临朐高二数学导数应用专项训练卷

临朐高二数学导数应用专项训练卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.函数f(x)=x³-3x+1在区间(-2,1)内的导数f'(x)的符号为（）A.始终为正B.始终为负C.先正后负D.先负后正2.若函数f(x)=x³-ax²+bx在x=1处有极值，且极值为-1，则a,b的值分别为（）A.a=3,b=0B.a=3,b=-3C.a=-3,b=3D.a=-3,b=-33.函数f(x)=x²lnx在区间(0,+∞)上的最小值为（）A.-1B.0C.1D.不存在4.若函数g(x)=x³-3x²+2x在区间(a,a+1)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.(-∞,1)B.(-1,2)C.[1,+∞)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)5.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则方程f(x)=k有三个不同实数解的条件是（）A.k<-2B.-2<k<2C.k>2D.k=-2或k=26.设函数f(x)=x³-3x²+4，则曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为（）A.y=8x-12B.y=8x+4C.y=-8x+20D.y=-8x+127.函数h(x)=x³-6x²+9x+1在区间[-1,4]上的最大值是（）A.10B.11C.12D.158.若函数m(x)=x³-ax+1在x=1处取得极值，则a的值为（）A.3B.-3C.2D.-2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。9.曲线y=x³-3x²+2在x=1处的切线方程为________.10.函数f(x)=x³-3x+2在区间[-2,3]上的最大值是________.11.若函数g(x)=x³-ax²+bx的图像在点(1,g(1))处的切线平行于直线y=3x-2，则a+b=________.12.已知函数f(x)=x³-3x²+2，则方程f(x)=0在区间(-2,1)内的实数根个数为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13.（本小题满分12分）已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1。(1)求函数f(x)的单调递增区间和单调递减区间；(2)求函数f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。14.（本小题满分13分）已知函数g(x)=x³-ax²+3x-1。(1)若g(x)在x=1处有极值，求a的值；(2)求函数g(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值。15.（本小题满分14分）已知函数f(x)=x³-3x²+2lnx。(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设a为实数，若方程f(x)=a在区间(0,+∞)内有且只有两个不同的实数解，求a的取值范围。16.（本小题满分15分）已知函数h(x)=x³-3x²+2x。(1)求曲线y=h(x)在点(1,h(1))处的切线方程；(2)设m>0，方程h(x)=m在区间(-1,3)内有相异两实数根，求m的取值范围。17.（本小题满分15分）已知函数F(x)=x³-3x²+2x-1。(1)求函数F(x)的导函数F'(x)，并判断F(x)在区间(1,4)内的单调性；(2)若存在x₁,x₂∈(1,4)，使得F(x₁)+F(x₂)=t成立，求实数t的取值范围。18.（本小题满分15分）已知函数φ(x)=x³-ax²+bx(a,b为常数)。(1)若a=1，讨论函数φ(x)的单调性；(2)若函数φ(x)在x=1处有极值，且图像在点(1,φ(1))处的切线方程为y=x-1，求a,b的值，并确定函数φ(x)的单调区间。试卷答案一、选择题：1.D2.B3.C4.A5.D6.A7.D8.A二、填空题：9.y=3x-210.511.-112.1三、解答题：13.解：(1)f'(x)=3x²-6x+2=3(x²-2x+(2/3))=3((x-1)²-(1/3))=3(x-1)²-1.令f'(x)>0，得3(x-1)²-1>0，即(x-1)²>1/3，解得x∈(-∞,1-√(1/3))∪(1+√(1/3),+∞)。令f'(x)<0，得3(x-1)²-1<0，即(x-1)²<1/3，解得x∈(1-√(1/3),1+√(1/3))。故函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-√(1/3))∪(1+√(1/3),+∞)；单调递减区间为(1-√(1/3),1+√(1/3))。(2)由(1)知，函数f(x)在x=1-√(1/3)处取得极大值，在x=1+√(1/3)处取得极小值。计算极值：f(1-√(1/3))=(1-√(1/3))³-3(1-√(1/3))²+2(1-√(1/3))+1=(1-√(1/3))²((1-√(1/3))-3)+2(1-√(1/3))+1=(1-2√(1/3)+1/3)(-2-√(1/3))+2-2√(1/3)+1=(-2√(1/3)-1/√(3))(-2-√(1/3))+3-2√(1/3)=4+2√(1/3)+2/√(3)+2/3+1/3=6+4√(1/3)+3/√(3)=6+5√(3)/3。f(1+√(1/3))=(1+√(1/3))³-3(1+√(1/3))²+2(1+√(1/3))+1=(1+√(1/3))²((1+√(1/3))-3)+2(1+√(1/3))+1=(1+2√(1/3)+1/3)(-2+√(1/3))+2+2√(1/3)+1=(2√(1/3)+1/√(3))(-2+√(1/3))+3+2√(1/3)=-4√(1/3)+2/3-2+1/3+3+2√(1/3)=6-√(1/3)=6-1/√(3)=6-√(3)/3。计算端点值：f(0)=0³-3(0)²+2(0)+1=1；f(3)=3³-3(3)²+2(3)+1=27-27+6+1=7。比较大小：f(1-√(1/3))=6+5√(3)/3≈6+5(1.732)/3≈6+2.887=8.887；f(1+√(1/3))=6-√(3)/3≈6-0.577=5.423；f(0)=1；f(3)=7。故最大值为f(1-√(1/3))=6+5√(3)/3，最小值为f(0)=1。14.解：(1)g'(x)=3x²-2ax+3.由题意，g'(1)=0，代入得3(1)²-2a(1)+3=0，即3-2a+3=0，解得a=3.(2)当a=3时，g'(x)=3x²-6x+3=3(x²-2x+1)=3(x-1)².因为(x-1)²≥0对所有实数x恒成立，且只有当x=1时取等号，所以g'(x)≥0对所有实数x恒成立。因此，函数g(x)在区间(-∞,+∞)上单调递增。所以，函数g(x)在区间[-2,2]上的最小值为g(-2)=(-2)³-3(-2)²+3(-2)-1=-8-12-6-1=-27；最大值为g(2)=(2)³-3(2)²+3(2)-1=8-12+6-1=1。故最小值为-27，最大值为1。15.解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)。f'(x)=3x²-6x+2lnx.令f'(x)=0，得3x²-6x+2lnx=0。令t=lnx，则方程变为3e²t-6e^t+2t=0，即(3e^t-1)(e^t-2)=0。解得e^t=1/3(舍去，因为t=lnx>0)或e^t=2，即lnx=ln2，得x=e^(ln2)=2。当x=2时，f'(x)=0。当0<x<2时，e^t<2，所以3e^t-1>0且e^t-2<0，即f'(x)<0。当x>2时，e^t>2，所以3e^t-1>0且e^t-2>0，即f'(x)>0。故函数f(x)在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,+∞)上单调递增。(2)方程f(x)=a在区间(0,+∞)内有且只有两个不同的实数解，等价于函数y=f(x)的图像与直线y=a在(0,+∞)内有且只有两个不同的交点。由(1)知，函数f(x)在x=2处取得极小值f(2)=2³-3(2)²+2ln2=8-12+2ln2=-4+2ln2。当a<f(2)=-4+2ln2时，由于f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，且lim(x→0+)f(x)=0，lim(x→+∞)f(x)=+∞，所以直线y=a与函数y=f(x)的图像在(0,+∞)内没有交点。当a=f(2)=-4+2ln2时，直线y=a与函数y=f(x)的图像在x=2处相切，只有一个交点。当f(2)<a<f(2)+4ln2时，直线y=a与函数y=f(x)的图像在(0,2)和(2,+∞)内各有一个交点。由f(2)+4ln2=-4+2ln2+4ln2=-4+6ln2。当a=f(2)+4ln2时，直线y=a通过点(2,f(2))，且与函数y=f(x)的图像在(2,+∞)内有且仅有一个交点，在(0,2)内没有交点。综上所述，实数a的取值范围是(f(2),f(2)+4ln2)=(-4+2ln2,-4+6ln2)。16.解：(1)h'(x)=3x²-6x+2.h'(1)=3(1)²-6(1)+2=3-6+2=-1.h(1)=(1)³-3(1)²+2(1)=1-3+2=0.故曲线y=h(x)在点(1,0)处的切线斜率为-1。切线方程为y-0=-1(x-1)，即y=-x+1。(2)方程h(x)=m在区间(-1,3)内有相异两实数根，等价于函数y=h(x)的图像与直线y=m在区间(-1,3)内有相异两交点。h'(x)=3x²-6x+2=3(x²-2x+(2/3))=3(x-1)²-1.令h'(x)=0，得x=1.当x∈(-1,1)时，h'(x)>0，函数h(x)在(-1,1)上单调递增；当x∈(1,3)时，h'(x)>0，函数h(x)在(1,3)上单调递增。函数h(x)在x=1处取得极小值h(1)=0。计算端点值：h(-1)=(-1)³-3(-1)²+2(-1)=-1-3-2=-6；h(3)=3³-3(3)²+2(3)=27-27+6=6。因为h(x)在(-1,3)上单调递增，所以h(x)的值域在(-6,6)内。当m=6时，方程h(x)=m在x=3处有唯一实数根。当m<6时，由于h(x)在(-1,3)上单调递增，且h(-1)=-6，h(3)=6，所以方程h(x)=m在(-1,3)内有且只有两个相异实数根。故实数m的取值范围是(-6,6)。17.解：(1)F'(x)=3x²-6x+2=3(x²-2x+(2/3))=3(x-1)²-1.令F'(x)=0，得x=1.当x∈(1,4)时，(x-1)²>(1/3)，所以F'(x)=3(x-1)²-1>0.因此，函数F(x)在区间(1,4)内单调递增。(2)存在x₁,x₂∈(1,4)，使得F(x₁)+F(x₂)=t成立。因为F(x)在(1,4)内单调递增，所以F(x₁)<F(4)且F(x₂)<F(4)。所以F(x₁)+F(x₂)<2F(4)。计算F(4)=4³-3(4)²+2(4)-1=64-48+8-1=23。所以t<2F(4)=2*23=46。同理，F(x)在(1,4)内单调递增，所以F(x₁)>F(1)且F(x₂)>F(1)。所以F(x₁)+F(x₂)>2F(1)。计算F(1)=1³-3(1)²+2(1)-1=1-3+2-1=-1。所以t>2F(1)=2*(-1)=-2。综上，实数t的取值范围是(-2,46)。18.解：(1)当a=1时，φ(x)=x³-x²+bx。φ'(x)=3x²-2x+b。令φ'(x)=0，得3x²-2x+b=0。判别式Δ=(-2)²-4*3*b=4-12b。当Δ>0，即b<1/3时，方程3x²-2x+b=0有两个不相等的实数根x₁,x₂。不妨设x₁<x₂，则函数φ(x)在区间(-∞,x₁)上单调递增，在区间(x₁,x₂)上单调递减，在区间(x₂,+∞)上单调递增。当Δ=0，即b=1/3时，方程3x²-2x+b=0有两个相等的实数根x₁=x₂=1/3。函数φ(x)在x=1/3处取得极大（也是最大）值，在(-∞,1/3)和(1/3,+∞)上单调递增。当Δ<0，即b>1/3时，方程3x²-2x+b=0无实数根。函数φ(x)在(-∞,+∞)上单调递增。综上所述：当b>1/3时，函数φ(x)的单调递增区间为(-∞,+∞)；当b=1/3时，函数φ(x)的单调递增区间为(-∞,+∞)；当b<1/3时，函数φ(x)的单调递增区间为(-∞,x₁)