9.3.2 对坐标的曲面积分

19.3.2对坐标的曲面积分

1.有向曲面及曲面元素的投影2.对坐标的曲面积分的概念和性质3.对坐标的曲面积分的计算法2有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)3其方向用法向量指向方向余弦>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧•设

为有向曲面,侧的规定

指定了侧的曲面叫有向曲面,表示其面元在xoy面上的投影记为的面积为则规定类似可规定4如Σ取定了侧，则－Σ或Σ－表示取相反的侧。

例如，Σ：x+2y+3z=6与坐标平面所围立体的边界曲面，取外侧。则Σ1取下侧，Σ2取后侧。Σ3取左侧，Σ4取上侧（前、后）2z36xyOΣ1Σ3Σ2Σ4转引例5

说明假定⊿S上各处的法向量与z轴的夹角γ的余弦cosγ有相同的符号（即cosγ都是正的或都是负的）。其中cosγ≡0也就是的情形。⊿S在xOy面上的投影实际就是⊿S在xOy面上的投影区域的面积附以一定的正负号。类似地可以定义⊿S在yOz面及zOx上的投影，6注意小曲面块⊿S往某坐标平面上投影时，⊿S上各点的法向量的相应的方向余弦应保号（否则应对⊿S再分块）。如Σ：，

往平面xOy投影时应分成上下两块Σ1:；Σ2:7二、对坐标的曲面积分的概念与性质引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面

的流量

。

分析

若

是面积为S

的平面,则流量(设体密度为1)就为斜柱体体积法向量

流速为常向量

89对一般的有向曲面

,用“大化小,常代变,近似和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则10设

为光滑的有向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作P,Q,R

叫做被积函数;

叫做积分曲面。或第二类曲面积分。下列极限都存在向量场若对

的任

则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积定义9.3.211引例中,流过有向曲面

的流体的流量为称为Q在有向曲面

上对

z,x的曲面积分;称为R在有向曲面

上对

x,y的曲面积分.称为P在有向曲面

上对

y,z的曲面积分;若记

正侧的单位法向量为令则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式12性质(1)

若之间无公共内点,则(2)

用

ˉ

表示

的反向曲面,则13对坐标的曲面积分的计算法定理

设光滑曲面取上侧,是

上的连续函数,则证∵取上侧,14

•

若则有•若则有(前正后负)(右正左负)说明如果积分曲面

取下侧,则15计算方法可概括为：“一代、二投影、三定向”“一代”曲面方程代入被积函数；“二投影”给出Σ在相应坐标平面上的投影区域；“三定向”即选取正负号。16例1

计算曲面积分其中Σ是长方体Ω的整个表面的外侧，Ω={（x，y，z）|0≤x≤a，0≤y≤b，0≤z≤c}。Σ1：z=c(0≤x≤a，0≤y≤b)的上侧；Σ2：z=0(0≤x≤a，0≤y≤b)的下侧；Σ3：x=a(0≤y≤b，0≤z≤c)的前侧；Σ4：x=0(0≤y≤b，0≤z≤c)的后侧；Σ5：y=b(0≤x≤a，0≤z≤c)的右侧；Σ6：y=0(0≤x≤a，0≤z≤c)的左侧；解把有向曲面Σ分成以下六部分：17应用公式（４）就有类似地可得于是所求曲面积分为(a+b+c)abc。除Σ3、Σ4外，其余四片曲面在yOz面上的投影为零，因此18例2计算其中

是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解

利用对称性原式

的顶部取上侧

的底部取下侧19解

把

分为上下两部分根据对称性

思考

下述解法是否正确:例3

计算曲面积分其中

为球面外侧在第一和第八卦限部分.2021说明对坐标的曲面积分由于有的取向在内，所以具有和定积分，重积分，第一类曲线积分，第一类曲面积分在对称性问题上相反的结论。即若关于xoy面对称，则22例4设S是球面的外侧,计算解

利用轮换对称性,有239.3.3

两类曲面积分之间的联系1．设有向曲面Σ由方程z=z(x，y)给出，Σ在xOy面上的投影区域为Dxy，函数z=z(x，y)在Dxy上具有一阶连续偏导数，R(x，y，z)在Σ上连续。如果Σ取上侧，则由对坐标的曲面积分计算公式（1）有另一方面，因上述有向曲面Σ的法向量的方向余弦为24故由对面积的曲面积分计算公式有由此可见，有如果Σ取下侧，则由（1′）有25但这时因此（2）式仍成立。类似可推得（3）（4）合并（2）、（3）、（4）三式，得两类曲面积分之间的如下关系：（5）其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面Σ上点（x，y，z）处的法向量的方向余弦。26令向量形式(A在n上的投影)有向曲面元27例5

把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分，其中Σ是z=8－(x2+y2)在xOy面上方部分的上侧解N={-zx,-zy,1}={2x,2y,1}28例6

位于原点电量为q的点电荷产生的电场为解。求E

通过球面

:r=R外侧的电通量

.29例7设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解

30例8

计算曲面积分其中

解

利用两类曲面积分的联系,有∴原式=旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.31原式

=32内容小结定义1.两类曲面积分及其联系

33性质联系:思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲线积分的定义一个与

的方向无关,一个与

342.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化35当时，（上侧取“+”,下侧取“

”)类似可考虑在yoz面及zox

面上的二重积分转化公式.36思考与练习1.

设则

取上侧时,

取下侧时,37是平面在第四卦限部分的上侧,计算提示:求出

的法方向余弦,转化成第一类曲面积分2.

设38备用题求取外侧.解:注意±号其中39利用轮换对称性40曲线积分习题课一、内容提要及教学要求

1会计算两类曲线积分

(α<β)这里下限α对应于L的起点，上限β对应于L的终点。

41cosα、cosβ的求法：起点A

、终点B分别对应参数α、β。

(当α<β时取正号，

α>β时取负号)2两类曲线积分的关系423格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件：P,Q具有一阶连续偏导，L为封闭曲线。若不满足，则应(i)挖洞。(ii)添线成为封闭曲线。43（1）条件（2）应用5全微分求积64个等价条件44与路径无关的四个等价命题条件等价命题45

(1)已知二、典型例题

例1填空L的长度为a464748例5计算顺时针方向

L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

49例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。

50

(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以

于是I=12a。

L的长度为a，求即3x2+4y2=12，所以515253OA5455取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则56解：L：例5计算顺时针方向

注：

应充分利用L的方程简化被积函数。

57L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

58

取l为x2+y2=2上从点A(，0)经上半圆到点B(，0)的有向曲线，则或2OxyAB5960解61解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线C1、C2。

再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2+C3成为包围原点的正向曲线（如图所示）

C2C3OC1ABxy则由题设知

所以有

62由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与路径无关。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)时，应恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆时针方向。则63起点对应θ=0，终点处θ=2π

例8计算θOxy所以

解：

Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。64

Γ是用y=z