2026年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高考数学模拟试卷（5月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高考数学模拟试卷（5月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={1,3,a2}，B={3,a+2}，且B⊆A，则实数a=A.−1 B.0 C.1 D.22.已知实数a，b，c，则“ac2≥bc2”是“A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知复数z=cosπ4+isinπA.1 B.i C.−1 D.−i4.若f(x)=x(x−1)(x+a)(a∈R)为奇函数，则a的值为(

)A.−1 B.0 C.1 D.−1或15.某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是(

)A.极差 B.45百分位数 C.平均数 D.众数6.若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差d的取值范围是(

)A.(−1,1) B.(0,1) C.(−12,7.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)，若∃x0∈[−π3,πA.34 B.1 C.32 8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，|AB|=4，E为AD的中点，P为正方形A1B1CA.217−6 B.217−4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.若随机变量X～B(6,13)，则D(3X+2)=12

B.若X～N(μ,σ2)，且P(X≤−2)+P(X≤4)=1，则μ=2

C.已知事件A，B互斥，P(A)=14，P(B)=13，则P(A∪B)=71210.已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程f(x)=0有实数根α，βA.c=0 B.b≤−3 C.f(1)≥3 D.|α−β|≥311.已知A，B分别为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点，P(x0,y0)为双曲线上位于第一象限内任意一点，记∠PAB=α，∠PBA=β，∠APB=γ(其中A.|PA||PB|的值随着x0的增大而减小 B.tanα−tanβ≤2ba

C.S⋅三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.编号为1，2，3，4的四位同学，分别就座于编号为1，2，3，4的四个座位上，每位座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为

．13.已知椭圆C：x24+y2=1的上顶点为A，直线l交椭圆C于M，N两点，若△AMN的重心坐标为(1,0)，则直线l14.已知数列{an}的通项公式为an=n3n−1，设集合An={a1,a2,⋯,四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

△ABC中，D为边BC上一点，且CD=2BD，AD=2，AB=23．

(1)若B=30°，求CD的长；

(2)若sin∠BADsin16.(本小题15分)

如图，在△ABC中，AB⊥BC，AB=BC=6，平面ABC外的动点D在以AB为直径的半圆上，且满足平面BCD⊥平面ACD．

(1)证明：CB⊥平面ABD；

(2)若线段AC上的点E满足CE=2EA，当三棱锥C−ABD的体积取得最大值时，求平面BED与平面AEB17.(本小题15分)

已知函数f(x)=(1−a)lnx+ax+x，其中a>0．

(1)当a=2时，求f(x)的单调递增区间；

(2)若f(x)≥2恒成立，求a的取值范围；

(3)试比较2.5与e0.95的大小并说明理由.(e18.(本小题17分)

已知抛物线Γ：x2=2py(p>0)在点A(1,12p)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为14．

(1)求p的值；

(2)若抛物线Γ上存在B，C两点，使得AB⊥BC，求点C的横坐标的取值范围；

(3)将抛物线Γ向下平移一个单位长度得到抛物线Γ′，M，N是抛物线Γ′与x轴的交点，过点(0,2p)作直线l与抛物线Γ′交于D，E两点，与x轴交于点T，其中点M，D均在y轴左侧，直线ME与ND交于点S.问在平面内是否存在一定点Q，使得19.(本小题17分)

某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：

科研人员选定n名平台用户作为研究样本.每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数a(0<a<1)，内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下：

①第一天(冷启动推荐阶段)：AI系统从n名用户中随机选取m名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播(称为激活用户)的概率均为p，且各用户是否被激活相互独立．

②第二天及以后(社交扩散推荐阶段)：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户(即n名用户中还未被激活的)进行二次流量触达.任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播．

已知：若某一天有k个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：1−(1−a)k．

(1)求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望；

(2)求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率；

(3)若取n=5，m=2，p=0.4，求两天后用户甲是激活用户的概率(用含a的代数式表示)；并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象．

参考答案1.D

2.B

3.B

4.C

5.B

6.A

7.B

8.A

9.ACD

10.ABD

11.ACD

12.6

13.34．14.[9,+∞)．

15.解：(1)在△ABD中，设BD=m，那么CD=2BD=2m，

根据余弦定理得cosB=AB2+BD2−AD22AB⋅BD，所以32=(23)2+m2−222×23×m，

整理得(m−2)(m−4)=0，解得m=2或m=4，

当m=4时，CD=2BD=8，符合题意，

当m=2时，CD=2BD=4，符合题意，

因此CD的长为4或8．

(2)根据CD=2BD，那么可得S△BADS△CAD=12，因此12AB⋅ADsin∠BAD12AC⋅ADsin∠CAD=1216.(1)证明：过点B作BH⊥CD于H，如图所示．

∵平面BCD⊥平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，

∵BH⊂平面BCD，∴BH⊥平面ACD，

∵AD⊂平面ACD，∴BH⊥AD，

∵AB为直径，∴BD⊥AD，

∵BD∩BH=B，BD，BH⊂平面BCD，∴AD⊥平面BCD，

∵BC⊂平面BCD，∴BC⊥AD，

∵AB⊥BC，AD∩AB=A，AD，AB⊂平面ABD，∴CB⊥平面ABD．

(2)解：∵VC−ABD=13BC⋅S△ABD=BD⋅AD≤12(BD2+AD2)=12AB2=18，

当且仅当BD=AD=32时，VC−ABD取得最大值，

过点D作DO⊥AB于O，以O为原点，OD为x轴，OA为y轴，过O点垂直于平面ABD的方向为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

∴B(0,−3,0)，A(0,3,0)，D(3,0,0)，E(0,1,2)，C(0,−3,6)，

∴BD=(3,3,0),BE=(0,4,2)，

设平面BED的法向量为n117.解：(1)当a=2时，f(x)=−lnx+2x+x，x>0，

则f′(x)=−1x−2x2+1=−x−2+x2x2=(x−2)(x+1)x2，

令f′(x)>0，解得x>2或x<−1，

故函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞)；

(2)f′(x)=1−ax−ax2+1=x2+(1−a)x−ax2=(x−a)(x+1)x2，a>0，

当0<x<a时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

f(x)min=f(a)=(1−a)lna+1+a，

由f(x)≥2恒成立，得(1−a)lna+1+a≥2恒成立，

则(1−a)lna+a−1≥0，即(a−1)(lna−1)≤0，解得1≤a≤e，

所以a的取值范围是[1,e]；

(3)2.5<e0.95，理由如下：

由(2)知，当a=e时，f(x)=(1−e)lnx+ex+x≥2，即lnx≤ex+x−2e−1，

令x=2.5，有ln2.5≤e2.5+2.5−2e−1=e−1+12.5+0.5e−1=12.5+12.5(e−1)+0.5e−1，

又12.5+12.5(e−1)+0.5e−1<12.5+12.5×1.71+0.51.71<0.4+0.24+0.3=0.94<0.95，

即ln2.5<0.95，故2.5<e0.95．

18.解：(1)∵x2=2py，∴y=x22p，∵y′=xp，∴x2=2py在点A处，

切线斜率k=y′|x=1=1p，∴切线方程为y−12p=1p(x−1)，即y=1px−12p，

设x=0，则有y=−12p，∴此切线与y轴的交点为(0,−12p)，

设y=0，则有x=12，∴此切线与x轴的交点为(12,0)，

∴此切线与坐标轴围成的三角形的面积为S=12×|12|×|−12p|=18p=14，∴p=12．

(2)∵p=12，∴x2=y，A(1,1)，

设B(t,t2)，C(s,s2)，∵A，B，C是不同的三点，∴t≠1，t≠s，

kAB=t2−1t−1=t+1,kBC=s2−t2s−t=s+t，

∵AB⊥BC，∴kAB⋅kBC=−1，∴(t+1)(s+t)=−1，

将(t+1)(s+t)=−1整理为关于t的方程为t2+(s+1)t+(s+1)=0，

∵抛物线Γ上存在B，C两点，使得AB⊥BC，

∴关于t的方程t2+(s+1)t+(s+1)=0有解，

Δ=(s+1)2−4(s+1)≥0，即(s+1)(s−3)≥0，

解得s≤−1或s≥3，故点C的横坐标的取值范围为(−∞,−1]∪[3,+∞)．

(3)抛物线Γ向下平移一个单位长度得到抛物线Γ′，

则Γ′的方程为x2=y−1，即y=x2−1，

当y=0时，x=±1，又M在y轴左侧，则M(−1,0)，N(1,0)，

过点(0,2p)的直线l，就是过点(0,1)作直线l，

因为直线l与抛物线Γ′交于D，E两点，则直线l存在斜率，

设直线l的方程为y=kx+1，

因为直线l与x轴交于点T，且点T在y轴左侧，所以k>0，19.解：(1)设X表示第一天结束时，被成功激活的用户人数，则X～B(m,p)，

由二项分布的期望公式得E(X)=mp；

(2)由(1)可知X～B(m,p)，考虑二项展开：

(1−p+p)m=k=0mCmk(1−p)m−kpk=1，

(1−p−p)m=(1−2p)m=k=0m