《第五章一元函数的导数及其应用章末整合》课件

第五章

本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升目录索引

知识网络·整合构建重难探究·能力素养全提升专题突破·素养提升专题一导数的计算及几何意义本部分内容有导数的几何意义,基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导,主要考查切线方程及切点,与切线平行、垂直问题,处理此类问题一般结合函数的切线转化为点到直线的距离,平行线间的距离问题,然后再研究最值问题.通过求切线方程的有关问题,培养数学运算、数学抽象等核心素养和转化化归数学思想.【例1】

(1)设f'(x)是函数f(x)的导函数,若f(x)=xln(2x-1),则f'(1)=

.

答案

2(2)函数f(x)=3x-cosx在(0,f(0))处的切线与直线2x-my+1=0垂直,则实数m的值为

.

答案

-6解析

f'(x)=3+sin

x,∴f'(0)=3,∴f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为3,∵f(x)在(0,f(0))处的切线与直线2x-my+1=0垂直,∴3·=-1,解得m=-6.规律方法

导数的运算是解决一切导数问题的基础,要熟练掌握基本初等函数的求导法则,掌握函数的和、差、积、商的运算法则.复合函数求导的关键是分清层次,逐层求导,求导时不要忘了对内层函数求导.变式训练1(1)已知曲线f(x)=alnx+x2在点(1,1)处的切线与直线x+y=0平行,则实数a的值为(

)A.-3 B.1

C.2

D.3A解析

由f(x)=aln

x+x2,得f'(x)=+2x,则曲线在点(1,1)处的切线斜率为k=a+2,由切线与直线x+y=0平行,可得k=-1,即a+2=-1,解得a=-3.(2)设函数f(x),其中x∈(0,+∞),若f(ex)=x+e2x,则f'(x)的最小值为

.

解析

∵f(ex)=x+e2x,∴f(ex)=ln

ex+(ex)2,∴f(x)=ln

x+x2,x∈(0,+∞),专题二函数的单调性与导数利用导数研究函数的性质,主要以指数函数、对数函数、三次函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题;通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.【例2】

已知函数f(x)=ex+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥x3+1,求a的取值范围.解

(1)当a=1时,f(x)=ex+x2-x,f'(x)=ex+2x-1,令φ(x)=ex+2x-1,由于φ'(x)=ex+2>0,故f'(x)是增函数,注意到f'(0)=0,故当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.则h'(x)=ex-x-1,令t(x)=h'(x),x≥0,则t'(x)=ex-1≥0,且不恒为0,故h'(x)是增函数,h'(x)≥h'(0)=0,且不恒为0,故函数h(x)是增函数,h(x)≥h(0)=0,故当x∈(0,2)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x∈(2,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.规律方法

利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础,一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌握函数图象的变化趋势,达到解决问题的目的.(1)求函数f(x)的最大值;(2)记g(x)=(x+1)f(x+2)+x2-(a-1)x+1,a∈R.若函数g(x)既有极大值,又有极小值,求a的取值范围.令f'(x)=0,则x=2.当x∈(1,2)时,f'(x)>0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,在区间(2,+∞)上单调递减,所以函数f(x)的最大值为f(2)=2.(2)由g(x)=(x+1)f(x+2)+x2-(a-1)x+1=ln(x+1)+x2-(a-2)x+3,x>-1,因为g(x)既有极大值,又有极小值,所以方程2x2+(4-a)x+3-a=0在区间(-1,+∞)上有两个不相等的实数根,即专题三与导数有关的综合性问题1.导数是研究函数性质以及解决实际问题的强有力的工具,从近几年高考题看,利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到,一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.2.通过利用导数解决实际问题,培养数学建模,解决函数方程问题,提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.【例3】

已知函数f(x)=xlnx.(1)求f(x)的最小值;(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围;(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.∴当x≥1时,g'(x)≥0,且不恒为0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=1,∴a≤1,即实数a的取值范围为(-∞,1].(3)若关于x的方程f(x)=b恰有两个不相等的实数根,则y=b的图象和y=f(x)的图象在(0,+∞)上有两个不同的交点.规律方法

综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等数学思想方法,关键是分类讨论时,是否做到了不重不漏;数形结合时是否掌握了函数图象的变化趋势;构造函数时是否合理等问题.变式训练3已知函数f(x)=ex-ax-1(a∈R).(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在[0,1]上有两个零点,求a的取值范围.解

(1)函数f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增;当a>0时,由f'(x)=0,得x=ln

a,所以当x∈(-∞,ln

a)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(ln

a,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在(ln

a,+∞)上单调递增,在(-∞,ln

a)上单调递减.(2)由(1)知当a≤0时,f(x)在[0,1]上单调递增,至多有一个零点,不符合题意;当a>0时,当ln

a≤0,即0<a≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,不符合题意;当0<ln

a≤1,即1<a≤e时,f(x)在[0,ln

a]上单调递减,在[ln

a,1]上单调递增,且f(0)=0,f(1)=e-a-1,要使f(x)在[0,1]上有两个零点,即1<a≤e-1,当ln

a>1,即a>e时,f(x)在[0,1]上单调递减,不符合题意.所以当a∈(1,e-1]时,f(x)在[0,1]上有两个零点.专题四导数在实际问题中的应用利用导数解决实际问题中的最优问题的基本思路(1)设出变量,找出函数关系式,确定定义域;(2)在实际应用问题中,若函数f(x)在定义域内只有一个极值点,则它就是最值点.【例4】

某市在创建全国旅游城市的活动中,对一块以O为圆心,R(R为常数,单位:米)为半径的半圆形荒地进行治理改造,其中弓形BCD区域(阴影部分)种植草坪,△OBD区域用于儿童乐园出租,其余区域用于种植观赏植物.已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元,儿童乐园出租的利润是每平方米95元.(1)设∠BOD=θ(单位:弧度),用θ表示弓形BCD的面积S弓=f(θ);(2)如果该市规划办邀请你规划这块土地,如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大?并求出该最大值.规律方法

解决优化问题的步骤(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最大(小)值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.变式训练4某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两个桥墩相距am,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为xm的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?所以x=64.当0<x<64时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,64)内单调递减;当64<x<640时,f'(x)>0,f(x)在区间(64,640)内单调递增.所以f(x)在x=64处取得最小值.

A

B

C

BCD

ACD