？这些二面角的大小是多少？知识梳理平面与平面垂直的定义与画法(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作：α⊥β.(2)画法：例2如图所示，在四面体A-BCD中，BD=2a，AB=AD=CB=CD=AC=a.求证：平面ABD⊥平面BCD.跟踪训练2如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.求证：平面AEC⊥平面AFC.三、平面与平面垂直的判定定理及应用问题5我们教室的建筑者是如何判断教室的墙面与地面是垂直的呢？问题6请说出这种方法的数学原理.知识梳理面面垂直的判定定理文字叙述如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形表示符号表示a⊂α，a⊥β⇒α⊥β简记线面垂直，则面面垂直例3如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，G，F分别为PB，PC的中点，点E在MB上.求证：平面EFG⊥平面PDC.跟踪训练3如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC⊥平面PDB.1.知识清单：(1)二面角以及二面角的平面角.(2)平面与平面垂直的定义及应用.(3)平面与平面垂直的判定定理及应用.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：二面角的平面角找不到或者找错.1.下列命题中，错误的是()A.一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B.平行于同一条直线的两个平面一定平行C.如果一个平面不垂直于另一个平面，那么这个平面内一定不存在直线垂直于另一个平面D.若直线l不平行于平面，且l不在平面内，则在平面内不存在与l平行的直线2.已知直线a，b与平面α，β，γ，下面能使α⊥β成立的条件是()A.α⊥γ，β⊥γ B.α∩β=a，b⊥a，b⊂βC.a∥β，a∥α D.a∥α，a⊥β3.(多选)下列命题为真命题的是()A.两个相交平面组成的图形叫做二面角B.异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补C.二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角D.二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系4.在正方体ABCD-A'B'C'D'中，二面角D'-AB-D的大小是()A.30° B.45°C.60° D.90°答案精析问题1课桌的上表面与墙面、教室的墙面与地面等.问题2指门与门框所成的二面角大一些.取二面角棱l上的一点O在二面角的面上分别作射线OA，OB与二面角的棱垂直，得到∠AOB可以刻画二面角.问题3无关.知识梳理1.半平面棱α-l-βα-AB-βP-AB-Q任取∠AOB0°≤α≤180°2.直角例1解(1)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AD⊥PA.∴∠BAD为二面角B-PA-D的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴∠BAD=90°，∴二面角B-PA-D的平面角为90°.(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AB⊥PA，AC⊥PA.∴∠BAC为二面角B-PA-C的平面角.又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC=45°.即二面角B-PA-C的平面角为45°.(3)如图，取PD，PC的中点分别为O，M，连接AO，MO，∵PA⊥平面ABCD，AD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，PA⊥CD，又PA=AB=AD，∴AO⊥PD.∵PA⊥CD，又AD⊥CD，AD，PA⊂平面PAD，AD∩PA=A，∴CD⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD，又∵OM∥CD，∴OM⊥PD，OM⊥平面PAD，∴OM⊥OA，又∵PD是二面角A-PD-C的棱，∴∠AOM为二面角A-PD-C的平面角，即为90°.跟踪训练1解由已知得PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.又BC是二面角P-BC-A的棱，∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形.∴∠PCA=45°，故二面角P-BC-A的大小为45°.问题4可以构成3个二面角，分别是两相邻墙面构成的二面角，一个墙面与地面构成的二面角，另一个墙面与地面构成的二面角.它们构成的二面角是直二面角，即二面角的度数为90°.例2证明∵AB=AD=CB=CD=a，∴△ABD与△BCD是等腰三角形.取BD的中点E，连接AE，CE，如图，则AE⊥BD，BD⊥CE.∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.在Rt△ABD中，AB=a，BE=12BD=22∴AE=AB2-同理CE=22在△AEC中，AE=CE=22aAC=a，∴AC2=AE2+CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC=90°，即二面角A-BD-C的平面角为90°.∴平面ABD⊥平面BCD.跟踪训练2证明如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB=1.由∠ABC=120°，可得AG=GC=3.由BE⊥平面ABCD，AB=BC，可得AE=EC.又AE⊥EC，所以EG=3，且EG⊥AC.同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E-AC-F的平面角，在Rt△EBG中，可得BE=EG2-故DF=22在Rt△FDG中，可得FG=DG2+在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=2，DF=22可得EF=32从而EG2+FG2=EF2，所以EG⊥FG.即二面角E-AC-F的平面角为90°，所以平面AEC⊥平面AFC.问题5用铅锤检测.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面.问题6如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.例3证明∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，∴PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.又PD∩DC=D，PD，DC⊂平面PDC，∴BC⊥平面PDC.在△PBC