北京市朝阳区2026届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1北京市朝阳区2026届高三上学期期末数学试题一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】不等式的解集为，即，已知，故.故选：D.2.已知复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】由可得，则复数对应的点为，在第一象限.故选：A.3.在等比数列中，若，则（）A.6 B.9 C.15 D.81【答案】B【解析】设等比数列的公比为，则，，.故选：B.4.已知，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，因为，所以可得，，，则，即，所以，故A错误；对于B，令，则，则，故B错误;对于C，根据均值不等式，当且仅当时等号成立，又因为，所以等号不成立，则，故C错误;对于D，因为，所以，由基本不等式可知，当且仅当时等号成立，而，所以等号不成立，则，故D正确.故选：D.5.古希腊数学家阿基米德的一个重要数学发现是“圆柱容球”，即当球的直径与圆柱底面的直径和圆柱的高均相等时，球的体积是圆柱体积的，且球的表面积也是圆柱表面积的．如图所示，在一个“圆柱容球”的模型中，若球的体积为，则该模型中圆柱的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为，圆柱的高等于直径，圆柱的高等于，球的体积为，，，圆柱的表面积公式为.故选：D.6.已知抛物线，直线，若直线与抛物线有且仅有一个公共点，则的取值有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】C【解析】联立方程组，可得，因为直线与抛物线有且仅有一个公共点，所以有唯一解，当时，方程变为，解得，符合题意，当时，此时，化简得，解得或，符合题意，则的取值有3个，故C正确.故选：C.7.心理物理学中，史蒂文斯幂定律的对数形式可描述物理刺激强度与主观感知强度的关系：，其中均为大于0的常数．已知当物理刺激强度从16单位增加到256单位时，增加8；当物理刺激强度从256单位增加到1024单位时，增加（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】A【解析】当物理刺激强度为16单位时，；当物理刺激强度为256单位时，；当物理刺激强度为1024单位时，；因为物理刺激强度从16单位增加到256单位时，增加8；所以，解得，所以，当物理刺激强度从256单位增加到1024单位时，增加.故选：A.8.已知数列满足，则“”是“是递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】是递增数列的充要条件是对任意恒成立.已知，所以.，令，则.因为，所以恒成立，故只需对任意恒成立，即对任意恒成立.令，，该函数是关于的增函数，因此在时取得最小值，.故是递增数列的充要条件是.故选：C.9.已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，设的轨迹为曲线，下面关于曲线的四个结论：①曲线是中心对称图形；②对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点；③对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点；④对任意非零实数，曲线与曲线总有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A.①③ B.①② C.②③④ D.①②④【答案】B【解析】设，由题可得.对于①，设在曲线C上，则.对于，代入方程左边可得，从而也在曲线C上，即曲线C为中心对称图形，故①正确；对于②，将与联立，则.对于方程，其判别式为，则方程总有两相异实根，又注意到当且仅当，方程有根，则不为0时，与曲线C总有两不同交点，故②正确；对于③，将与联立，则，显然时，方程无实数根，则当时，与曲线C无交点，故③错误；对于④，将与联立，则，显然时，方程无实数根，则当时，与曲线C无交点，故④错误.综上，可得①②正确.故选：B.10.在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如图，以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系.因正三角形的边长为1，则，因分别在边上，不妨设，可得；设，可得.则，又，则，则（*）因，则，将（*）代入上式，可得，由（*）可得，当且仅当时取等，由可得，依题意，，设，则，在上单调递减，故.故选：A.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.函数的最小正周期是___________．【答案】【解析】由，则函数的最小正周期是.故答案为：.12.已知，则___________；+___________.【答案】；【解析】令，则，即；令，则；所以.故答案为：；.13.若双曲线的离心率，则的一个取值为___________．【答案】（答案不唯一）【解析】由题意得双曲线方程为，将其化为标准方程，可得，则，得到，因为，所以，解得，则的一个取值为.故答案为：（答案不唯一）.14.在中，，则___________；若的内切圆的半径为，则的周长为___________．【答案】；【解析】由正弦定理得，设的面积为，周长为，内切圆的半径为，所以，则，则，即，由余弦定理得，联立，解得，所以的周长为.故答案为：；.15.在长方体中，，动点分别在棱和上（包含端点），为线段的中点．给出下列四个结论：①点的轨迹是线段；②的最小值为；③对于给定的点，总存在点，使得经过点及的平面截该长方体的截面图形是矩形；④存在点，使得经过点及的平面截该长方体的截面图形是正方形．其中所有正确结论的序号为___________．【答案】①③④【解析】对于①，过作交于点，交于点，，，为线段的中点，动点分别在棱和上（包含端点），，，，，，连接，设，连接，设，连接，，在线段上，点的轨迹是线段，故①正确；对于②，点在线段上，故当点与点重合时，最小，且最小值为，故②错误；对于③，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，设，，，若，则，解得或，此时，所以对于任意给定的点，总存在点（与重合），使得经过点及的平面截该长方体的截面图形是矩形，故③正确；对于④，，，若，则，解得或，此时，，，若，则，解得，当时，则转化为，即，，，，故当，时，经过点及的平面截该长方体的截面图形是正方形，当时，则转化为，此方程无解；综上可知，存在点，使得经过点及的平面截该长方体的截面图形是正方形，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数.（1）当时，求的值；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得函数唯一确定，求的解析式及在区间上的最大值与最小值.条件①：在处取得最大值，且在处取得最小值；条件②：的图象关于直线对称，且的最小正周期大于；条件③：在区间上单调递增，且.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.解：（1）依题意，；所以当时，，所以.（2）选条件①：在处取得最大值，且在处取得最小值；设的周期为，则，所以，又，所以，解得，不符合函数唯一确定的条件；选条件②：的图象关于直线对称，且的最小正周期大于；由，得，解得，的最小正周期，解得；又，，所以当时，，此时唯一确定，符合题意；当时，，所以，所以；综上，的解析式为；当时，取得最小值，当时，取得最大值；选条件③：在区间上单调递增，且；由，由，得，解得；当时，，因为在区间上单调递增，所以，解得，又，所以；所以当时，，此时唯一确定，符合题意；当时，，所以，所以；综上，的解析式为；当时，取得最小值，当时，取得最大值.17.某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表：性能评分行业评级公司数51043220110（1）当时，在这100家公司中，（i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率；（ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求的分布列和数学期望；（2）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为．设“”的概率为，“”的概率为，请根据表中信息比较与的大小．（结论不要求证明）解：（1）（i）当时，可得性能评分不低于80分的公司有家，其中行业评级为5级的公司有家，所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为；（ii）由记为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则的可能取值为，可得，，，所以随机变量的分布列为012所以期望为.（2）解：由题意，可得，可得，抽取100家公司的行业评级总和为，所以，其取值范围为，该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率，则两家的评级都为2级的概率为，此时两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为，平均级别为；两家的评级都为5级的概率为，平均级别为，因为，当且仅当时，满足，此时，又因为且，当且仅当或，满足，此时，所以.18.在四棱锥中，平面平面，，．分别为棱上的点，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）若点为线段的中点，判断直线是否在平面内？并说明理由．（1）证明：因平面平面，平面平面，，平面，则平面；（2）解：如图过作平行线交于，由题设可得.然后如图建立以为原点的空间直角坐标系.则..因，则.则，又，则，设平面法向量为，则，令，可得可为.又易得平面的法向量为.设平面与平面夹角为，则.（3）解：由（2）可得，，.则.假设平面，则四点共面，从而存在实数，使，则.则，即在平面内.19.已知椭圆：的离心率为，椭圆上的点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）设点，，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点关于轴的对称点记为（与不重合）．若，试判断三点是否共线？并说明理由．解：（1）因为椭圆上的点到两焦点的距离之和为，所以，解得.又因椭圆的离心率为，所以，所以.所以.故椭圆的方程为.（2）依题意，直线的斜率不能为0，故可设其方程为，再设，，则.联立，整理得.令，即.则，.又，，所以.又，，则.分子所以，即，所以，又为公共点，所以三点共线.20.已知函数．曲线在点切线方程为．（1）求的值；（2）求的单调区间；（3）若，曲线在点处的切线分别与轴交于，求证：．（1）解：由，则，即，则.（2）解：由（1）知，，则，设，则，所以函数在上单调递增，又，则时，，时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（3）证明：由，得，，而，则，，所以曲线在点处的切线方程为，令，得，即.曲线在点处的切线方程为，令，得，即.则，，设，则，由于，则，，则，即，所以函数在上单调递增，则，即，由于，则，，由（2）知，时，，时，，则，，所以.21.设为正整数且，若由实数数对组成的序列满足对任意，均有，则称为一个序列．若对一个序列，存在有序实数组（其中）使得+，则称为一个序列．（1）已知序列，判断序列是否为序列？序列是否为序列？说明理由；（2）当时，判断是否存在序列不是序列？若存在，请举出一个符合要求的序列；若不存在，说明理由；（3）若任意序列均是序列，求的所有可能取值．解：（1）由可知序列为序列．取，有,，故，所以序列为序列．（2）存在序列不是序列．取，则，所以此时序列是序列．对任意有序实数组，可得，，从而．