《第五章一元函数的导数及其应用章末整合》课件

章末整合第五章内容索引0102知识网络整合构建专题归纳思维深化知识网络整合构建一元函数的导数及其应用一元函数的导数及其应用专题归纳思维深化专题一导数的几何意义例1已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线方程.分析求出函数的导数:(1)可利用切点(2,-6)求出切线斜率,写出切线方程;(2)设出切点坐标,表示出切线方程,利用切线过原点求解,也可以利用切点与原点连线的斜率等于导函数在切点处函数值列式求解;(3)设出切点坐标,利用两直线互相垂直时,斜率之积为-1,列方程求解.(方法2)设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).规律方法

(1)导数的几何意义的应用:利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.(2)围绕着切点有三个等量关系:已知切点(x0,y0),则①k=f'(x0);②y0=f(x0);③(x0,y0)满足切线方程.变式训练

1(1)(内蒙古包头高三期末)若直线y=-2x+b为曲线y=x-ex的一条切线,则实数b的值是(

)A.ln3-3 B.3ln3+3C.ln3+3 D.3ln3-3(2)(安徽黄山高三一模)已知函数f(x)=x2+2,g(x)=lnx,若曲线y=f(x)与y=g(x)的公切线与曲线y=f(x)切于点(x1,y1),则

-ln(2x1)=

.

答案

(1)D

(2)3专题二利用导数研究函数的单调性问题②当a>2时,x,f'(x),f(x)的变化情况如下表:规律方法

(1)在解决问题的过程中,只能在函数的定义域内进行.(2)在划分函数的单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义区间内的不连续点或不可导点.此外,求得的根要判断是否在定义域中.(3)涉及含参数的函数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.变式训练

2函数f(x)=x2-alnx,讨论函数f(x)的单调性.专题三利用导数研究函数的极值、最大(小)值问题分析(1)求出函数的导数,根据导数的符号确定极值点,利用极大值为2求a,b满足的关系式;(2)可利用极值点x=a与区间[0,3]的位置关系,确定分类讨论标准后,分类讨论求最小值.解

(1)f'(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=a,因为a>0,所以x1<x2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:所以当x=-1时,f(x)有极大值2,即3a+2b=3.x(-∞,-1)-1(-1,a)a(a,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增(2)当0<a≤3时,由(1)知,f(x)在[0,a)上单调递减,在(a,3]上单调递增,所以f(a)为最小值,规律方法

(1)求函数y=f(x)的极值点时一般需确定f'(x)=0的根和函数y=f(x)的单调性,对于常见连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值点必为函数的最大(小)值点.(2)求闭区间上可导函数的最大(小)值时,对函数极值是极大值还是极小值可不再进行判断,只需要直接与端点的函数值比较即可获得结论.变式训练

3已知函数f(x)=x3+ax2+b的图象上一点P(1,0)且在点P处的切线与直线3x+y=0平行.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间[0,t](0<t<3)上的最大值和最小值.解

(1)因为f'(x)=3x2+2ax,曲线在P(1,0)处的切线斜率为f'(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3.又函数过(1,0)点,即-2+b=0,b=2.所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2.(2)由f(x)=x3-3x2+2,得f'(x)=3x2-6x.由f'(x)=0,得x=0或x=2.①当0<t≤2时,在区间(0,t)上,f'(x)<0,f(x)在[0,t]上单调递减,所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2.②当2<t<3时,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:f(x)min=f(2)=-2,f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个.f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0,所以f(x)max=f(0)=2.综上,当0<t≤2时,f(x)max=2,f(x)min=t3-3t2+2;当2<t<3时,f(x)max=2,f(x)min=-2.x0(0,2)2(2,t)tf'(x)0-0+

f(x)2单调递减-2单调递增t3-3t2+2专题四生活中的优化问题例4某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱体,左右两端均为半球体,按照设计要求容器的体积为

立方米.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱体部分每平方米建造费用为3千元,半球体部分每平方米建造费用为4千元.设该容器的总建造费用为y千元.(1)将y表示成r的函数,并求该函数的定义域;(2)确定r和l为何值时,该容器的建造费用最小,并求出最小建造费用.分析根据题意,求出容器的表面积关于半径r的关系式,结合建筑费用建立y关于r的关系式.规律方法

解决优化问题的步骤(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最大(小)值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.变式训练

4某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距am,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为xm的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?专题五导数的综合应用角度1

利用导数研究方程的根(函数的零点)例5已知f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2lnx.若方程f(x)=g(x)在区间[,e]上有两个不相等的实数根,求a的取值范围.分析方程f(x)=g(x)有根即方程ax2=2ln

x有解,因此可以分离参数转化为方程a=有根,构造函数求解.规律方法

利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g'(x)易求,g'(x)=0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.(2)利用零点存在定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最大(小)值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.变式训练

5已知函数f(x)=ex-ax-1,其中a为实数,若方程f(x)=0在(0,2]上有实数根,求a的取值范围.解

函数的导数f'(x)=ex-a.①当a≤1时,f'(x)>0在(0,2]上恒成立,∴f(x)在(0,2]上单调递增,∴f(x)>f(0)=0,∴方程f(x)=0在(0,2]上无实数根,不合题意.②当a≥e2时,f'(x)≤0在(0,2]上恒成立,∴f(x)在(0,2]上单调递减,∴f(x)<f(0)=0,∴方程f(x)=0在(0,2]上无实数根,不合题意.③当1<a<e2时,令f'(x)=0得x=ln

a,∴当x∈(0,ln

a)时,f'(x)<0,当x∈(ln

a,2]时,f'(x)>0.∴f(x)在(0,ln

a)上单调递减,在(ln

a,2]上单调递增.∵f(0)=0,∴f(ln

a)<0,若方程f(x)=0在(0,2]上有实数解,则只需f(2)≥0,角度2

利用导数研究不等式问题例6已知f(x)=xlnx,g(x)=x3+ax2-x+2.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意x∈(0,+∞),2f(x)≤g'(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.分析(1)可通过解不等式f'(x)>0和f'(x)<0得到单调区间;(2)先将不等式进行参数分离,把待求范围的参数a移至不等式的一边,再利用导数求另一边函数的最大值,从而求得参数的取值范围.x(0,1)1(1