湖北省荆州市2026届高三上学期1月质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省荆州市2026届高三上学期1月质量检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，，若，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，则，又集合，，可得，所以实数a的取值范围是.故选：C.2.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.3.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】，，，，，由，通分整理得：，，，即，，，，，故选：C.4.若对，直线与圆总有2个公共点，则m的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】记直线直线为，则直线恒过定点，记已知圆为，圆的方程，配方得：，所以圆心为，半径，，即.当点在已知圆外时，总存在，使得直线与圆没有公共点，不合题意；当点在已知圆上时，代入圆的方程得，此时圆的半径为，圆心与轴的距离为，所以圆与轴不相切，所以一定存在，使得直线与圆相切，即只有一个公共点，不合题意；当点在圆内部时，对于，直线与圆都相交，即有2个公共点，符合题意.点在圆内部时，，解得：，综上，的取值范围是.故选：D.5.已知偶函数在上是增函数，则满足的x的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则不等式即为，又因为函数在上是增函数，且，，则，整理可得，解得或，所以满足的x的取值范围是.故选：B.6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调增区间为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故，令，即，即函数的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，A正确；对于B，当时，，由于在上不单调，故不是的单调增区间，B错误；对于C，时，，由于在上不单调，故不是的单调增区间，C错误；对于D，时，，由于在上单调递减，故是的一个单调减区间，D错误；故选：A.7.科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次密码，能成功破解该密码的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意，6位数由4个数字组成，那么总可能数为种，排除“缺少1个数字”的情况：选1个数字不出现，剩余3个数字组成6位数，共种；补回“缺少2个数字”的情况（容斥原理）：选2个数字不出现，剩余2个数字组成6位数，共种；排除“缺少3个数字”的情况：选3个数字不出现，剩余1个数字组成6位数，共种；根据容斥原理，符合条件的密码数为.所以能成功破解该密码的概率为.故选：B.8.已知平面上的点，，则的最小值为（）A.1 B.C. D.【答案】D【解析】因为点在直线上，点在曲线上，又因为，，令，解得，可得，的最小值即为点到直线的距离.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某校教学比武活动有7名评委现场打分，7名评委对某位选手的评分分别为a，b，c，d，e，f，g.设这组数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，s，m，z，根据计分规则，去掉一个最高分和一个最低分后，余下数据的平均数、标准差、中位数、众数分别为，，，，则以下判断一定正确的有（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】选项A，设，则，，无法比较的大小，故选项A错误；选项B，，，去掉一个最高分和一个最低分后，数据的波动性减小，故，故选项B正确；选项C，原数据的中位数，去掉一个最高分和一个最低分后的新数据的中位数为，故，故选项C正确；选项D，众数是数据中出现次数最多的数，去掉一个最高分和一个最低分后，众数可能发生变化，可能不发生变化，故不一定有，故选项D错误.故选：BC.10.如图，在直三棱柱中，，，且，点D在线段上运动，则下列结论正确的有（）A.平面B.与不可能平行C.与不可能垂直D.四棱锥的外接球面积为【答案】ABD【解析】A：由题平面，平面，所以，又因，且，平面，所以平面，因平面，所以，又，则四边形为正方形，所以，因，平面，所以平面，故A正确；B：如图，以点为坐标原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，，，设，，得，所以，，假设与平行，则，即，则，无解，所以假设不成立，故与不可能平行，故B正确；C：，，若与垂直，则，则，即，又因，所以假设成立，故C错误；D：四棱锥的外接球就是直三棱柱的外接球，因为，可将直三棱柱补成长方体，则长方体外接球即为直三棱柱的外接球，长方体的体对角线长为(为外接球半径)，解得，所以外接球面积为，故D正确.故选：ABD.11.“局部周期递归函数”是在定义域的局部有“自相似”等类似于周期函数性质的一类函数，我们可以采用类似于研究周期函数的方法进行研究.函数就是一个“局部周期递归函数”.则下列说法正确的有（）A.函数的值域为B.函数在上单调递减C.方程有5个不同的解D.若方程有10个不同的解，则【答案】BCD【解析】当时，；当时，，则；当时，，则；当或时，，作出函数的图象如下：由图可知，函数的值域为，故A错误；函数在上单调递减，故B正确；由于函数与有5个交点，则方程有5个不同的解，故C正确；对于D，令，因为方程有10个不同的解，所以方程有两个不相等的实数根，设，显然，则这两个根分别在、内，有，解得，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，（i为虚数单位），则函数的最大值为______.【答案】【解析】因为，整理得，所以，解得：，，所以，利用辅助角公式化简得，又因为余弦函数的值域是，所以当时，取得最大值，即.故答案为：.13.已知抛物线，椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，点是与在第一象限的一个交点，且（为原点）.则椭圆的方程是______.【答案】【解析】由抛物线方程可得，因为点是与在第一象限的一个交点，且，所以轴，设，代入解得，由题意可得椭圆的左焦点为，右焦点为，则，所以，，，所以椭圆的方程是，故答案为：.14.已知等差数列首项为2，公差为2，前项和为，数列前项和为，且满足.若对于任意，成立，则的最小值为______.【答案】【解析】因为数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以，，所以，所以，对于任意，成立，只需即可，令，则，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，取最大值，所以，即，所以的最小值为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，且.点E为线段的中点.（1）在线段上取一点F，使得平面，求此时线段的长；（2）对于（1）中所求的点F，求二面角的余弦值.解：（1）因为底面，，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则，设，，可得，且平面的一个法向量为，若平面，则，可得，解得，所以线段的长为1.（2）由（1）可知：，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，则，由图可知：二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为.16.如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且.（1）求的面积；（2）求.解：（1）以点A为坐标原点，为x轴，过点A作垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则，设，由于，则，则，故，而，故，即，即，结合，得，即得，则，故的面积为；（2）结合（1）的分析可知，的面积为,则，即,故.17.某电商平台对其售卖的一款家电开展甲、乙两种促销活动，活动规则如下：参加活动的消费者只能在甲、乙两种活动中选择一个参加，且仅能参加一次，最多购买一台家电；活动甲设有4个不同的选择题、3个不同的填空题，活动乙设有3个不同的选择题、2个不同的填空题；参加活动的消费者在所选择的促销活动中先后抽取2个不同的题目作答，若两题都答对，则享受按2折购买的优惠，答对一题可享受按5折购买的优惠，全部答错只能享受按8折购买的优惠.小黄对该家电有购买需求，决定参加活动，其答对每道选择题的概率均为0.8，答对每道填空题的概率均为0.4，每次答题相互独立.（1）若小黄选择参加活动乙，求第二题抽到的题目是填空题的概率；（2）该款家电原价为a元/台，小黄应该选择参加甲、乙中的哪个活动？请说明理由.解：（1）由题意，小黄第1题抽到选择题的概率为，第1题抽到填空题的概率为，则小黄第二题抽到的题目是填空题的概率为.（2）由题意，小黄答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，若小黄选择参加甲活动，设答对题目数为，则的可能取值为，所以，，，则小黄参加甲活动花费金额的数学期望为；若小黄选择参加乙活动，设答对题目数为，则的可能取值为，所以，，，则小黄参加乙活动花费金额的数学期望为.由于，所以小黄应该选择参加乙活动.18.如图，，分别为双曲线的左、右焦点.分别为双曲线左、右支上位于轴上方的点，且满足，设直线与相交于点.（1）若，求直线的斜率；（2）当点在双曲线上运动时，（ⅰ）证明：为定值；（ⅱ）证明：点在一个椭圆上运动，并求出该椭圆方程.（1）解：双曲线两个焦点坐标为，由可知，，故，两条平行线设为，分别与联立，得，进而有将②-①×9得，，代入①式得，因为，所以，故，所求斜率为.（2）证明：（ⅰ）分别延长线段与双曲线交于，由于，由双曲线的对称性可知，，四边形是平行四边形，其中心为原点，关于原点对称，故，设，且，联立，，，所以.由两点距离公式，，所以，由韦达定理，，（ⅱ）设，由(i)知，即：，由双曲线的定义知，，由于，根据平面几何知识，，所以，，由椭圆定义知，点在以为焦点，长轴长为的椭圆上，由得，其方程为，所以当点在双曲线上运动时，点在