《函数的单调性与导数关系的应用》课件

第五章

培优课❸函数的单调性与导数关系的应用课程标准1.熟练掌握函数的单调性与导数的关系.2.会利用分类讨论的思想解决含参数的函数的单调性问题.重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测重难探究·能力素养全提升重难探究·能力素养全提升探究点一含参数函数的单调性【例1】

已知函数f(x)=xex-ax2-ax+1(a>0).试讨论f(x)的单调区间.若0<a<,则x∈(-∞,ln

a)∪(-1,+∞)时f'(x)>0,x∈(ln

a,-1)时f'(x)<0,即函数f(x)的单调递增区间为(-∞,ln

a),(-1,+∞),单调递减区间为(ln

a,-1).规律方法

1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.2.划分函数的单调区间时,要在函数的定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点.变式训练1[北京石景山期末]已知函数f(x)=aex-x,g(x)=x-alnx(a∈R).(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求g(x)的单调区间.解

(1)若a=1,f(x)=ex-x,f'(x)=ex-1,故f(0)=1,f'(0)=0,故f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1.当a≤0时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当a>0时,令g'(x)=0,得x=a,当0<x<a时,g'(x)<0,当x>a时,g'(x)>0,故g(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).综上,当a≤0时,g(x)在(0,+∞)上单调递增.当a>0时,g(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增.探究点二根据函数的单调性求参数值(范围)【例2】

(1)若函数f(x)=(x2-cx+5)ex在区间[,4]上单调递增,则实数c的取值范围是(

)A.(-∞,2] B.(-∞,4]C.(-∞,8] D.[-2,4]BA规律方法

1.已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,利用分离参数或函数性质解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解),应注意参数的取值范围是使f'(x)不恒等于0的集合,然后检验参数取“=”时是否满足题意.2.设函数y=f(x)在区间(a,b)上可导,若y=f(x)在区间(a,b)上不单调,则转化为f'(x)=0在(a,b)上有解,再验证解的两侧导数异号.变式训练2若函数f(x)=x3-12x在区间(k-1,k+1)上不单调,则实数k的取值范围是(

)A.(-∞,-3]∪[-1,1]∪[3,+∞)B.(-3,-1)∪(1,3)C.(-2,2)D.不存在这样的实数kB解析

由题意得,f'(x)=3x2-12=0在区间(k-1,k+1)上至少有一个实数根.又f'(x)=3x2-12=0的根为±2,且f'(x)在x=2或x=-2两侧异号,故只需2或-2在区间(k-1,k+1)内,即k-1<2<k+1或k-1<-2<k+1,∴1<k<3或-3<k<-1,故选B.探究点三函数单调性的应用A.a<b<c

B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<cD(2)已知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf'(x),则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(

)A.(0,1) B.(2,+∞) C.(1,2) D.(1,+∞)B解析

构造函数y=xf(x),x∈(0,+∞),则y'=f(x)+xf'(x),又f(x)+xf'(x)<0,所以函数y=xf(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1),所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1),所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2,+∞).故选B.变式探究把例3(2)中的条件“f(x)<-xf'(x)”换为“f(x)<xf'(x)”,其他条件不变,解不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1).∵f(x)<xf'(x),∴g'(x)>0,故g(x)在(0,+∞)内单调递增,故不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)的解集为(0,2).规律方法

用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数,常见的有:(1)对于f'(x)-g'(x)>0,构造h(x)=f(x)-g(x).(2)对于f'(x)+g'(x)>0,构造h(x)=f(x)+g(x).(3)对于f'(x)+f(x)>0,构造h(x)=exf(x).A.a<c<b B.b<a<cC.b<c<a D.a<b<cD本节要点归纳1.知识清单:(1)根据函数的单调性求参数的取值范围.(2)根据单调性比较大小或解不等式.2.方法归纳:转化、分类讨论、数形结合.3.常见误区:求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论.由函数单调性求参数范围时,函数单调递增⇒f'(x)≥0,函数单调递减⇒f'(x)≤0,不要忽略“等号”.重难探究·能力素养全提升成果验收·课堂达标检测123451.已知定义域为R的函数f(x)的导函数的图象如图,则关于以下函数值的大小关系,一定正确的是(

)A.f(a)>f(b)>f(0) B.f(0)<f(c)<f(d)C.f(b)<f(0)<f(c) D.f(c)<f(d)<f(e)D解析

由f(x)的导函数图象可知,f(x)在(a,b),(c,e)上单调递增,在(b,c)上单调递减,∴f(a)<f(b),A错误;又0∈(b,c),∴f(b)>f(0)>f(c),B,C错误;∵d∈(c,e),∴f(c)<f(d)<f(e),D正确.123452.若函数f(x)=ax3-x在R上为减函数,则(

)A.a≤0 B.a<1A解析

若函数f(x)在R上为减函数,则f'(x)=3ax2-1≤0在R上恒成立,所以a≤0.经检验,当a=0时,f'(x)≤0且不恒为0.12345A.-1≤a≤2 B.-2≤a≤1C.a<-1或a>2 D.a<-2或a>1D解析

若函数f(x)有三个单调区间,则f'(x)=4x2-4ax-(a-2)有两个不相等的零点,故Δ=16a2+