《基本初等函数的导数 导数的四则运算法则》课件

5.2.1基本初等函数的导数5.2.2导数的四则运算法则第五章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.能应用导数的定义求几个常见函数的导数.(逻辑推理)2.掌握基本初等函数的导数公式,并会求函数的导数.(数学运算)3.掌握导数的四则运算法则,能进行导数的运算.(数学运算)课前篇自主预习【激趣诱思】高铁是一种非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s(单位:m)关于时间t(单位:s)的函数s=f(t)=2t2,求它的瞬时速度,即求f(t)的导数.根据导数的定义,就是求当Δt→0时,所趋近的那个定值,运算比较复杂,而且,有的函数如y=sinx,y=lnx等很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢?【知识梳理】

一、几个常用函数的导数

微练习已知f(x)=x2,则f[f'(-2)]的值等于

;若f'(x0)=8,则x0=

.

答案

16

4解析

因为f(x)=x2,所以f'(x)=2x,于是f'(-2)=-4,故f[f'(-2)]=f(-4)=(-4)2=16.由f'(x0)=8知2x0=8,故x0=4.二、基本初等函数的导数公式

微练习求下列函数的导数:(1)f(x)=x-4;(2)f(x)=;(3)f(x)=2-x;(4)f(x)=sinπ.解

(1)因为f(x)=x-4,所以f'(x)=-4·x-4-1=-4x-5.(4)因为sin

π=0,故f'(x)=0.三、导数的四则运算法则1.[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).2.[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x),特别地,[cf(x)]'=cf'(x).名师点析

两个函数和与差的导数运算法则可以推广到若干个函数和与差的情形:[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]'=f1'(x)±f2'(x)±…±fn'(x).微思考

课堂篇探究学习探究一导数公式与运算法则的简单应用例1求下列函数的导数:(4)y=(x+1)(x-1)(x2+1).分析根据每个函数的解析式的构成特点,利用求导公式和运算法则进行求解.

探究二利用导数公式与运算法则求复杂函数的导数例2求下列函数的导数:方法技巧求复杂函数的导数的方法求函数的导数时,一般要遵循“先化简再求导”的原则,这样一方面可以简化求导的过程,另一方面可以解决有些函数根本没法直接运用公式和法则求导的问题.尤其是当函数解析式中含有三角函数时,更需要先运用相关的三角函数公式对解析式进行化简与整理,最后再套用公式求导.延伸探究

1(变条件)把例2(4)的函数换成“y=xtanx”,求其导数.探究三导数公式与运算法则的综合应用角度1

解析式中含f'(a)的导数问题例3(陕西延安黄陵中学高三期中)已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=2xf'(1)+ln,则f(1)=(

)A.-e B.2 C.-2 D.e答案

B解析

因为f(x)=2xf'(1)+ln=2xf'(1)-ln

x,所以f'(x)=2f'(1)-.所以f'(1)=2f'(1)-1,解得f'(1)=1.所以f(x)=2x+ln,f(1)=2+ln

1=2.故选B.方法点拨(1)函数解析式中含f'(a)的导数问题,求解时应先将f'(a)看作是一个常数,求出f'(x)后,再令x=a,求f'(a);(2)本题中求f(x)=2xf'(1)+ln的导数可利用对数的运算性质,将函数变形为f(x)=2xf'(1)-ln

x,这样可以方便求函数的导数.变式训练

2(武汉外国语学校高二期末)已知f(x)=x2-xf'(0)-1,则f(2)的值为(

)A.1 B.-1 C.3 D.-3答案

C解析

∵f(x)=x2-xf'(0)-1,∴f'(x)=2x-f'(0),∴f'(0)=-f'(0),∴f'(0)=0.∴f(x)=x2-1,因此f(2)=22-1=3.角度2

利用导数公式及函数性质解题例4已知f1(x)=sinx+cosx,fn+1(x)是fn(x)的导函数,即f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N*,则f2021(x)=(

)A.sinx+cosx

B.sinx-cosxC.-sinx+cosx D.-sinx-cosx答案

A解析

因为f1(x)=sin

x+cos

x,所以f2(x)=f'1(x)=cos

x-sin

x,f3(x)=f'2(x)=-sin

x-cos

x,f4(x)=f'3(x)=-cos

x+sin

x,f5(x)=f'4(x)=sin

x+cos

x,……,可知fn(x)的解析式周期为4.因为2

021=505×4+1,所以f2

021(x)=f1(x)=sin

x+cos

x,故选A.方法点拨涉及与三角函数有关的导数问题,应明确三角函数的导数仍然是周期函数.角度3

逆用导数公式及运算法则求函数解析式

答案

f(x)=-2x-1(答案不唯一)方法点拨根据函数的导数的解析式求解原函数问题,应从导函数的解析式入手逆用导数运算法则,求解时要注意此类问题的答案是不唯一的.变式训练

3已知函数y=f(x)的导函数f'(x)=,写出f(x)的一个解析式:

.

答案

f(x)=2lnx(答案不唯一)探究四导数几何意义的综合问题例6已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点的坐标.分析利用导数的几何意义求解,但要注意(2)中切线经过原点,而原点不在曲线上,故应另设切点.解

(1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴在点(2,-6)处的切线的斜率k=f'(2)=3×22+1=13,故切线的方程为y+6=13(x-2),即13x-y-32=0.解得x0=-2.因此y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.故直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).方法技巧曲线切线方程的求解方法求曲线的切线方程要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异:过点P的切线中,点P不一定是切点,点P不一定在已知曲线上;而在点P处的切线,必以点P为切点.遇到类似问题时,必须分清所给的点是不是在曲线上,即是不是切点.如果是切点,那么该点处的导数即切线的斜率;如果不是切点,那么应先设出切点坐标,再利用两点连线的斜率公式与导数建立联系,进行求解.答案

(1)-2

(2)D

素养形成函数解析式中含多个因式的积的导数的求法典例

(多选)(江苏宿迁高二期中)若定义n!=1×2×3×…×n(n∈N*),已知f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20),下列结论正确的是(

)A.f'(0)=20! B.f'(1)=19!C.f'(19)=-19! D.f'(20)=-20!解析

∵f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20)=x[(x-1)(x-2)…(x-20)],∴f'(x)=(x-1)(x-2)(x-3)…(x-20)+x[(x-1)(x-2)(x-3)…(x-20)]',∴f'(0)=(-1)×(-2)×…×(-20)=20!,故A正确;f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20)=(x-1)[x(x-2)(x-3)…(x-20)],∴f'(x)=x(x-2)(x-3)…(x-20)+(x-1)[x(x-2)(x-3)…(x-20)]',f'(1)=1×(-1)×(-2)×…×(-19)=-19!,故B错误;同理,由f(x)=x(x-1)(x-2)…(x-20)=(x-19)[x(x-1)(x-2)…(x-18)(x-20)]=(x-20)[x(x-1)(x-2)…(x-19)]可知f'(19)=-19!,f(20)=20!,故C正确,D错误.故选AC.答案

AC方法点睛函数解析式中含多个因式的积的导数的求解应将多项式的乘法看作是二项式乘法,结合积的导数法则求解;另外对于虽是多项,但是项数较少的也可以将多项式展开后求导.变式训练

设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),且f'(0)=6,则k=(

)A.0 B.-1 C.3 D.-6答案

B解析

f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k)=x[(x+k)(x+2k)(x-3k)],即f'(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x[(x+k)(x+2k)(x-3k)]',则f'(0)=-6k3=6,所以k=-1.故选B.

当堂检测答案

B2.(四川双流中学高二月考)下列结论不正确的是(

)A.若f(x)=0,则f'(x)=0B.若f(x)=cosx,则f'(x)=sinx答案

B解析

对A,f(