《等比数列的概念及通项公式》课件

第1课时等比数列的概念及通项公式第四章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解等比数列的概念,理解等比中项的概念.(数学抽象)2.掌握等比数列的通项公式,能运用公式解决相关问题.(数学运算)3.掌握等比数列的判断与证明方法.(逻辑推理)课前篇自主预习【激趣诱思】从1976年至1999年在我国累计推广种植杂交水稻35亿多亩,增产稻谷3500亿千克,相当于每年解决3500万人的吃饭问题.这一切都归功于一个人——“杂交水稻之父”袁隆平,国际上称他培育的杂交水稻是“东方魔稻”“中国第五大发明”.袁隆平在培育某水稻新品种时,培育出第一代120粒种子,并且从第一代起,每粒种子都可以得到下一代的120粒种子,那么到第5代时大约可以得到这个新品种的多少粒种子?学习了本节内容之后,你就能得到这个问题的答案.【知识梳理】

一、等比数列一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.名师点析

对等比数列定义的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的比必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等比数列的基本特征).(3)公比q是每一项(从第2项起)与它的前一项的比,不要把分子与分母弄颠倒.(4)等比数列中的任何一项均不能为零.(5)等比数列的公比可以是正数、负数,但不能为零.微练习判断下列数列是不是等比数列.如果是,写出其公比q.②10,10,10,10,10,…;④1,0,1,0,1,0,…;⑤1,-4,16,-64,256,….解

①不是等比数列;②是等比数列,公比为1;③是等比数列,公比为

;④不是等比数列;⑤是等比数列,公比为-4.二、等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,此时

G2=ab.名师点析

等比中项概念的理解(1)只有同号的两个实数才有等比中项.(2)若两个实数有等比中项,则一定有两个,它们互为相反数.微练习2+和2-的等比中项是(

)A.1

B.-1

C.±1

D.2答案

C三、等比数列的通项公式首项为a1,公比为q的等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.名师点析

已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.微拓展(1)通项公式an=a·qn-1中q的次数可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后面的项a1的项数1.(2)变形公式an=amqn-m,此公式中q的次数也可以这样记:次数为等号前面的项an的项数n减去等号后面的项am的项数m.课堂篇探究学习探究一等比数列通项公式的应用例1在等比数列{an}中,求解下列问题:(1)若a2=3,a5=,求{an}的通项公式;(2)若a2=4,q=2,an=128,求n;(3)若a2+a5=18,a3+a6=9,求a7.分析先根据等比数列的通项公式,结合条件列出方程(组)求得a1,q,再解决其他问题.方法技巧等比数列的计算(1)等比数列的基本量是a1和q,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于a1和q的方程(组),再解方程(组),求得a1和q的值,最后解决其他问题.(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.变式训练

1在等比数列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.探究二等比中项及其应用例2(1)已知等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,求实数x的值.(2)已知等比数列{an},a2a3a4=64,a3+a6=36,求a1和a5的等比中项.分析(1)可由等比中项的定义建立关于x的方程求解;(2)先求出a1和a5的值,再根据等比中项的定义求解.解

(1)因为等比数列的前3项依次为x,2x+2,3x+3,所以x(3x+3)=(2x+2)2,解得x=-1或x=-4.又因为当x=-1时,2x+2=3x+3=0不合题意,所以实数x的值为-4.(2)因为{an}是等比数列,所以a3是a2和a4的等比中项,即

=a2a4,所以

=64,解得a3=4,从而a6=32.所以a5=a1q4=16.设a1和a5的等比中项为G,则G2=a1a5=16,所以G=±4,故a1和a5的等比中项是±4.反思感悟

涉及3个数成等比数列时,常利用等比中项列式求解,使用等比中项时,要注意只有同号的两个数才有等比中项,要注意根据题意选择等比中项的符号.变式训练

2在等差数列{an}中,a1=9,公差d=1.若ak是a1和a2k的等比中项,则k=(

)A.2

B.4

C.6

D.8答案

B解析

依题意,得

=a1a2k,即[9+(k-1)]2=9[9+(2k-1)],整理得k2-2k-8=0,解得k=4(k=-2舍去).探究三等比数列的判断与证明例3已知数列{an}是各项均为正数的等差数列,且lga1,lga2,lga4成等差数列,又bn=,n=1,2,3,…,则数列{bn}是不是等比数列?分析先求出数列{an}的通项公式,再求出数列{bn}的通项公式,从而判断{bn}是不是等比数列.

方法技巧判断或证明一个数列是等比数列的主要方法如下:①定义法:若当n≥1,n∈N*时,=q(q≠0,q为常数),则数列{an}为等比数列.②等比中项法:若

=anan+2(n∈N*),则数列{an}为等比数列.③通项公式法:若数列{an}的通项an=cqn(c,q≠0),则数列{an}为等比数列.变式训练

3已知数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列,令bn=,求证:数列{bn}是等比数列.证明

依题意an=3+(n-1)×2=2n+1,∴bn=52n+1,∴

=52=25.∴数列{bn}是首项为53=125,公比为25的等比数列.

素养形成构造等比数列求通项公式典例

(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,求通项公式an.(2)在数列{an}中,a1=3,an+1=,求通项公式an.分析(1)配常数;(2)取对数.∴{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列.∴an+1=(a1+1)·2n-1=2n,即an=2n-1.反思感悟

构造新数列的技巧有些数列本身不是等差、等比数列,但是通过适当的变形,可以构造出等差、等比数列.常见的构造方法有:(1)取倒数法;(2)配常数法;(3)取对数法;(4)配函数法等.

当堂检测1.下列数列为等比数列的是(

)A.0,1,2,4,… B.22,42,62,82,…C.q-1,(q-1)2,(q-1)3,(q-1)4,… 答案

D2.(天津河东高二期末)在等比数列{an}中,a3=1,a5=2,则首项a1=(

)答案

B答案

B4.在等比数列{an}中,已知a5+a1=34,a5-a1=30,则a3=(

)A.8 B.-8 C.±8 D.16答案

A解析

由a5+a1=34,a5-a1=30,得a1=2,a5=32,设公比为q,则q4==16,所以q2=4,所以a3=a1q2=2×4=8.5.若等比数列的首项为4,公比为2,则数列中第3项与第5项的等比中项为

.

答案

±32解析

∵a3=4×22=16,a5=4×24=64,6.若等比数列{an}的各项均为正数,且前3项依次为1,a+1,2a+5.(1)求该数列的通项公式;(2)判断728是不是该数列中的项.解

(1)依题意,得(a+1)2=2a+5,解得a=2(a=-2舍去).于是公比q==3,故通项公式为an=3n-1.(2)令3n-1=728,解得n=log3

728+1∉N*,所以728不是该数列中的项.知识点1

等比数列的定义1.下列数列不是等比数列的是(

)

B

A

BA.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

AA.8

B.10

C.12

D.16

ABC

A√B√C√D

知识点2

等比中项

A

AA.0

B.0或1

C.2

D.0或1或2

B