7.7 多元函数的极值及其求法

17.7多元函数的极值及其求法7.7.1多元函数的极值7.7.2条件极值,Lagrange乘数法27.7多元函数的极值及其求法7.7.1多元函数的极值1多元函数极值的定义（以二元函数为例）

同理可定义n元函数u=f(x1，x2，…，xn)的极值。3(1)(2)(3)例1例２例３42多元函数取得极值的必要条件证明5仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.6

注

(1)函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0，0)是函数z=xy的驻点，但函数在该点并无极值。

(2)函数的极值点不一定是驻点，偏导数不存在的点仍可能为极值点。(3)可能极值点(i)驻点。（ii)偏导数不存在的点。(4)几何意义：若fx(x0,y0)=fy

(x0,y0)

=0,且(x0,y0)为极值点7则曲面z=f(x,y)在(x0

,y0)处的切平面方程为：z=z0即：极值点处的切平面平行于xoy面。问题：如何判定一个驻点是否为极值点？83极值的充分条件

定理7.7.2(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，(3)AC－B2=0时可能有极值，也可能没有极值，还需要另作讨论

(1)AC－B2>0时具有极值，且当A<0时有极大值，当A>0时有极小值；(2)AC－B2<0时没有极值又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在(x0，y0)处,则94求极值的步骤

设f(x，y)的二阶偏导数连续。（1）求驻点，即解方程组fx(x，y)=0，

fy(x，y)=0；（3）依定理判断。如偏导不存在，则通常用定义判别。

（2）在每个驻点处求A，B，C；10例1求函数f(x，y)=x3－y3+3x2+3y2－9x的极值

解先解方程组求得驻点为(1，0),(1，2),(－3，0),(－3,2).

再求出二阶偏导数

在点（1，0）处，AC－B2=12·6>0，又A>0fxx(x，y)=6x+6，fxy(x，y)=0，fyy(x，y)=－6y+6所以函数在（1，0）处有极小值f（1，0）=－5；

11在点（－3，0）处，AC－B2=－12·6<0，在点(－3,2)处,AC－B2=－12·(－6)>0,又A<0，f（－3，2）=31。在点（1，2）处，AC－B2=12·(－6)<0，所以f（1，2）不是极值；

所以f（－3，0）不是极值；

所以函数在（－3，2）处有极大值125多元函数的最值

依据:(1)如果f(x，y)在有界闭区域D上连续，则f(x，y)在D上必定能取得最大值和最小值。

一般方法:

求f(x，y)在D内的驻点，将f(x，y)在所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相比较，其中最大的就是f(x，y)在D上的最大值，最小的就是最小值。

(2)若函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在D的内部取得最大值（最小值），那末这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。13特殊的方法：在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数f(x，y)的最大值（最小值）一定在D的内部取得，而函数在D内只有唯一驻点，那末可以肯定该驻点处的函数值就是函数f(x，y)在D上的最大值（最小值）。其中f(x，y)在D的边界上的最值通常可化为一元函数的最值问题（或化为条件极值问题）。有时计算往往较复杂。

14解1516例3某厂要用铁板做成一个体积为2m3的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎么样的尺寸时，才能使用料最省。

解设水箱的长为xm，宽为ym，则其高应为即

可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使函数取得最小值的点(x，y)。

令解这个方程组，得

此水箱所用材料的面积17根据题意可知，水箱所用材料的最小值一定存在，并在开区域D：x>0，y>0内取得。

又函数在D内只有唯一的驻点因此可断定当时，A取得最小值水箱所用的材料最省。当水箱的长为m，宽为m高为m18

实际问题中，有时会遇到对函数的自变量另有附件条件的极值问题，这类极值称为条件极值。

1．引入上面讨论的极值问题，对于函数的自变量，除了要限制在函数的定义域内以外并无其他条件，所以也称为无条件极值。例如求表面积为a2的体积最大的长方体。目标函数：v=xyz；附加条件：2(xy+yz+zx)=a2。7.7.2条件极值,Lagrange乘数法19再代入目标函数得

则化成求该函数的无条件极值问题，进而可求解。

问题（1）并不总是可化成无条件极值（2）即使化了，但这个无条件极值问题的求解可能困难。

希望：能否找到一种直接求解条件极值，而不必化为无条件极值问题的方法。事实上拉格朗日乘数法就是解决这一问题的有效方法。

由附加条件可解得20在条件2探求方法下取得极值的必要条件。我们假定在(x0，y0)的某一邻域内f(x，y)与

(x,y)

均有连续的一阶偏导数，而

y(x0,y0)

0。由隐函数存在定理可知，方程（2）确定一个单值可导且具有连续导数的函数y=

(x),将其代入（1）式，结果得到一个自变量x的函数z=f[x,

(x)]。(4)如果函数（1）在(x0，y0)取得所求的极值，寻求函数z=f(x，y

)(1)那末首先有21于是函数（1）在(x0，y0)取得所求的极值，也就是相当于函数（4）在x=x0取得极值。由一元函数取得极值的必要条件知道而由（2）用隐函数求导公式，有把上式代入（5）得22（3）、（6）两式就是函数（1）在条件（2）下在(x0，y0)取得极值的必要条件。

23容易看出，（7）中的前两式的左端正是函数的两个一阶偏导数在(x0，y0)的值，其中λ是一个待定常数。

由以上讨论，我们可得以下结论:拉格朗日乘数法:要找函数z=f(x，y)(1)在附加条件

(x,y)=0(2)

下的可能极值点，24求其对x与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程（2）联立起来：由这方程组解出x，y及λ，则其中x，y就是函数f(x，y)在附加条件

(x,y)=0下的可能极值点的坐标。

其中λ为某一常数。可以先构成辅助函数25(1)这方法还可以推广到自变量多于两个情况。例如，要求函数u=f(x，y，z)在附加条件3推广可以先构造辅助函数26(2)这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情况。例如，要求函数u=f(x，y，z，t)在附加条件可以先构造辅助函数其中λ1，λ2均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与（9）中的两个方程联立起来求解，这样得出的x、y、z、t就是函数f(x，y，z，t)在附加条件(9)下的可能极值点27例1求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积。

解：设长方体的三棱长为x，y，z，则问题就是在条件V=xyz(x>0，y>0，z>0)的最大值。构成辅助函数求其对x，y，z的偏导数，并使之为零，得到F(x，y，z)=xyz+λ(2xy+2yz+2xz－a2)，

28再与（10）联立求解。因x，y，z都不为零，所以由（11）可得由以上两式解得x=y=z。将此代入（10）式，便得这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得。最大体积为29解设M(x，y，z)是所求长方体在第一卦限的顶点的坐标，构造辅助函数则问题化为求函数V=8xyz

在条件：例230求其对x，y，z的一阶偏导数并使之为零，再与条件方程联立，有由其中的前3个方程可推出（因为λ≠0，否则xyz=0与题意不合），得

而依题意知体积最大的内接长方形存在。故内接长方形最大体积为是唯一的可能极值点，31例3求z=x3+y3在D：x2+y2≤1上的最大值和最小值。

解

函数z=x3+y3在有界闭区域x2+y2≤1上一定可取得最大值和最小值

先求驻点唯一驻点为(0，0)。该点的函数值为z(0，0)=0在D的边界上求z=x3+y3的极值。这里用拉格朗日乘数法求解。引入辅助函数

32得

或

计算这些点的函数值:

Z(1，0)=Z(0，1)=1，Z(-1，0)=Z(0，-1)=-1所以

最大值为1，最小值为－1。33小结本节主要讨论了多元函数的极值与条件极值的概念.本节要求会求二元函数的极值,会用Lagrange乘数法求条件极值,会求多元函数的最值,会求一些最值应用题．习题7—734第二次习题课一、内容及要求

1．空间曲线的切线及法平面

（1）

由参数方程给出时切线方程法平面方程35（2）

由一般式方程给出时

则

(3)交面式空间曲线的切线的另一求法。

切线为两切平面的交线。切向量T∥n1n2.362．曲面的切平面与法线

(1)∑的方程为F(x，y，z)=0，M0是∑上一点，则法向量

(2)∑为z=f(x，y)时，fx、fy在(x0，y0)处连续，

3.方向导数与梯度（1）方向导数（i）定义37(ii)计算方法对于三元函数

2）用定义(函数不可微)1）公式：3839(ii)性质（与方向导数的关系）函数f(x，y)的梯度是这样一个向量，它的方向与函数取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

4多元函数的极值（1）多元函数极值的定义

（2）多元函数极值的必要条件与充分条件（2）梯度

(i)定义

f(x，y)在D内一阶偏导连续，

40（3）多元函数最值的求法（i）一般的最值问题的求解方法如f(x，y)在有界闭区域上连续，则最值一定存在。将D内的可能极值点（驻点或偏导不存在的点）处的函数值与函数在D的边界上的最值（通常化为一元函数最值问题或条件极值问题）相比较而确定。（ii）实际问题中：如依问题的实际意义知f(x，y)的最大（小）值一定在D内取得，而函数在D内偏导数存在且驻点唯一，则可断言驻点处的函数值就是要求的最大（小）值。

41(4)条件极值及拉格朗日乘数法。

(i)函数z=f(x，y)在条件

辅助函数

(iii)函数u=f(x，y，z，t)在条件下的极值

辅助函数

(ii)函数u=f(x,y,z)在条件辅助函数

42二、典型例题

例1求曲线y2=2mx,z2=m－x在点M0(x0,y0,z0)处的切线方程解法一：公式法F(x，y，z)=2mx－y2=0，

G(x，y，z)=x+z2－m=0。

Fx=2m，Fy=－2y，Fz=0；Gx=1，Gy=0，Gz=2z。

切线方程

43解法二：将y、z视作x的函数,方程两端对x求导,有在点(x0，y0，z0)处的切向量可取切线方程为

44例2在曲面z=xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x+3y+z+9=0，并写出这法线的方程解：曲面z=xy上点(x0，y0，z0)处的一个法向量为已知平面的法向量为n1={1，3，1}，依题意应有n∥n1，即故所求点为(－3，－1，3)，所求法线方程为45解又因所以在M点的内法线方向为例346例4设x轴正向到方向l的转角为

，求函数