湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省部分市州2026届高三上学期1月联考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】A表示函数定义域，则；B表示函数值域，则.从而.故选：D.2.复数的虚部为（）A. B. C. D.i【答案】B【解析】，所以复数的虚部为.故选：B.3.若，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.4.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的图象向左平移个单位长度，可得，若图象关于原点对称，则满足，得，因为，故当时，取得最小值，故选：C.5.已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为数列为等比数列，且，即，解得，所以；又因为是等差数列，且，即，解得，所以，所以，所以.故选：C.6.如图，一条河两岸平行，河的宽度为400m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为.设这艘船行驶方向与水流方向的夹角为，行驶完全程需要的时间为，若船的航程最短，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如图，设，要使船的航程最短，则船的实际航行方向与岸边垂直，由图可知，所以，故，所以，又因为，所以，所以，故．故选：B.7.设过点与圆C：相切的两条直线的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以点在圆外，设圆心为，点为点，切点为，圆化为标准方程得，则圆心，半径，在中，，所以，故，由圆的切线的性质可得，所以.故选：D.8.已知，函数，若存在值，使得对任意成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，令，，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，当时，，画出大致图像如下：当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；，此时，，，，，令，，若存在a，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，，故，实数b的取值范围，的最小值为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的有（）A.数据27，12，14，30，15，17，19，24的第70百分位数是24B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1C.若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数和方差分别为8和27D.若为两个随机事件，，，，则【答案】ACD【解析】对于A：先将这8个数进行从小到大排列：12，14，15，17，19，24，27，30，，因为是小数，故这组数据的第70百分位数为第6个数，即，故A正确；对于B：若两个随机变量为负相关，且两个随机变量的线性相关性越强，则此时相关系数r的值越接近于，故B错误；对于C：若样本的平均数和方差分别为2和3，则的平均数为，方差为，故C正确；对于D：由题可知，，得，则，，故D正确.故选：ACD.10.设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，为的准线，，则下列说法正确的是（）A. B.C.以为直径的圆与相切 D.【答案】ACD【解析】如图：A，抛物线的焦点为,点，直线过点，，解得，故A正确；B，抛物线的方程为，将直线方程与抛物线方程联立，得，整理得，设，,由韦达定理得，，，故B错误；C，，设的中点为，则,为的准线，直线的方程，到直线的距离，以为直径的圆的半径,，以为直径的圆与相切，故C正确；，，，，，，，即，，，，，，，故D正确.故选：ACD.11.已知，都是定义在上的函数，对任意满足，且，则下列说法正确的是（）A. B.C.函数的图象关于直线对称 D.若，则【答案】AD【解析】A，令，可得，得，令，代入已知等式得，可得，结合得，所以，故A正确；B，因为，令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故B错误；C，取，满足及，所以，又，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误；D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，两式相加易得，所以有，即，有，即，则，所以为周期函数，且周期为，因为，所以，所以，所以，所以，故D正确；故选：AD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.若曲线在点（1，3）处的切线也是曲线的切线，则______.【答案】【解析】由，得，，故曲线在处的切线方程为，即；由，得，设切线与曲线相切的切点为，由两曲线有公切线得，解得，则切点为，故切线方程为，即，因两切线为同一条直线，方程相同，则，解得．故答案为：．13.已知双曲线C：，过C的左焦点F的直线与圆O：相切于M，与C的右支交于点R.若的中点为N，则_______.【答案】【解析】由双曲线，可得，，则，因此左焦点，双曲线的实半轴长，因为圆，所以圆心为原点，半径，又因为直线与圆相切于，所以，在中：，设双曲线的右焦点为，是的中点，是的中点，根据三角形中位线定理，，则，即，因此，因为是的中点，故，则，所以.故答案为：.14.记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”.若函数，数列为牛顿数列.设，已知，数列的前n项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为_____.【答案】【解析】因为，则，则，由，所以，所以，即数列是以2为首项、2为公比的等比数列，所以，，因为对任意的恒成立，又且单调递增，所以对任意的恒成立，令，根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，又，且，故对于都有,因此，所以，所以的最大值为．故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记内角的对边分别为，已知.（1）求；（2）若为锐角三角形，且外接圆直径为，求的取值范围.解：（1）易得，由正弦定理得，而，故，易知，故，即，又因为，所以，所以，解得；（2）因外接圆直径为，则由正弦定理可知，故，，因为是锐角三角形，所以，得，，则，所以，由对勾函数的性质可知，在上单调递减，故的取值范围为.16.某校为丰富学生的课外活动特举办了一次篮球投篮比赛活动，现已知刘翔同学每次投篮投中的概率为，投不中的概率为.为激励学生运动的积极性，规定：投中一次得2分，投不中得1分.刘翔同学投篮若干次，每次投中与否互不影响，各次得分之和作为最终得分.（1）若投篮2次，最终得分为X，求随机变量X的分布列和期望；（2）设最终得分为n的概率为，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.解：（1）由题意可知：最终得分X的可能取值为2，3，4，则，，，可得随机变量X的分布列为234期望为.（2）由题意可知：，，且，因为，且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，所以，当时，则，累加可得，则，且时，符合上式，所以.17.如图，在平面四边形中，，，将沿翻折至，其中P为动点.（1）证明：；（2）求二面角余弦值的最小值.（1）证明：取中点，连，，因为底面为正三角形，，则，，又平面，，所以平面，又平面，所以.（2）解：以为原点，为x轴，为y轴，垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，其中，因为，，所以，则，，，，，则，，，设平面和平面的一个法向量分别为，则，，令，，则，，则，令，则，则，，当即时，有最小值，最小值为，故二面角余弦值的最小值为.18.如图所示的折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如，用半径为4的圆形纸片按如下步骤折纸：步骤1：设圆心是，在圆内（除去圆心）取一点，标记为，且；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕.这些折痕围成一个图形，设关于折痕的对称点为Q点.（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，求折痕围成的图形C的标准方程；（2）过的直线交C于A，B两点，若内切圆的半径为，求的方程；（3）设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程.解：（1）设与折痕的交点为，由题意可知，，所以点N是以，为椭圆的左、右焦点，长轴长为4的椭圆，设其方程为，则，，所以，，，所以椭圆的标准方程为.（2）由题意可知，直线不与x轴重合.因为，故设：，，联立，得，则，，，则，故，又内切圆的半径为，且的周长是，所以，则，即，解得，故直线的方程为.（3）解法一：设，当时，的垂直平分线方程为，此时，或，即或；当时，线段的中点为，直线的斜率为，则的垂直平分线方程为，联立，得，因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，故，即，则，即，即，即，因为，所以，而也满足该式，故点M的轨迹是圆，该圆的方程为，即.解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P，直线与交于点，则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线，也为的角平分线，作的角平分线，根据椭圆的光学性质得，则，则，故，所以M，P，三点共线，所以，所以点M的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，当P在椭圆长轴上时，M点为或时也满足，故点M的轨迹是圆，该圆的方程为.19.（1）已知函数.（i）若，求曲线在点处的切线方程；（ii）若时，恒成立，求的最大值；（2）不等式对任意的成立，求的取值范