9.1－2 曲线积分课件

1第9章曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质

1．曲线型物体的质量设一曲线型细长构件，在xoy面上占有一段曲线弧L,端点为A,B,在AB上任一点的线密度为

(x,y),求这构件的质量。用元素法：第一节对弧长的曲线积分2定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数f(x，y)在L上有界。在L上任意插入一点M1,M2,,Mn把L分成n个小段,设第i个小段的长度为

si,,又(ξi,ηi)为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f(ξi,ηi)

si,,并作和:如果当各个小段的长度的最大值λ→0时，这和的极限总存在,则称此极限为函数f(x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分，记作

2．对弧长的曲线积分的定义

3其中f(x，y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。

依上定义，有

43．几点说明（3）如L是光滑的或分段光滑的简单闭曲线，常记作：

（2）定义可推广到空间的曲线Γ上的曲线积分（1）f(x，y)在L上连续，54．对弧长的曲线积分的性质（1）关于被积函数的线性性质（2）对于路径的可加性（3）无方向性其中L=L1+L26（4）对称性

1)如L关于y轴对称，L1是L的右半支，则当L关于x轴对称时有类似的结论。

2)如L关于y=x对称，则7二、对弧长的曲线积分的计算方法

1．定理设f(x，y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为:其中

(t),

(t)

在[α，β]上具有一阶连续导数，且

2(t)+

2(t)

0，则曲线积分8计算方法：化为对参数的定积分，“一代”：将x=

(t),y=

(t),代入被积函数f(x，y)；

“三定限”：下限小上限大。

“二换”：将ds换成

“一代二换三定限”

(α<β)(1)92．几种变形①如L：y=y(x)，a≤x≤b则②如L：x=x(y)，

c≤y≤d则③如④如L：r=r(

)，则10解：（3．举例

L：y=x2，y=x所围区域的边界。

A(1，1)Oxy11解：ds=ad

aOxyθ注：(1)可用极坐标计算。12其中Γ为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相对于t从0到2π的一段弧

解：13（1）L：x2+y2+z2=a2，x+y+z=0（2）L：x2+y2+z2=a2，x+y+z=a解问题：如上例(1)中被积函数是x2（或y2或z2）应如何做？

1415A(0,1,1)，B(1,3,－1)解：的参数方程为x=t，y=1+2t，z=1－2t。(0≤t≤1)16设一曲线型细长构件，在xoy面上占有一段曲线弧L,端点为A,B,在AB上任一点的线密度为

(x,y),4.应用

（1）弧长（2）质量（3）质心（4）转动惯量17第二节对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质

1实例:

变力沿曲线所作的功常力所作的功分割18求和取极限近似值精确值近似192．对坐标的曲线积分的定义

定义设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑曲线弧，函数P(x，y)、Q(x，y)在L上有界。在L上沿L的方向任意插入一点列M1(x1，y1)，M2(x2，y2)，…，Mn－1(xn－1，yn－1)把L分成n个有向小弧段

(i=1,2,…,n；M0=A，Mn=B)点(ξi,ηi)为弧Mi-1Mi

上任意取定的点。20的极限总存在，则称此极限为函数P(x，y)在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，记作如果当各小弧段长度的最大值λ→0时，即21则称此极限为函数Q(x，y)在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分，记作其中P(x,y)、Q(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。

以上两个积分也称为第二类曲线积分。

223．几点说明（1）可积性（2）组合型

23（3）可推广到空间曲线的情形244．性质（2）关于曲线积分路径的可加性其中L=L1+L2（方向一致）

（3）方向性（1）关于被积函数的线性性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.25二、对坐标的曲线积分的计算方法

1．定理

定理设P(x，y)、Q(x，y)在有向曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为当参数t单调地由α变到β时，点M(x，y)从L的起点A沿L运动到终点B。

(t),

(t)

在以α及β为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且

2(t)+

2(t)

0，则曲线积分26计算方法：化为对参数的定积分，“一代二定限”“一代”：将x=

(t),y=

(t)

代入被积式。“二定限”：下限α→起点，上限β→终点，不一定有α<β

272．几种情形

（1）L由y=y(x)给出时，将x视作参数a对应L的起点，b对应L的终点。

（2）L由x=x(y)给出时，将y视作参数。

（3）对于空间曲线28其中L为抛物线y2=x上从点A(1,-1)到点B(1,1)的一段弧（如图）

解：第一种方法：将所给积分化为对x的定积分来计算.A(1，－1)B(1，1)xyO29第二种方法：将所给积分化为对y的定积分来计算。A(1，－1)B(1，1)xyO30例2解31问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同.32例3解3334问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.35其中Γ是从点A(3，2，1)到点B(0，0，0)的直线段AB。

解：直线段AB的方程是化为参数方程得x=3t，y=2t，z=t，t从1变到0。所以36例5设一个质点在M(x，y)处受到力F的作用，F的大小与M到原点O的距离成正比，F的方向恒指向原点。此质点由点解：xa-a

ObyFM(x，y)求力F所作的功W。

按逆时针方向移动到点B(0，b)，由假设有F=－k(xi+yj)，其中k>0是比例常数。37利用椭圆的参数方程：3839三、两类曲线积分之间的联系

设有向曲线弧L的起点为A，终点为B。曲线弧L由参数方程给出，起点A

、终点B分别对应参数a、b。

函数

(t),(t)

在以a、b为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且

2(t)+

2(t)

0

。又函数P(x，y)、Q(x，y)在L上连续。于是，由对坐标的曲线积分计算公式（3）有40

有向曲线弧L的切向量T的方向规定与L的方向一致。如L的方向对应于参数t增加的方向（即上式中a<b），则

(当a<b时取正号，

a>b时取负号)41一般地，平面曲线L上的两类积分之间有如下联系：42类似地可知，空间曲线Γ上两类曲线积分之间有如下联系cosα、cosβ、cosγ是有向曲线Γ上点(x，y，z)处的切向量的方向余弦。

符号的取法：L的方向与参数t增加时动点(x，y)={(t),(t)}移动的方向一致时取正号，相反时取负号。43cosβ=(1－x)所以例1把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分，L：沿上半圆周x2+y2=2x从点(0，0)到点(2，0)。解：方法1：取x为参变量起点对应x=0，终点x=244方法2：L：x=1+cos

，y=sin

(0≤θ≤π)

起点θ=π，终点θ=0。所以45曲线积分习题课一、内容提要及教学要求

1会计算两类曲线积分

(α<β)这里下限α对应于L的起点，上限β对应于L的终点。

46cosα、cosβ的求法：起点A

、终点B分别对应参数α、β。

(当α<β时取正号，

α>β时取负号)2两类曲线积分的关系473格林公式2）D的面积3）注意格林公式应用的条件：P,Q具有一阶连续偏导，L为封闭曲线。若不满足，则应(i)挖洞。(ii)添线成为封闭曲线。48（1）条件（2）应用5全微分求积64个等价条件49与路径无关的四个等价命题条件等价命题50

(1)已知二、典型例题

例1填空L的长度为a515253例5计算顺时针方向

L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

54例8计算Γ为x2+y2+z2=a2(z≥0)与x2+y2＝ax（a>0）之交线，从x轴正向看去为逆时针方向。

55

(1)已知解：又L关于x轴对称，而sin(xy)关于y为奇函数，所以

于是I=12a。

L的长度为a，求即3x2+4y2=12，所以565758OA5960取l：x2+y2=r2，逆时针方向,则61解：L：例5计算顺时针方向

注：

应充分利用L的方程简化被积函数。

62L：y=2－x2上从A(，0)到B(，0)的一段有向弧段。

解：所以

63

取l为x2+y2=2上从点A(，0)经上半圆到点B(，0)的有向曲线，则或2OxyAB6465解66解：在不含原点的单连域内，任作两条起点为A终点为B的光滑曲线C1、C2。

再补充一条光滑曲线C3使C1+C3和C2+C3成为包围原点的