《等比数列前n项和的性质及应用》课件

第四章

4.3.2第2课时等比数列前n项和的性质及应用课程标准1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用.2.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题.3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点

等比数列前n项和的性质公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类:(1)数列Sm,S2m-Sm,

,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).

(2)当n是偶数时,S偶=

;

当n是奇数时,S奇=a1+

.

(3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(4)数列{an}为公比不为1的等比数列⇔Sn=A-Aqn,A≠0,q≠0且q≠1.S3m-S2m

S奇·qS偶·q过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(

)(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn=3n+k,则k=-1.(

)2.已知等比数列{an}的前3项和为1,前6项和为9,则它的公比q等于(

)√√C解析

∵S3=1,S6=9,∴S6-S3=8=a4+a5+a6=S3q3=q3,即q3=8,∴q=2.重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一等比数列前n项和的性质【例1】

(1)在等比数列{an}中,若S2=7,S6=91,则S4=

.

分析

根据所给题目特征选择运用等比数列前n项和的性质求解.答案

28解析

∵数列{an}是等比数列,且易知公比q≠-1,∴S2,S4-S2,S6-S4也构成等比数列,即7,S4-7,91-S4构成等比数列,∴(S4-7)2=7(91-S4),解得S4=28或S4=-21.又S4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,∴S4=28.(2)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=

.

(3)若数列{an}是等比数列,且其前n项和为Sn=3n+1-2k,则实数k等于

.答案

2规律方法

等比数列前n项和的性质(1)若数列{an}为非常数列的等比数列,且其前n项和为Sn=A·qn+B(A≠0,B≠0,q≠0,q≠1),则必有A+B=0;反之,若某一非常数列的前n项和为Sn=A·qn-A(A≠0,q≠0,q≠1),则该数列必为等比数列.(2)若等比数列{an}的前n项和为Sn,则(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).特别地,如果公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等比数列.(3)当等比数列{an}的项数为偶数时,偶数项的和与奇数项的和之比等于公B解析

设S2=k,S4=3k,由数列{an}为等比数列(易知数列{an}的公比q≠-1),得S2,S4-S2,S6-S4为等比数列.又S2=k,S4-S2=2k,∴S6-S4=4k.∴S6=7k,(2)已知等比数列{an}共有32项,其公比q=3,且奇数项之和比偶数项之和少60,则数列{an}的所有项之和是(

)A.30 B.60 C.90 D.120D解析

设等比数列{an}的奇数项之和为S1,偶数项之和为S2,则S1=a1+a3+a5+…+a31,S2=a2+a4+a6+…+a32=q(a1+a3+a5+…+a31)=3S1.又S1+60=S2,则S1+60=3S1,解得S1=30,S2=90,故数列{an}的所有项之和是30+90=120.探究点二等差数列与等比数列的综合问题的等差中项,6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3;(2)求数列{an}的前n项和;(3)求数列{Sn}的前n项和.分析先利用等差中项与等比中项求出S2与S3,进而求出a1与公比q,再写出Sn,根据Sn的特点求{Sn}的前n项和.规律方法

数列综合问题的关注点(1)等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点,特别是等差与等比数列的通项公式、前n项和公式,以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.(2)利用等比数列前n项和公式时应注意公比q的取值,熟悉两种数列的性质,知道它们的推导过程,利用好性质,可降低题目的难度,解题时有时还需利用条件联立方程组求解.变式训练2已知等差数列{an}和各项均为正数的等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5.(1)求{an}的通项公式;(2)求数列{bn}的前n项和.解

(1)设等差数列{an}公差为d,等比数列{bn}公比为q,q>0,因为a1=b1=1,a2+a4=10,b3=a5,所以1+d+1+3d=10,q2=1+4d,∴d=2,q=3.因此an=1+(n-1)×2=2n-1,bn=1×3n-1=3n-1.探究点三数列在实际中的应用【例3】

某企业进行技术改造,有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计息,试比较两种方案,哪种方案净获利更多?(1.0510≈1.629,1.310≈13.786,1.510≈57.665)解

甲方案:十年获利中,每年获利数构成等比数列,首项为1,公比为1+30%,前10项和为S10=1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9.又贷款本息总数为10×(1+5%)10=10×1.0510≈16.29(万元),甲方案净获利42.62-16.29=26.33(万元).比较两方案可得甲方案净获利更多.规律方法

银行存款中的单利是等差数列模型,利息按单利计算,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+nr);复利是等比数列模型,按复利计算的一种储蓄,本金为P元,每期利率为r,存期为n,则本利和公式为S=P(1+r)n.变式训练3[北师大版教材例题]一个热气球在第1min上升了25m的高度,在以后的每1min里,它上升的高度都是它在前1min上升高度的80%.这个热气球上升的高度能达到125m吗?本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列前n项和性质的应用.(2)等比数列前n项和的实际应用.2.方法归纳:公式法、分类讨论法.3.常见误区:(1)应用等比数列的性质时易忽略其成立的条件;(2)公比q不确定时易忽视对q的讨论.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测123451.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于(

)A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3A解析

在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因为S10∶S5=1∶2,123452.已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为(

)A.5 B.7

C.9

D.11A解析

根据题意,数列{an}为等比数列,设公比为q,则an=a1qn-1=qn-1,又由数列

123453.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有1个这种细菌和200个这种病毒,问细菌将病毒全部杀死至少需要(

)A.6秒钟 B.7秒钟

C.8秒钟 D.9秒钟C解析

根据题意,每秒钟细菌杀死的病毒数成等比数列,此数列的首项是1,公比是2.设需要n秒细菌可将病毒全部杀死,则1+2+22+23+…+2n-1≥200,∴

≥200,∴2n≥201,结合n∈N*,解得n≥8,即至少需要8秒细菌将病毒全部杀死.123454.若等比数列{an}的公比为,且a1+a3+…+a99=60,则{an}的前100项和为