河南省洛阳市强基联盟2025-2026学年高二上学期1月检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省洛阳市强基联盟2025-2026学年高二上学期1月检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列的前4项为1，2，5，12，则的通项公式可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】数列的前4项：，，，.选项A：，，排除；选项B：，，，，均符合；选项C：，，排除；选项D：，，排除.故选：B.2.抛物线C：的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的标准方程为，抛物线C的焦点在x轴的负半轴上且，故其准线的方程为.故选：D3.双曲线的左顶点到其一条渐近线的距离为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为双曲线的左顶点为，渐近线方程为，所以双曲线的左顶点到其一条渐近线的距离为，故选：A.4.已知等差数列的前项和为，若，，则（）A.159 B.126 C.109 D.98【答案】B【解析】设的公差为，由题意得，解得，所以．故选：B.5.已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，B为上顶点，则（）A. B.的周长为14C.E的长轴长为5 D.E的离心率等于【答案】A【解析】如图，作出符合题意的图形，由题意知，，，所以E的长轴长为10，离心率为，，的周长为，故BCD错误，A正确.故选：A.6.已知数列满足：，若，则（

）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为且所以，，，，，，所以数列是周期数列，且周期为4，所以.故选：C.7.已知做一个木梯需要7根横梁，这7根横梁的长度从上到下成等差数列，现有长为1.8m的一根木杆刚好可以截成最上面的三根横梁，长为2.4m的一根木杆刚好可以截成最下面的三根横梁，那么正中间的一根横梁的长度是（）A.0.6m B.0.7m C.0.8m D.0.9m【答案】B【解析】记7根横梁的长度从上到下成等差数列，由题意得，，∴，，故，，∵，∴，即正中间的一根横梁的长度是0.7m.故选：B.8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过原点的直线交于，两点，若，为锐角三角形，则的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意知，，关于原点对称，不妨设点为第一象限内一点，则，，又，，所以，，记，因为为锐角三角形，所以，，，即，，，解得，所以.故选:D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知曲线，下列结论正确的有（）A.若，则是椭圆 B.若，则是焦点在轴上的椭圆C.若，则是双曲线 D.若，则是两条平行于轴的直线【答案】BCD【解析】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误；对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确；对于D，若，则可化为，此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确．故选：BCD.10.已知为等差数列的前n项和，d为的公差，若，，则（）A. B.C.的最小值为 D.的最大值为【答案】ABC【解析】由，可得，即，又由，，即，，且，则，所以，所以的最小值为无最大值.故A，B，C均正确，D错误.故选：ABC.11.已知，是抛物线上的两点，的焦点为，为坐标原点，上一点到焦点的距离为，则（）A.B若，则直线过定点C.若，则直线的斜率为D.若的外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的半径为【答案】ABD【解析】对于A，根据抛物线定义得，解得，所以抛物线，，故A正确；对于B，因为直线，，的斜率必存在，设直线的方程为，，，联立方程消去得，则，，，因为，所以，解得，满足，所以直线过定点，故B正确；对于C，因为，所以直线过焦点，且，设直线的倾斜角为，当在第一象限时，如图，过点，分别向准线作垂线段，，过点向作垂线段，设，则，，，则，，，，当在第二象限时，同理可得，所以直线的斜率为，故C错误；对于D，因为线段的垂直平分线为，所以外接圆圆心的纵坐标为，所以外接圆半径为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若数列的前n项和，则______.【答案】－3750【解析】数列前n项和，.故答案为：－3750.13.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为上一点，则的取值范围为______.【答案】【解析】由题意知，，所以，设，则，即，由，得，故，所以当时，取得最大值9，当或时，取得最小值5，故的取值范围为.故答案为：.14.已知等差数列，的前n项和分别为和，若，则满足的正整数n的个数为______.【答案】2【解析】因为等差数列，的前n项和分别为和，，所以可设，，所以时，，又满足上式，所以，时，，又满足上式，所以，，则，因为，所以是63的正因数，即，3，7，9，21，63，又，所以，15，即满足的正整数n有2个.故答案为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.回答下面两个问题（1）求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程；（2）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程.解：（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距，故设所求双曲线的标准方程为，，，所以，所以，所以，故所求双曲线的标准方程为.（2）设所求双曲线的方程为，将点代入上述方程，得，所以，所以，故所求双曲线的方程为.16.在数列中，.（1）证明：是等差数列；（2）设，求数列的前项和.（1）证明：因为，所以，即，所以数列是公差为1的等差数列.（2）解：因为数列是公差为1的等差数列，，所以，所以于是设数列的前项和为，则.17.已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且.（1）求抛物线的方程；（2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值.解：（1）点为抛物线上一点，且，根据抛物线的定义可得，解得，抛物线的标准方程为.（2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，设，联立得，得，，解得.由韦达定理，得，，又，，又两点P，Q在直线l：上，故上式化为，化简得，把韦达定理代入，得，解得或，直线l不过原点，，故m的值为.18.在等差数列中，，为与的等差中项.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前n项和为，判断23是不是数列的项，若是，是第几项？若不是，请说明理由；（3）若，求数列的前n项和.解：（1）设的公差为d，则，所以，，，因为为与的等差中项，所以，解得，所以.（2）由（1）知，所以，所以，令，解得.因为是正整数，所以23不是的项.（3）由（1）知，当时，，；当时，，，所以当时，，当时，.所以.19.已知椭圆的上顶点和两个焦点都在圆上．（1）求C方程；（2）若过C的右焦点F与圆E相切的直线与C交于A，B两点，求；（3）若过C的右焦点F作两条直线与C在x轴下方分别交于M、N两点，且直线FM，FN的斜率互为相反数，记直线MN的斜率为m，求证：．（1）解：对于圆，令，可得，解得或，可知椭圆的上顶点为；令，可得，解得