湖南永州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南永州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.2与8的等差中项为（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】2与8的等差中项为.故选：C.2.若抛物线的焦点为，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为，所以，，故选：C.3.已知直线的方程为，则直线在轴上的截距为（）A.1 B. C.5 D.【答案】B【解析】因为直线的方程为，当时，，故直线在轴上的截距为.故选：B.4.已知直线和直线，若，则（）A. B.1 C.2 D.4【答案】A【解析】因为直线和直线相互垂直，所以，解得，故选：A.5.空间四面体中，为的中点，且，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由.故选：A6.在直三棱柱中，，，，是侧棱的中点，则下列直线中与直线垂直的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意，，由平面，得，，以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，设，则，则,.对于A，由,得，故不垂直；对于B，由，得，故垂直；对于C，由，得,故不垂直；对于D，由，得，故不垂直，故选：B.7.已知数列的通项公式为为其前项和，则（）A.1012 B. C.1013 D.【答案】D【解析】，，．．则，故选：D．8.已知双曲线的左右焦点分别为为右支上一点，的垂直平分线过点，线段与轴交于点，则的离心率为（）A.2 B. C. D.3【答案】A【解析】设焦距，因为的垂直平分线过点，所以，因为，所以，则，过M作MP垂直x轴，交x轴于点P，则，所以，则，所以，则，即，因为点M在双曲线E上，所以，因为离心率，所以，则，整理得，解得或（舍），所以.故选：A.二、多项选择题：本题共小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9.已知空间向量，下列结论正确的是（）A.B.C.若，且，则D.若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则【答案】CD【解析】由题意得，，故A错误；，则，故B错误；因为，所以，得，故C正确；由题意得，，则，得，故D正确.故选：CD.10.已知等差数列的前项和为，公差，记，则下列选项中一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】因为为等差数列，为的等差中项，所以，故A正确；，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故B正确；，则，而无法判断符号，所以不成立，故C错误；由且，当时，，即；当时，时，即，又，所以，所以，故D正确.故选：ABD.11.已知曲线，点在上，为坐标原点，，则下列说法正确的是（）A.点在上B.围成图形面积为C.的最小值为D.若，则的最大值为2【答案】ABD【解析】当时，原方程化为，所以曲线是以圆心为，半径为的圆在第一象限的部分，又曲线关于轴，轴对称，所以曲线，如图所示.对于A，代入满足方程，所以A正确.对于B，曲线围成的图像由四个半径为的半圆和一个边长为的正方形组成，所以面积为：，所以B正确.对于C，表示曲线上的点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离，结合图像得，故到直线的最小距离为,进而的最小值为，所以C错误.对于D，因为时，方程变为，所以等价于到点的距离，所以所以D正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.双曲线的渐近线方程是________________．【答案】.【解析】因为所以渐近线方程为即为故答案为：13.已知数列的通项公式为，其前项和为，则___________．【答案】【解析】因为.所以.所以.故答案为：.14.在正方体中，，点为正方体表面上一动点，若，则点的轨迹长度为___________．【答案】4【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则四个顶点为，设动点，，，，，，，因为，所以，代入解之得，即所有满足条件的点为如图所示的正方形，故长度为4．故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知三点在圆上．（1）求圆的方程：（2）求直线被圆截得的弦的长．解：（1）设圆的方程为：，将三点坐标分别代入，得方程组，解得，则圆的方程.（2）由（1）知方程可化为：，圆心到直线的距离，圆的半径，所以.16.已知数列是等差数列，数列的前项和为，．（1）求的通项公式；（2）令，求数列的前项和．解：（1）设数列的公差为，有，得，所以，得，因为，所以，，得当时，，有.得，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以．（2）因为得，所以是首项为1，公比为等比数列，又，，而.所以.17.四棱锥中，四边形为正方形，平面，.（1）当时，求平面与平面夹角的余弦值；（2）求的长的最小值．解：（1）由题意可知，以点A为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，当时，分别为的中点，则，，，设平面的一个法向量为，所以，令，则，即，由题知是平面的一个法向量，则，故平面与平面夹角的余弦值为.（2）因为，所以，．所以．因为，所以当时，取得最小值．18.椭圆的右焦点为，过点斜率存在且与轴不重合的直线交于，两点，点关于轴的对称点为；当直线的斜率为时，直线恰好过椭圆的一个顶点．（1）求的标准方程；（2）证明：直线过定点；（3）求面积的最大值．（1）解：当直线斜率为时，直线方程为，令得，所以椭圆的下顶点坐标为，，，所以椭圆的标准方程为．（2）证明：设，，则，设直线方程为，联立方程，消去得，则，所以，，直线的方程为，由椭圆对称性可知，定点轴上，令，得，所以直线过定点；（3）解：的面积，当且仅当，即时取等号，故的面积的最大值为.19.抛物线上有一系列点，对于所有正整数，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆又彼此外切．已知，点到的准线的距离为，记圆的面积为．（1）求的方程；（2）证明：数列是等差数列；（3）设，判断数列中是否存在互不相同的三项构成等比数列，请说明理由．（1）解：依题意，点的坐标为，而抛物线准线方程为，则，解得，所以抛物线C的方程为.（2）证明：由圆、圆与y轴相切，得圆的半径长为，圆的半径长为，由圆与圆相外切，得，即，则，又，因此，