浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省温州市2026届高三上学期期末质量评价数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.高三某班10名同学的数学模考成绩（满分150）依次为：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，这组数据的第25百分位数为（）A.112.5 B.115 C.142.5 D.145【答案】B【解析】将数据从小到大排列：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，因为，故从小到大，选择第3个数作为这组数据的第25百分位数，即115.故选：B.2.已知是过，两点的直线的一个方向向量，则实数为（）A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】已知，，所以是直线的一个方向向量；因为向量也是直线的方向向量，所以它与共线，所以，解得，故选：A.3.已知是奇函数，则实数的值为（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】要使有意义，则，即，解得或.所以函数的定义域为，关于原点对称..因为，所以，即，也即，因为，所以.故选：C.4.已知，为实数，则“与都是无理数”是“是无理数”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】取，显然有与都是无理数，但是有理数，即“与都是无理数”推不出“是无理数”，取，则，显然有是无理数，但不满足与都是无理数，即“是无理数”推不出“与都是无理数”，所以“与都是无理数”是“是无理数”的既不充分也不必要条件.故选：D.5.已知函数，则（）A.0 B.6 C.12 D.24【答案】D【解析】令，则，所以，所以.故选：D.6.已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等比数列，则椭圆离心率的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，则，又，且，，成等比数列，则，得到，当且仅当，即时取等号，所以，故选：B.7.若且，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，所以，即，解得，故.故选：B.8.已知正三棱台，，且侧面与底面的夹角的余弦值为，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，取正中心，的中点为，记，，交于点，作于，则面，，，，所以为侧面与底面的夹角，可知，设，，，则，，作于，因为，，平面，，所以平面，平面，故，又，平面，所以面，记与面的夹角为，如图，，解得，因为，，所以，所以，所以.故选：A.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.我国“天宫勘探计划”中，AI自主从编号1-12的深空探测目标（含行星、小行星等）里随机选一个执行任务，定义：事件：“选中奇数编号目标”（对应具备稀有金属开采价值的天体）事件：“选中编号小于7的目标”（对应我国近地测控覆盖范围内的天体）事件：“选中1，2，4，8号目标”（对应已通过天眼确认存在特殊星际物质的重点目标）现在需要分析AI选择探测目标时，以下任务事件的概率关系正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由题可得总样本数为12（编号1-12），事件为“选中奇数编号目标”：，共6个，则，事件为“选中编号小于7的目标”，共6个，则，事件为“选中1，2，4，8号目标”，共4个，则;事件AB为“奇数且编号小于7”，即，共3个，,,所以，故A正确；事件AC为“编号为1”，共1个，所以,则，故B正确；事件为“编号为3,5,7,9,11”，共5个，所以,所以;所以，故C错误；事件为“编号为1”，共1个，所以,;所以，故D正确.故选：ABD.10.已知，，为三个不同的平面，，，为三条不同的直线，，，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AC【解析】如下图，因为，，，所以，又，，所以，故，故A、C正确；如下图，若，不一定垂直，故B错误；若，不一定垂直，故D错误.故选：AC.11.已知函数图象上存在三个不同的点满足横坐标依次成等差数列，且纵坐标依次成等比数列，则可以是（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】设函数图象上的三个不同点为，，.因为纵坐标依次成等比数列，所以.选项A：，，..当，即（且）时，，满足，故A正确.选项B：，，.，，又，当且仅当，即时等号成立，因为，所以，所以，故B错误.选项C：，，.，，，令，则，即，整理得，又，所以，即.所以对任意实数，均能取到，满足，故C正确.选项D：定义域为.，，.，.令.只需证，，函数存在零点即可，取，当时，,当时，，，，故，所以当时，，由零点存在定理可知，函数在区间上存在零点，即存在不同的三点满足条件，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知复数，，其中为虚数单位，则__________．【答案】【解析】由复数三角形式乘法法则得到:.故答案为：.13.函数的最小值为__________．【答案】1【解析】函数的定义域为；令，解得，当时，，求导得到，所以函数在上单调递减，在第一段上，最小值在处取得，.当时，，求导得到，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；因此，是第二段的最小值点，计算得；因为，所以函数的最小值为1.故答案为：1.14.已知外接圆的半径为1，的角平分线交圆于另一点，，则的取值范围是__________，的最小值是__________．【答案】；【解析】如图，不妨取在优弧上，在劣弧上，外接圆的半径，，即，解得，，为的角平分线，，，，即；设，则，，，，，，，故当，即时，取得最小值．故答案为：；．四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤．15.有和两道谜语，张某猜对谜语的概率为0.8，猜对得奖金10元；猜对谜语的概率为0.5，猜对得奖金20元．若规定只有猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道，且猜谜语的顺序由张某选择．（1）求张某猜对两道谜语的概率；（2）张某该选择先猜哪一道？请说明理由．解：（1）记张某先猜对后猜对为事件，先猜对后猜对为事件，所以张某猜对两道谜语的概率为.（2）若张某先猜获得的奖金为元，则010300.20.40.4先猜获得奖金为元，则020300.50.10.4，因此张某应选择先猜谜语.16.已知函数的部分图象如图所示，是图象的一个最低点，是图象的一个最高点．（1）求函数的解析式；（2）已知也是图象的最低点，是图象与轴的交点，求．解：（1）由最低点和最高点可知，所以，因为，，所以，将代入上式得，所以或.（2）令，可得，，由最低点和得，，，，，故.17.已知等差数列的前项和为，，，数列满足．（1）求数列、的通项公式；（2）将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，由，得，得，，所以，当时，由①，得②，①②得，所以，当时，，可得，也满足，所以.（2）因为，，当为偶数时，，此时被除余，为数列中的项；当为奇数时，，此时被整除，不为数列中的项，所以，.18.已知平面直角坐标系上一动点满足，，．（1）求点的轨迹曲线的方程；（2）斜率为的直线与曲线交于，两点，点．①求直线，的斜率之和；②的外接圆圆心是否在某定直线上？说明理由．解：（1）由题意知，，所以动点的轨迹为双曲线的右支，，，即，，所以，所以点的轨迹曲线的方程为.（2）①设直线的方程为，，，直线和的斜率分别为，，联立得，，由题意得，解得，于是，，所以，所以．②直线的中垂线为，直线的中垂线为，联立直线方程得：，消得，于是，所以，代入得，当时，点在直线上，不符合题意，故，又消得：，推出，推出：，得：，得：，又，则，又，所以，故外接圆圆心，令，消去得，故必在直线上.19.已知四面体，，，，，为的三等分点（靠近），为的中点，过点的动平面交射线，，于，，．（1）如图，当时，①求的长；②空间中一动点，定义．当四面体的体积最小时，是否存在点，使得？并说明理由；（2）当时，记四面体内切球的半径为，求的最大值．解：（1）①，所