2025年河北省高起专数学（理科）试题含答案

2025年河北省高起专数学（理科）试题含答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.若函数f(x)=2x+3在区间（2，3）上是增函数，则f(3)与f(2)的大小关系是（）

A.f(3)>f(2)

B.f(3)<f(2)

C.f(3)=f(2)

D.无法确定

答案：A

解析：由于f(x)=2x+3是线性函数，且斜率k=2>0，所以在区间（2，3）上f(x)是增函数。因此，f(3)>f(2)。

2.若a、b是方程x^2(a+1)x+b=0的两根，且a、b同号，则a的取值范围是（）

A.a>0

B.a<0

C.a=0

D.a≠0

答案：B

解析：根据韦达定理，a+b=a+1，且a、b同号。由于a、b同号，所以a+b>0。解得a>1。又因为a、b同号，所以a<0。

3.已知函数f(x)=|x2|，则f(x)在区间（1，3）内的取值范围是（）

A.[0，1]

B.[1，2]

C.[0，2]

D.[1，3]

答案：C

解析：当1<x<2时，f(x)=2x，此时0<f(x)<1；当2≤x<3时，f(x)=x2，此时0<f(x)<1。因此，f(x)在区间（1，3）内的取值范围是[0，2]。

4.若函数f(x)=3x^34x^2+1的极值点为x=1和x=3，则f(x)在区间（0，1）上的单调性是（）

A.单调递增

B.单调递减

C.先增后减

D.先减后增

答案：B

解析：求导得f'(x)=9x^28x。当0<x<1时，f'(x)<0，因此f(x)在区间（0，1）上单调递减。

5.若a、b、c成等比数列，且a+b+c=14，abc=27，则a、b、c分别是（）

A.1，3，9

B.3，1，9

C.9，3，1

D.1，9，3

答案：A

解析：设等比数列的公比为q，则有b=aq，c=aq^2。由abc=27得aq^3=27，解得a=1，q=3。因此，a、b、c分别为1、3、9。

6.若平行线l1：x+2y1=0和l2：x+2y+3=0之间的距离为d，则d=（）

A.2

B.4

C.6

D.8

答案：A

解析：两平行线间的距离公式为d=|c1c2|/√(a^2+b^2)，代入得d=|(1)3|/√(1^2+2^2)=2。

7.若函数f(x)=x^2+kx+1在区间（∞，+∞）上单调递增，则实数k的取值范围是（）

A.k≤0

B.k≥0

C.k<0

D.k>0

答案：A

解析：f(x)的导数为f'(x)=2x+k。要使f(x)在区间（∞，+∞）上单调递增，f'(x)应始终大于0，即2x+k≥0。因此，k≤0。

8.若向量a=(2，3)和向量b=(m，n)垂直，则m、n满足的关系是（）

A.2m+3n=0

B.2m3n=0

C.m^2+n^2=0

D.m^2n^2=0

答案：A

解析：向量a和向量b垂直，即它们的点积为0，即2m+3n=0。

9.若矩阵A=[[1，2]，[3，4]]的行列式为2，则矩阵A的逆矩阵A^1是（）

A.[[1/2，1/2]，[1/2，1/2]]

B.[[2，1]，[3，1]]

C.[[1，2]，[3，4]]

D.[[1，2]，[3，4]]

答案：A

解析：A的行列式为2，所以A^1=(1/2)[[4，2]，[3，1]]=[[1/2，1/2]，[1/2，1/2]]。

10.若函数g(x)=x^22x+1的最小值为m，则m的值为（）

A.0

B.1

C.1

D.2

答案：B

解析：g(x)=(x1)^2，最小值为0，即g(1)=1^221+1=0。但题目要求最小值为m，所以m=1。

二、填空题（每题4分，共40分）

1.若a、b、c成等差数列，且a+b+c=12，abc=27，则a、b、c分别是______、______、______。

答案：3、4、5

解析：a、b、c成等差数列，设公差为d，则有b=a+d，c=a+2d。由a+b+c=12得3a+3d=12，即a+d=4。由abc=27得a(a+d)(a+2d)=27，代入a+d=4得a(4d)(4+d)=27。解得d=1，a=3，b=4，c=5。

2.若函数f(x)=x^36x^2+9x1在x=2处取得极大值，则函数f(x)在x=3处的取值是______。

答案：5

解析：f'(x)=3x^212x+9。令f'(x)=0得x=1或x=3。由于f(x)在x=2处取得极大值，所以x=2是f'(x)的根，即f'(2)=0。代入f'(x)得32^2122+9=0，解得f(3)=3^363^2+931=5。

3.若函数y=ax^2+bx+c在x=1处取得极小值，且a、b、c成等差数列，则b的取值范围是______。

答案：b≤2

解析：f'(x)=2ax+b。由于在x=1处取得极小值，所以f'(1)=0，即2a+b=0。又因为a、b、c成等差数列，所以2b=a+c。代入a=b/2得b=c/2。因此，b≤0。又因为极小值点为x=1，所以f(1)=a+b+c=3a+3b/2≤0。解得b≤2。

4.若矩阵A=[[1，2]，[3，4]]的行列式为2，则矩阵A的行列式为______。

答案：1/2

解析：A的行列式为2，所以A^1的行列式为1/2。

5.若平行线l1：2xy1=0和l2：2xy+3=0之间的距离为d，则d=______。

答案：2

解析：两平行线间的距离公式为d=|c1c2|/√(a^2+b^2)，代入得d=|(1)3|/√(2^2+(1)^2)=2。

三、解答题（共20分）

1.（10分）已知函数f(x)=x^33x^2+4x5，求f(x)的单调递增区间。

答案：单调递增区间为（∞，1）和（2，+∞）。

解析：求导得f'(x)=3x^26x+4。令f'(x)>0，解得x<1或x>2。因此，f(x)的单调递增区间为（∞，1）和（2，+∞）。

2.（10分）已知矩阵A=[[2，3]，[4，5]]，求矩阵A的逆矩阵A^1。

答案：A^1=[[5/2，3/2]，[