河南省新乡市、鹤壁市、安阳市、焦作市2026届高三上学期一模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省新乡市、鹤壁市、安阳市、焦作市2026届高三上学期一模数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，解得集合，而集合，所以．故选：A．2.若复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，故.故选：C.3.已知等差数列的公差为，若，则（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】由题意知，，又，故．故选：C.4.已知是偶函数，则（）A.2 B. C.1 D.0【答案】D【解析】函数是R上的偶函数，而是奇函数，则函数是奇函数，，解得，此时是奇函数，所以.故选：D.5.已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则的渐近线方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，因为双曲线与椭圆的离心率互为倒数，所以，解得，故双曲线的方程为，所以，渐近线方程为．故选：A.6.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，又，所以，所以．故选：B.7.一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，圆锥的底面半径为，体积为高，设球的半径为，由图可得，解得，故球的表面积的最小值为故选：C.8.已知函数若关于的方程在区间内有2027个不同的实数根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】先作出在上的图象，再扩展到整个定义域，画出大致图象如下．当时，方程在内有2026个实根；当时，方程在内有1个实根，令，因为方程在区间内有2027个不同的实数根，所以方程有一个根在内，另一个根在内，令，则，即解得．故选：B.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某计步软件的后台数据显示，其用户的每日步数近似服从正态分布，则下列结论正确的是（）附：若随机变量，则．A.约有95%的用户每日步数在3600到10800之间B.每日步数多于5400和多于9000的用户比例大致相等C.若某人每日步数为9000，则其步数超过了大约84%的用户D.随机抽取100名用户，他们每日步数的方差接近1800【答案】AC【解析】设用户每日步数为，对于A，，故A正确；对于B，，二者显然不相等，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，正态分布的参数表示随机变量的方差，如果随机抽取部分样本进行统计，与1800接近的是标准差，而不是方差，故D错误.故选：AC.10.我们称为正割函数，为余割函数，设函数，则（）A.的定义域为 B.的最小正周期为C.的图象关于点对称 D.的值域为【答案】ABD【解析】由题意得.对于A，要使有意义，必有，则，即，所以函数的定义域为，故A正确；对于B，因为的最小正周期为，且，所以的最小正周期为，故B正确；对于C，因为，所以的图象关于直线对称，故C错误；对于D，当时，，则，即的值域为，故D正确．故选：ABD.11.如图，在四棱锥中，平面，且底面为平行四边形，的中点为，点分别在棱上（均与不重合），且，四点共面，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，则（）A.的最大值为 B.的最小值为C.的最大值为 D.的最小值为【答案】BCD【解析】连接．设，则，因为四边形是平行四边形，为的中点，所以．由四点共面，可知存在实数，满足，即，所以则，化简得，由，得，同理可得，所以．对于AB，由题意知，又，所以，故A错误，B正确；对于C，同理可得，所以，故C正确；对于D，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为，故D正确．故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知是夹角为的两个单位向量，若，则实数___________．【答案】4【解析】由是夹角为的两个单位向量，得，由，得，即，所以.故答案为：413.已知抛物线上一点到的焦点及对称轴的距离分别为2和，则___________．【答案】【解析】由抛物线上的点到的焦点的距离为2可得点到的准线的距离为2，即，又点到的对称轴的距离为，所以，将点代入抛物线方程，可得，整理得，解得或（不合题意，舍去）．故答案为：.14.已知且，若函数在上单调递增，则的最大值为___________．【答案】【解析】根据题意，可得对任意的恒成立．设，则．若，则在上单调递增，当且时，，不符合题意．若，令，得，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，所以，所以．设，（），则，当时，在上单调递增，当时，在上单调递减，所以，即的最大值为，此时．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.记正项等比数列的前项和为，已知．（1）求的公比；（2）若，数列的前项和为，正整数满足，求．解：（1）设的公比为．若，则，原条件即，显然不成立，则，所以，所以，即，分解因式可得，解得，所以．故的公比为2．（2）由（1）知的公比为2，所以，所以，所以，由，得，化简得，解得（负根已舍去）．16.某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表：/亿元12.112.511.312.413.111.511.011.312.612.2/亿元650680620660695640600630665660（1）估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额；（2）求样本的相关系数（精确到0.01）；（3）已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额．参考数据：，，．参考公式：相关系数．解：（1）平均每年的研发投入为，平均每年的营业额为.（2）将所给数据代入相关系数计算公式得．其中，所以．（3）由题意知，回归直线过样本中心点，即，解得．所以回归方程为．将代入回归方程，得，故预测该公司今年的营业额为710亿元．17.如图，在三棱柱中，平面底面是边长为2的正三角形，的中点分别为．（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：取的中点，连接．因为为等边三角形，为的中点，所以，因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以.因为分别为的中点，所以，且，又是的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以．所以平面，从而，又，且，平面,故平面．（2）解：由平面，得，又是的中点，所以是等腰三角形，且．由平面，得，又，所以．所以所以，即是等边三角形．连接，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则由可得．设平面的法向量为，由得，取．易知平面的一个法向量为．设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为．18.已知函数．（1）讨论在上的单调性；（2）若，证明：；（3）设函数，若有两个不同的零点，且，求的取值范围．（1）解：由题意得．若，则，即恒成立，所以在上单调递减；若，则，即恒成立，所以在上单调递增；若，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减．（2）证明：若，则．要证明，即证明，即．设，由，可得，待证不等式转化为．右边：设，则，所以在上单调递减，故，即．左边：设，则，所以在上单调递增，故，即．综上，原命题得证．（3）解：由题意知是的两个相异的零点，即方程有两个不同的实根．令，则，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减，则，且当时，，当时，．画出的大致图像，如图，可知若曲线与直线有两个交点，交点的横坐标分别为，则，且．先考虑的情形：由，得，所以，此时．当时，，从而，符合条件；当时，，从而，不符合条件．所以要使，必须，得，故的取值范围是．19.已知椭圆的左顶点为，上顶点为和是上除顶点外的两个动点．（1）若直线的斜率成等差数列，证明：直线过定点；（2）若直线的斜率成等比数列，求面积的最大值．（1）证明：由题意得，所以．若直线的斜率成等差数列，则．设．当直线的斜率存在时，设，由题意可知．由得，则．（*）所以将（*）代入，得，化简得，当时，满足．所以，可知该直线恒过点．当直线的斜率不存在时，，所以，得，不符合条件．综上，直线过定点；（2）解：若直线的斜率成等比数列，则．记，由可得．用替换，可得，因