九年级数学上册第4章锐角三角函数4.1正弦和余弦教学讲义湘教版

第4章

锐角三角函数九年级数学湘教版·上册4.1正弦和余弦授课人：XXXX一、新课引入做一做画一个直角三角形，其中一个锐角为65°，量出65°角的对边长度和斜边长度，计算=与同桌和邻桌的同学交流，看看计算出的比值是否相等（精确到0.01）.如下图所示，（1）和（2）分别是小明、小亮画的直角三角形，其中∠A=∠A′=65°,∠C=∠C′=90°.（1）（2）一、新课引入小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，算出：小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm，斜边A′B′=2.2cm，算出：

一、新课引入这个猜测是真的吗？若把65°角换成任意一个锐角，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数呢？由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于一、新课引入二、新课讲解如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=.，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？二、新课讲解∠A=∠D=，

∠C=∠F=90°，∵△DEF.Rt∽△ABC∴Rt即∴∴二、新课讲解这说明，在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.如图，在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比叫作角的正弦，记作sin

，即二、新课讲解根据“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，容易得到

sin30°=二、新课讲解例1如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，

BC=3，AB=5.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值.二、新课讲解解：（1）∠A的对边BC=3，斜边AB=5.于是（2）∠B的对边是AC，根据勾股定理，得

AC2=AB2-BC2

=52-32

=16.于是AC=4.因此二、新课讲解如何求sin45°的值？如图，构造一个Rt△ABC，使∠C=90,∠A=45°.于是∠B=45°.从而AC=BC．根据勾股定理，得

AB2=AC2+BC2=BC2+BC2=2BC2.于是

AB=BC.因此二、新课讲解如何求sin60°的值？如图，构造一个Rt△ABC

，使∠C=90°,∠B=60°，则∠A=30°，从而.根据勾股定理得AC2=AB2-BC2=AB2-于是因此二、新课讲解例如求50°角的正弦值，可以在计算器上依次按键，显示结果为0.7660….

至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角的正弦值，我们可以利用计算器来求.

如果已知正弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知=0.7071，依次按键，显示结果为44.999…，表示角约等于45°.sin二、新课讲解例2计算：sin230°-sin45°+sin260°解：sin230°-sin45°+sin260°二、新课讲解探究

如下图所示，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则成立吗？为什么？二、新课讲解∵∠A=∠D=，∠C=∠F=90°，∴∠B=∠E.从而因此由此可得，在有一个锐角等于的所有直角三角形中，角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．二、新课讲解如下图所示，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜边的比叫作角的余弦，记作，即斜边角的邻边二、新课讲解

从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角，有

从而有二、新课讲解例3

求cos30°，cos45°，cos60°的值．

解：，.二、新课讲解

对于一般锐角（30°，45°，60°除外）的余弦值，我们可用计算器来求.例如求50°角的余弦值，可在计算器上依次按键，显示结果为0.6427….如果已知余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.例如，已知=0.8661，依次按键，显示结果为29.9914…，表示角约等于30°.cos三、归纳小结0°~90°间正弦值、余弦值的变化规律：（1）0＜sinα＜1;0＜cosα＜1；（2）正弦值随角度的增加而增大，余弦值随角度的增加反而减小.四、强化训练1.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，

BC=5，AB=13.（1）求sinA的值；（2）求sinB的值．答案：答案：四、强化训练2.如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，求OP与x轴正方向所夹锐角的正弦值.解：如图，设点A（3，0），连接PA

.A●在△APO中，由勾股定理得因此四、强化训练

3.计算：（1）sin260°+sin245°；解：（1）sin260°+sin245°（2）1-2sin30°sin60