浙江丽水市2025-2026学年第一学期普通高中教学质量监控高二数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江丽水市2025-2026学年第一学期普通高中教学质量监控高二数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.经过两点，的直线的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线过点，，则直线的斜率，所以直线倾斜角是.故选：A.2.已知数列的首项，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，且，所以，.故选：D.3.已知函数，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，所以故选：C.4.已知双曲线的离心率是2，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，又所以，即，从而渐近线方程为.故选：B.5.在空间直角坐标系中，已知点，，点D满足，则点D的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设，则，，因为，所以，解得，则故选：A.6.在直三棱柱中，，，则直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，以为空间向量的基底.不妨设，则，则，.因为，，，.又，所以.即直线与所成角的余弦值是.故选：C.7.已知点与抛物线上一点，若点到直线的距离为，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由抛物线，可得抛物线的焦点为，准线方程为，设点到准线的距离为，则点到直线的距离为，过点作和的垂线，垂足为，如图所示，由抛物线的定义，可得，因为，，可得，所以，即的最小值是.故选：B.8.下列不等式成立的是（为自然对数的底数）（）A. B. C. D.【答案】C【解析】构造函数，所以,所以当时，,则在上单调递减，所以,即,对于A，由于,,由于在上单调递增，则.由于在上单调递增，则.所以,故A不正确；对于B，由,可得,即，所以，故B不正确；对于C,由，可得,即，所以，故C正确；对于D，由，可得,即，所以，故D不正确；故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知圆，圆，则以下结论正确的是（）A.B.若两圆外切，则C.若，则两圆相交D.若，则两圆的公共弦所在直线的方程为【答案】AC【解析】因为圆：，所以，.圆：，由，，.所以，A选项正确；由，所以B选项错误；若，则，，，，所以，所以两圆相交，所以选项C正确；时，，，，，所以，所以两圆相交，两圆公共弦所在的直线方程为：，即，所以选项D错误.故选：AC.10.已知数列的前项和为，，且，则以下结论正确的是（）A.B.C.若，则D.若是公差为的等差数列，则【答案】ABCD【解析】选项A：已知，，，，因此，选项A正确；选项B：由，得，，选项B正确；选项C：由，依据，则，等号成立当且仅当每一项都取最小值，即，因此，选项C正确；选项D：因为，且，所以对所有，，若，当时，，与矛盾，因此；，化简可得，当时，代入得，当时，，此时不等式对所有恒成立，故；验证，代入，则，因为且，所以左边恒为正，不等式对所有成立，故选项D正确.故选：ABCD11.在四棱锥中，，，，点分别满足，，．平面与棱交于点，，则以下结论正确的是（）A.若，则B.,C.若，则D.若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分【答案】ACD【解析】对于选项A，由题，若，则，即重合，因为，在平面外，平面，所以平面，因为平面平面，平面，所以，故A正确；对于选项B，取CD中点H，连接BH，则由题可知，所以四边形为平行四边形，连接，则I为BD中点，因为，，，所以，，所以，连接PI，则，又平面，所以平面，因为平面，在平面外，所以对，不成立，故B错误；对于选项C，若，则，，因为四点共面，所以存在实数使得，则，故C正确；对于选项D，设的体积为，点到平面的距离为，，，为梯形，，设，则，，，，，，到平面的距离就是到平面的距离，，，，，，，，且要使，，，在上，，，，，，，，，，故若，则存在平面将该四棱锥分成上、下体积相等的两部分，故选项D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列，若，则______．【答案】4【解析】因为数列为等差数列，所以，所以，所以.故答案为：.13.若直线与曲线相切，则实数______．【答案】【解析】设直线与曲线的切点为,又易知,则曲线在切点处的斜率为，可得，即切点为则,故答案为：.14.若一个棱长为的正方体内有两个半径相等的球，则球半径的最大值是______．【答案】【解析】如下图所示：如图（2），作出正方体的体对角面，要使球的半径最大，则需要让两个球对称放置，且两球外切，易知球心和在上，过点、分别作、的垂线，垂足分别为、.设球、的半径都为，，故，同理可得，因为，故.因此球半径的最大值是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知点，是圆一条直径的两个端点．（1）求圆的方程；（2）过原点且与垂直直线交圆于两点，求四边形的面积．解：（1）因为点，是圆一条直径的两个端点，所以圆心，半径，所以圆的方程为（2）因为直线的斜率为，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，所以圆心到直线的距离，所以，所以.16.已知函数.（1）若，求函数的极大值；（2）若函数在上单调递减，求的取值范围．解：（1）当时，，则.令,得，所以当时，；当时，；当时，；所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增.所以极大值.（2）由题得，因为在上单调递减，则在恒成立，即在恒成立，又函数在上单调递减，上单调递增，且当时，；当时，；所以，所以，解得.所以实数的取值范围为.17.如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．（1）若，证明：平面；（2）若与平面所成角的正弦值为，求的值．（1）证明：如图连接交于点，连接.因为且，所以，因为，所以，所以，所以，又因为平面，平面,所以平面.（2）解：如图建立空间直角坐标系，则,，则,，因为，所以，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，得，所以，解得或（舍）所以的值为.18.已知等比数列的公比为，，.数列满足，数列的前项和为．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）记，是否存在，对于都有成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意得，解得或（舍），所以.（2）当时，当时=.所以，所以.令则则.则，即，又因为，所以.所以数列的通项公式为.（3），，当时，；当时，；当时，.所以存在或对于都有成立．19.已知椭圆M:的左、右焦点为，，离心率为.（1）求椭圆的标准方程;（2）设点在椭圆上，点在射线上，且满足.（i）求点的横坐标(用表示)；（ⅱ）判断并证明线段的垂直平分线与椭圆的位置关系.（1）解：由已知得：，解得：，，椭圆的标准方程为：；（2）（ⅰ）解：在椭圆上.所以，，，，设，则，，，点的横坐标为：（ⅱ）证明：设线段中点为，，线段的垂直平分线为.假设直线与椭圆有另一个交点，则.，又在中，故假设不成立.因此，直线与椭圆有且仅有一个交点，法二：设线段中点为.则线段的垂直平分线为.由得：