《数学归纳法》课件

第四章

4.4*数学归纳法课程标准1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点

数学归纳法的定义一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:归纳奠基

→证明当n取第一个值n0

(n0∈N*)时命题成立初始值n0的值要结合题意而定,不要理所当然认为是1归纳递推→以“当n=k(k∈N*,k≥n0)时命题成立”为条件,推出“当

时命题也成立”

只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法.n=k+1过关自诊1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为

n(n-3)条时,第一步应验证n的值是多少?提示

n=4.2.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(2n-1)+2n=2n-1+22n-1(n∈N*)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,左边增加的项数为

.

2k提示

左边增加的项为(2k+1)+(2k+2)+…+(2k+2k),共2k项.即当n=k+1时,等式也成立.由①②知,对于n∈N*等式成立.重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一对数学归纳法原理的理解【例1】

(1)用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于

.

答案

6

解析

由题意,得当n=1时,21<(1+1)2;当n=2时,22<(2+1)2;当n=3时,23<(3+1)2;当n=4时,24<(4+1)2;当n=5时,25<(5+1)2;当n=6时,26>(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n>(n+1)2(n∈N*)时,初始值n0应等于6.(2)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程如下:①当n=1时,左边=1,右边=21-1=1,等式成立.②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+2+22+…+2k-1=2k-1,则当n=k+1时,对于任何n∈N*,等式都成立.上述证明,错误是

.

答案

未用归纳假设

解析

本题在由n=k成立证明n=k+1成立时,应用了等比数列的求和公式,而未用上归纳假设,这与数学归纳法的要求不符.规律方法

数学归纳法的三个注意点(1)验证是基础:找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键:数学归纳法的实质在于递推,要正确分析式子中项数的变化,弄清式子两边的构成规律.(3)利用假设是核心:在第二步证明n=k+1时,一定要利用归纳假设.解析

在n=k+1时,没有应用n=k时的归纳假设,不是数学归纳法.则上述证法(

)A.过程全部正确 B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确D探究点二用数学归纳法证明等式【例2】

(1)用数学归纳法证明(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*),“从k到k+1”左端增乘的代数式为

.

答案

2(2k+1)解析

令f(n)=(n+1)(n+2)·…·(n+n),则f(k)=(k+1)(k+2)·…·(k+k),f(k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)·(2k+2),所以规律方法

用数学归纳法证明等式应注意的问题(1)首先根据待证等式的特征,明确等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关,由n=k变化到n=k+1时等式两边会增加(或减少)多少项.(2)利用归纳假设,将n=k时的式子经过恒等变形转化到n=k+1时的式子中得到要证的结论.变式训练2[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:首项为a1,公差为d的等这就是说,当n=k+1时等式也成立.根据①和②,可知等式对任意正整数n都成立.探究点三用数学归纳法证明不等式规律方法

用数学归纳法证明不等式的四个关键点

探究点四归纳—猜想—证明【例4】

将正整数进行如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),……分别计算各组包含的正整数的和,如下:S1=1,S2=2+3=5,S3=4+5+6=15,S4=7+8+9+10=34,S5=11+12+13+14+15=65,S6=16+17+18+19+20+21=111,……(1)求S7的值;(2)由S1,S1+S3,S1+S3+S5,S1+S3+S5+S7的值,试猜测S1+S3+…+S2n-1的结果,并用数学归纳法证明.解

(1)S7=22+23+24+25+26+27+28=175.(2)S1=1;S1+S3=16;S1+S3+S5=81;S1+S3+S5+S7=256;猜测S1+S3+…+S2n-1=n4.证明如下:记Mn=S1+S3+…+S2n-1.①当n=1时,猜想成立.②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,猜想成立,即Mk=S1+S3+…+S2k-1=k4.Mk+1=Mk+S2k+1=k4+4k3+6k2+4k+1=(k+1)4,所以当n=k+1时猜想也成立.由①②,可知对任意n∈N*,猜想都成立.规律方法

“归纳—猜想—证明”的基本步骤

计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想前n项和Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.根据①和②,可知猜想对任何n∈N*都成立.探究点五数学归纳法在证明整除问题中的应用【例5】

用数学归纳法证明:23n-1(n∈N*)能被7整除.证明(1)当n=1时,23×1-1=8-1=7,能被7整除.(2)假设当n=k(k∈N*)时,23k-1能被7整除,那么当n=k+1时,23(k+1)-1=8×23k-1=8×23k-8+7=8(23k-1)+7,因为23k-1能被7整除,所以8(23k-1)+7能被7整除,所以当n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)可知,23n-1(n∈N*)能被7整除.规律方法

使用数学归纳法证明整除问题常用的方法:将n=k+1时的式子分成两部分,一部分应用归纳假设,另一部分通过变形处理,确定其能够被某个数整除.常用的变形技巧是加减同一个数以方便能够提取公因式.变式训练5[北师大版教材习题]用数学归纳法证明:x2n-y2n能被x+y整除(n∈N*).证明①当n=1时,x2-y2=(x+y)(x-y).故x2-y2能被x+y整除,命题成立.②假设当n=k(k≥1)时,x2k-y2k能被x+y整除.那么,当n=k+1时,x2k+2-y2k+2=x2x2k-y2y2k.

把x2k=(xk+yk)(xk-yk)+y2k,代入

得x2k+2-y2k+2=x2(xk+yk)·(xk-yk)+x2y2k-y2y2k=x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2),由假设知x2k-y2k能被x+y整除,x2-y2能被x+y整除,故x2(x2k-y2k)+y2k(x2-y2)能被x+y整除.所以当n=k+1时,命题成立.综上,对于n∈N*,原命题成立.本节要点归纳1.知识清单:(1)数学归纳法的概念.(2)增加或减少项的个数问题.(3)用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题.(4)归纳—猜想—证明.2.方法归纳:代入法检验,数学归纳法.3.常见误区:(1)对n0取值的问题易出错;(2)增加或减少的项数易出错;(3)从n=k到n=k+1时,注意两边项数的变化.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测1234561.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,第一步当n=1时,左边的代数式是(

)A.1 B.1+2C.1+2+3 D.1+2+3+4+5C解析

因为1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1),所以当n=1时,左边的代数式是1+2+3.123456C1234563.用数学归纳法证明1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,从“n=k”到“n=k+1”,左边需增添的代数式是(

)A.(2k+1)+(2k+2) B.(2k-1)+(2k+1)C.(2k+2)+(2k+3) D.(2k+2)+(2k+4)C解析

当n=k时,左边共有2k+1个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1),所以当n=k+1时,左边共有2k+3个连续自然数相加,即1+2+3+…+(2k+1)+(2k+2)+(2k+3).所以左边需增添的代数式是(2k+2)+(2k+3).故选C.1234564.用数学归纳法证明“5n-2n(n∈N*)能被3整除”的过程中,n=k+1时,为了使用假设,应将5k+1-2k+1变形为(

)A.5(5k-2k)+3×2kB.(5k-2k)+4×5k-2kC.(5-2)(5k-2k)D.2(5k-2k)-3×5kA解析

假设当n=k(k∈N*)时,命题成立,即5k-2k能被3整除,则当n=k+1时,5k+1-2k+1=5×5k-2×2k=5×5