9.3.1 对面积的曲面积分

19.3曲面积分9.3.1对面积的曲面积分（第一类曲面积分）9.3.3两类曲面积分之间的联系9.3.2对坐标的曲面积分（第二类曲面积分）2定义9.3.1设

为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分其中叫做被积

是定义在

上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分。若对

做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数

在曲面

上对面积函数,

叫做积分曲面。9.3.1对面积的曲面积分（第一类曲面积分）3据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似。则对面积的曲面积分存在。在光滑曲面

上连续,•积分的存在性

4•对积分域的可加性则有•线性性质若

是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面5定理

设有光滑曲面

在

上连续,存在,且有对面积的曲面积分的计算法

则曲面积分证明

由定义知6而(光滑)7说明可有类似的公式.1)如果曲面方程为2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS

的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分。8说明

1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影，曲面积分化为二重积分”。“一代”将代入被积函数，

得；“二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式：如，则“三投影”认清在平面上的投影区域，二重积分是在区域上进行的。92）如，此时投影区域；

如，此时投影区域为。

3）球面、柱面的面积元素10例1计算曲面积分其中

是球面被平面截出的顶部.解11思考若

是球面被平行平面z=±h

截出的上下两部分,则12例2解13（或直接由对称性）14例3

计算其中

是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解设上的部分,则与

原式=分别表示

在平面15例4

计算，其中：被柱面割下的有限部分解

16说明

Σ也可往yOz或zOx平面投影而计算此曲面积分，但投影区域的表示及二重积分的计算都较复杂。a2aOyx17解Σ关于xOy平面对称，所以Σ关于zOx平面对称，所以，所以例5

求

18例6

设计算解锥面与上半球面交线为为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy

面上的投影域为则19思考

若例3

中被积函数改为计算结果如何?20例7求半径为R

的均匀半球壳

的重心。解

设

的方程为利用对称性可知重心的坐标而用球坐标思考题例7是否可用球面坐标计算?21例8

计算解

取球面坐标系,则22例9计算其中

是球面利用对称性可知解

显然球心为半径为利用重心公式23例10

计算其中

是介于平面之间的圆柱面分析

若将曲面分为前后(或左右)则解

取曲面面积元素两片,则计算较繁。

24例11求椭圆柱面位于xoy面上方及平面

z=y

下方那部分柱面

的侧面积S

。解

取25内容小结1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)

注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式简化计算的技巧.26备用题1一卦限中的部分,则有()。(2000考研)27备用题2

已知曲面壳求此曲面壳在平面z＝1以上部分

的的面密度质量M。解

在xoy面上的投影为

故283.设

是四面体面,计算解

在四面体的四个面上同上平面方程投影域2930曲线积分习题课一、内容提要及教学要求

1会计算两类曲线积分

(α<β)这里下限α对应于L的起点，上限β对应于L的终点。

31cosα、cosβ的求法：起点A

、终点B分别对应参数α、β。

(当α<β时取正号，

α>β时取负号)2两类曲线积分的关系323格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件：P,Q具有一阶连续偏导，L为封闭曲线。若不满足，则应(i)挖洞。(ii)添线成为封闭曲线。33（1）条件（2）应用5全微分求积64个等价条件34与路径无关的四个等价命题条件等价命题35

(1)已知二、典型例题

例1填空L的长度为a363738例5计算顺时针方向

L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

39例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。

40

(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以

于是I=12a。

L的长度为a，求即3x2+4y2=12，所以414243OA4445取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则46解：L：例5计算顺时针方向

注：

应充分利用L的方程简化被积函数。

47L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

48

取l为x2+y2=2上从点A(，0)经上半圆到点B(，0)的有向曲线，则或2OxyAB4950解51解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线C1、C2。

再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2+C3成为包围原点的正向曲线（如图所示）

C2C3OC1ABxy则由题设知

所以有

52由C1、C2的任意性知，在不含原点的单连通域内，该曲线积分与路径无关。

（2）由（1）知，在(x，y)≠(0，0)时，应恒有即

即

取L：x2+2y2=1，取逆时针方向。则53起点对应θ=0，终点处θ=2π

例8计算θOxy所以

解：

Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。54

Γ是用y=z去截x2+y2+z2=1所得截痕，从z轴看去沿逆时针方向。

解：Γ在xOy平面上的投影曲线L为x2+2y2=1（z